小学奥数36个经典（23-26）.doc

第23讲 运用比例求解行程问题内容概述 本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系典型问题 1甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟? 【分析与解】 我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10 于是甲：乙：丙=26：25：20 于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于2025=500，速度差相当于26-25=l； 于是，追击时间为5001=500分钟 2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法) 【分析与解】 第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为15=；所以客车速度为； 货车的速度为；货车先出发2小时，于是行走了；于是剩下的路程为；还需要的时间为小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分 3在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟你认为芝诺的说法错在哪里? 【分析与解】 因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍 那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为： 10，1，0.1，0.01，0.001，是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+=，也就是说兔子只是在乌龟行走米之前追不上等乌龟在米之后，兔子就在它的前面了 在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的第24讲 应用题综合内容概述 较为复杂的以成本与利润、溶液的浓度等为内容的分数与百分数应用题要利用整数知识，或进行分类讨论的综合性和差倍分问题典型问题1某店原来将一批苹果按100的利润(即利润是成本的100)定价出售由于定价过高，无人购买后来不得不按38的利润重新定价，这样出售了其中的40此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?【分析与解】 第二次降价的利润是： (30.2-4038)(1-40)=25， 价格是原定价的(1+25)(1+100)=62.5. 2某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件如果买一件按原定价，买两件降价10，买三件降价20，最后结算，平均每件恰好按原定价的85出售那么买三件的顾客有多少人? 【分析与解】 3(1-20)+1100=340=485，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85 由于买2件的，每件价格是原定价的1-10=90，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于 3(290)+2(380)=1285 所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3 于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件共买76件，所以后一种(76-33)(-)=25(人) 其中买二件的有：25=15(人) 前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有82=4(人) 于是买三件的有33-15-4=14(人)3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器这样甲容器中的纯酒精含量为62.5，乙容器中的纯酒精含量为25那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米? 【分析与解】 设最后甲容器有溶液立方分米，那么乙容器有溶液(11+15-)立方分米 有62.5+25(26-)=11，解得=12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米 而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15(1-25)：20立方分米.而乙容器最后只含有14立方分米的溶液，较第二次操作前减少了20-14=6立方分米，这6立方分米倒给了甲容器.即第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米. 41994年我国粮食总产量达到4500亿千克，年人均375千克据估测，我国现有耕地1.39亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵平原地区平均产量已超过每公顷4000千克，若按现有的潜力，到2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵地区产量增加二成是很有把握的同时在20世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过10请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均400千克吗? 试简要说明理由 【分析与解】 山地、丘陵地区耕地为1.3920.70亿公顷，那么平原地区耕地为1.39-0.70=0.69亿公顷，因此平原地区耕地到2030年产量为:40000.691.7=4692(亿千克)； 山地、丘陵地区的产量为：(4500-40000.69)1.2=2088(亿千克)； 粮食总产量为4692+2088=6780(亿千克) 而人口不超过12.71.1316.9(亿)，按年人均400千克计算共需40016.9=6760(亿千克)所以，完全可以自给自足 5要生产基种产品100吨，需用A种原料200吨，B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨现知用A种原料及另外一种(指B，C，D，E中的一种)原料共19吨生产此种产品10吨试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨? 【分析与解】 我们知道题中情况下，生产产品100吨，需原料190吨。 生产产品100吨，需A种原料200吨，200190，所以剩下的另一种原料应是生产100吨，需原料小于190吨的，B、C、D、E中只有E是生产100吨产品。只需180吨(180190)，所以另一种原料为E， 设A原料用了吨，那么E原料用了19-吨，即可生产产品10吨： +(19-)=10,解得=10即A原料用了10吨，而E原料用了19-10=9吨 6有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克? 【分析与解】 在已称出的五个数中，其中有两队之和，恰好是四人体重之和是243千克，因此没有称过的两人体重之和为243-125=118(千克) 设四人的体重从小到大排列是、，那么一定是+=99，+：=113 因为有两种可能情况：+=118，+=125； 或+=118+=125 因为99与113都是奇数，=99-，=113-，所以与都是奇数，或者与都是偶数，于是+一定是偶数，这样就确定了+=118 、三数之和为：(99+113+118)2=165 、中较重的人体重是， =(+)-(+)=165-99=66(千克)没有一起称过的两人中，较重者的体重是66千克补充选讲问题 1、A、B、C四个整数，满足A+B+C=2001，而且1ABC，这四个整数两两求和得到六个数，把这6个数按从小到大排列起来，恰好构成一个等差数列 请问：A、B、C分别为多少? 【试题分析】 我们注意到： 1+A1+B1+CA+BA+CB+C 1+A1+BA+B1+CA+CB+C这两种情况有可能成立 先看1+Al+Bl+CA+BA+CB+C (A-1)：(B-1)：(C-1)=2：3：4，A+B+C=2001 A-1+B-l+C-1=1998 于是A-l=1998=444，A=444+1=445；B=1998+l=667；C=1998+l=889 再看l+Al+BA+B1+CA+CB+C (A-1)：(B-1)：(C-1)=1：2：4，A+B+C=2001A-1+B-1+C-1=1998 于是A-1=1998，A不是整数，所以不满足于是A为445，B为667，C为889 7甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10点离开考场，同时午饭但甲说：“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的”乙说：“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”求考试开始和午饭开始的时间 【分析与解】 由题中条件知，午饭前2小时，考试开始后1.5小时，早者为10点；于是，有两种情况： 第一种情况：午饭开始前2小时较早，为10点，有午饭(10+2=)12点开始，而考试开始后1.5小时应超过10时，即考试开始的时间在8点30分以后； 那么午饭前2.5小时为12-2.5为9点30分，而考试开始后1小时在9点30分后，所以，晚者为考试开始后1小时，为10点，所以10-1=9点开始考试的； 第二种情况：考试开始后1.5小时较早，为10点，有10-1.5为8点30分开始考试，午饭前2小时超过10点，则午饭应在12点以后； 那么午饭前2.5小时应在9点30分之后，而考试后1小时为9点30分，有午饭前2.5小时为晚者，为10点，所以午饭是在10+2.5即12点30分开始的 综合这两种情况，有下表第25讲 数论综合2内容概述 进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题取整符号与取小数部分符号的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题各种数论证明题典型问题 1算式153425=43214是几进位制数的乘法? 