【导与练】高考数学 试题汇编 第五节 离散型随机变量的分布列、均值与方差 理（含解析）.docVIP

第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差 离散型随机变量的分布列考向聚焦离散型随机变量及其分布列是高考考查的一大热点,每年均有解答题出现,与概率计算、期望与方差融合在一起,多属中等或中等偏难的题目,分值约占12分备考指津1.离散型随机变量是随机试验结果的数字化,求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量x取哪些值,然后求x取每一个值的概率,最后列成表格的形式;2.求离散型随机变量的分布列的关键是概率类型的确定与转化,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型、条件概率、相互独立事件的概率、超几何分布、二项分布等;3.求出随机变量的分布列后,可用分布列的两条性质检验所求的分布列或所求的概率是否正确1.(2012年安徽卷,理17,12分)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是a类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道a类型试题和一道b类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是b类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m道试题,其中有n道a类型试题和m道b类型试题,以x表示两次调题工作完成后,试题库中a类型试题的数量.(1)求x=n+2的概率;(2)设m=n,求x的分布列和均值(数学期望).解:本题考查概率及概率分布问题,考查数学期望的计算.考查阅读理解能力和分析求解能力.(1)x=n+2表示两次调题均为a类型试题,概率为nm+nn+1m+n+2.(2)m=n时,每次调用的是a类型试题的概率为p=12,随机变量x可取n,n+1,n+2,p(x=n)=(1-p)2=14,p(x=n+1)=2p(1-p)=12,p(x=n+2)=p2=14.xnn+1n+2p141214ex=n14+(n+1)12+(n+2)14=n+1,x的均值为n+1. 解决概率分布问题的关键是理解题意,准确得出事件的概率,得出随机变量的可能取值,并能正确求出随机变量取值的概率,然后列随机变量的分布列,根据分布列求均值.2.(2012年湖南卷,理17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得p(x=1)=15100=320,p(x=1.5)=30100=310,p(x=2)=25100=14,p(x=2.5)=20100=15,p(x=3)=10100=110.x的分布列为x11.522.53p3203101415110x的数学期望为e(x)=1320+1.5310+214+2.515+3110=1.9.(2)记a为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则p(a)=p(x1=1且x2=1)+p(x1=1且x2=1.5)+p(x1=1.5且x2=1).由于各顾客的结算相互独立,且x1,x2的分布列都与x的分布列相同,所以p(a)=p(x1=1)p(x2=1)+p(x1=1)p(x2=1.5)+p(x1=1.5)p(x2=1)=320320+320310+310320=980,故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.3.(2012年山东卷,理19,12分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex.解:(1)事件“恰好命中一次”包含“甲靶射中一次”或“乙靶射中一次”两类情形,p=341313+1413232=736.(2)由题意得,总得分x=0,1,2,3,4,5,其中p(x=0)=141313=136,p(x=1)=341313=112,p(x=2)=1413232=19,p(x=3)=3413232=13,p(x=4)=142323=19,p(x=5)=342323=13,总得分x的分布列为x012345p13611219131913ex=0136+1112+219+313+419+513=4112.4.(2012年浙江卷,理19,14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量x为取出此3球所得分数之和.(1)求x的分布列;(2)求x的数学期望e(x).解:(1)由题意得x取3,4,5,6,且p(x=3)=c53c93=542,p(x=4)=c41c52c93=1021,p(x=5)=c42c51c93=514,p(x=6)=c43c93=121.所以x的分布列为x3456p5421021514121(2)由(1)知e(x)=3p(x=3)+4p(x=4)+5p(x=5)+6p(x=6)=133.5.(2012年重庆卷,理17,13分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望.解:设甲、乙在第k次投篮投中分别用ak、bk表示,未投中用ak、bk表示,则p(ak=13),p(bk)=12(k=1,2,3).(1)设甲获胜的概率为p,则p=p(a1)+p(a1 b1a2)+p(a1 b1 a2 b2a3)=p(a1)+p(a1)p(b1)p(a2)+p(a1)p(b1)p(a2)p(b2)p(a3)=13+(1-13)(1-12)13+(1-13)(1-12)(1-13)(1-12)13=13+19+127=1327.(2)的所有可能的值为1,2,3,则p(=1)=p(a1)p(a1b1)=13+(1-13)12=23,p(=2)=p(a1b1a2)+p(a1 b1a2b2)=(1-13)(1-12)13+(1-13)(1-12)(1-13)12=29,p(=3)=1-p(=1)-p(=2)=19.所以的分布列为:123p232919所以e()=123+229+319=139. 本题主要考查互斥事件和相互独立事件及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识,难度适中.6.(2011年江西卷,理16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为a饮料,另外4杯为b饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯a饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元;否则月工资定为2100元.令x表示此人选对a饮料的杯数.假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力.(1)求x的分布列;(2)求此员工月工资的期望.