【分析与解】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45=20，但是现在为4，说明进走204=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有153425=3835043214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制 2求方程19x96x=0的解的个数 【分析与解】 有x为一个数的小数部分，显然小于1，则96x小于96，而19x=96x，所以19x小于96，即x小于，又x为整数，所以x可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解 进一步计算有0，1，为原方程的解 3一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数 【分析与解】 设这个四位数为 每位数字均加3，并且没有进位，为 有得：3333=（nm）(n+m) 将3333分解质因数，有3333=311101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+mnm，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为11564将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案【分析与解】 设有，化简有(a6)(b6)=6=2233， 评注：形如 (t为己知常数)的解法及解的个数 (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(At)(Bt)= ； 我们将分解质因数后，再令(At)其中一个为的一个约数(At)=a，那么A=a+t，则 (t为已知常数)， 所以，一般公式为 (a为t的一个约数)； 设的约数有x个，则A、B有组(调换顺序算一种) 注意有一组解A、B相等，就是 5在给定的圆周上有2000个点任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；依此类推，直至在圆周上标出1993对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数问标有数1993的那个点上标的最小数是多少? 【分析与解】 记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号， 则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，标有1993的是1+2+3+1993=1987021号 1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993 那么1021+2000n=1+2+3+k=，即2042+4000n=k(k+1). 当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解； 当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解； 当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解； 当n=3时，k(k+1)=14042，有118119=14042，此时标有118； 随着n的增大，k也增大所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118 6.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的求所有这样的三位数 【分析与解】 设这个三位数为，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位， 则+3=，数字和为0+(b+1)+(c+310)= ，则a+b+c=9，而c+3必须有进位，所以c只能为7，8，9 一一验，如下表：验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足所以，原来的三位数为207，117或108 7将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数 【分析与解】 先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质 依次类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾.即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数第26讲 进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制典型问题1在几进制中有413=100【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)(3)=(12)但是，式中为100，尾数为0 也就是说已经将12全部进到上一位 所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制 我们知道(4)(13)=(52)，因52 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道10 所以，只能是62在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9所以变为遇9进1也就是九进制 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以，首位为5 评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)3在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 ()=626+=36+6+； ()=92+9+=81+9+ 所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80； 因为35是5的倍数，80也是5的倍数所以3也必须是5的倍数，又(3，5)=1 所以，=0或5 当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、0，所以=16，=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16 当=5，则35=35+80；则7=3+16；mod 7后，3+20 所以=2或者2+7(为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2 于是，35=15+802；=5 于是() =(552)=562+56+2=212 所以这个三位数在十进制中为2124设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、及 【分析与解】 我们注意 -得：(-1)+(-1)=1987-25 则(-1)(+1)+(-1)=1962， 即(-1)(+1)+=1962 所以，1962是(-1)的倍数 1962=29109：当-1=9时，=10，显然不满足； 当-1=18时，=19，则（-1)(+1)+=18(20+)=1962；则20+=109，所以， 显然，当=109不满足，=2109不满足，当=9109也不满足 于是为(59B)=(1987)，B代表115下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少? 【分析与解】 于是，我们知道=4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=66. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)=2=(10000000000)2 于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况 并