解:(1)x的所有可能取值为0,1,2,3,4,p(x=i)=c4ic44-ic84(i=0,1,2,3,4),即x01234p1708351835835170(2)令y表示新录用员工的月工资,则y的所有取值为2100,2800,3500,则p(y=3500)=p(x=4)=170,p(y=2800)=p(x=3)=835,p(y=2100)=p(x2)=5370,e(y)=3500170+2800835+21005370=2280,所以新录用员工月工资的期望为2280元.7.(2011年湖南卷,理18)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记x为第二天开始营业时该商品的件数,求x的分布列和数学期望.解:(1)p(“当天商店不进货”)=p(“当天商品销售量为0件”)+p(“当天商品销售量为1件”)=120+520=310.(2)由题意知,x的可能取值为2,3.p(x=2)=p(“当天商品销售量为1件”)=520=14;p(x=3)=p(“当天商品销售量为0件”)+p(“当天商品销售量为2件”)+p(“当天商品销售量为3件”)=120+920+520=34.故x的分布列为x23p1434x的数学期望为e(x)=214+334=114.8.(2011年新课标全国卷,理19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为a配方和b配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:a配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数82042228b配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数412423210(1)分别估计用a配方,b配方生产的产品的优质品率;(2)已知用b配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=-2,t942,94t102,4,t102.从用b配方生产的产品中任取一件,其利润记为x(单位:元),求x的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解:(1)根据题意知,用a配方生产的产品中优质品的频率为22+8100=0.3,用a配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.用b配方生产的产品中优质品的频率为32+10100=0.42,用b配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用b配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0.54,0.42.p(x=-2)=0.04,p(x=2)=0.54,p(x=4)=0.42,即x的分布列为x-224p0.040.540.42x的数学期望e(x)=-20.04+20.54+40.42=2.68.9.(2011年四川卷,理18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列及数学期望e.解:由题意可知甲、乙租车超过三小时不超过四小时的概率分别为14,14,(1)甲、乙两人所付的租车费用相同有三种情况,它们是互斥的.甲、乙租车时间都不超过两小时,此时概率p1=1412=18;甲、乙租车时间超过两小时且不超过三小时,此时概率p2=1214=18;甲、乙租车时间超过三小时且不超过四小时,此时概率p3=1414=116.甲、乙两人所付的租车费用相同的概率p=p1+p2+p3=18+18+116=516.(2)由题意知甲、乙两人所付的租车费用之和可取0,2,4,6,8p(=0)=1412=18;p(=2)=1414+1212=516;p(=4)=1214+1414+1214=516;p(=6)=1214+1414=316;p(=8)=1414=116.的分布列为02468p18516516316116e=018+2516+4516+6316+8116=72.10.(2010年福建卷,理16)设s是不等式x2-x-60的解集,整数m,ns.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件a,试列举a包含的基本事件;(2)设=m2,求的分布列及其数学期望e.解:(1)由x2-x-60得-2x3,即s=x|-2x3.由于m,nz,m,ns且m+n=0,所以a包含的基本事件为:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有p(=0)=16,p(=1)=26=13,p(=4)=26=13,p(=9)=16.故的分布列为0149p16131316所以e=016+113+413+916=196.离散型随机变量的均值与方差考向聚焦离散型随机变量的均值与方差是高考的热点内容,几乎每年都考,常与分布列、概率计算、统计等知识融为一体,有时还会考查均值与方差在实际决策中的应用,难度提升到中等或中等偏难,多以解答题形式出现,12分左右,有时以选择、填空题出现,5分左右备考指津求离散型随机变量的均值与方差时,先要准确理解的意义,写出的全部可能取值;再求取每个值的概率,写出的分布列;最后根据公式求均值e()和方差d()11.(2012年上海数学,理17,5分)设10x1x2x3d2(b)d1=d2(c)d1d(2),故选a.答案:a.12.(2011年上海卷,理9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表:x123p(=x)?!?请小牛同学计算的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案e=.解析:设p(=1)=x,则p(=2)=1-2x,p(=3)=x,e=1x+2(1-2x)+3x=2.答案:213.(2011年浙江卷,理15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记x为该毕业生得到面试的公司个数.若p(x=0)=112,则随机变量x的数学期望e(x)=.解析:由已知p(x=0)=(1-23)(1-p)2=112,p=12.p(x=1)=23(1-12)(1-12)+1312(1-12)+13(1-12)12=13,p(x=2)=2312(1-12)+23(1-12)12+131212=512,p(x=3)=231212=16,e(x)=0p(x=0)+1p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)=0112+113+2512+316=53.答案:5314.(2012年四川卷,理17,12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b,系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望e.解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c,那么1-p(c)=1-110p=4950.解得p=15.(2)由题意,p(=0)=c30(110)3=11000,p(=1)=c31(110)2(1-110)=271000,p(=2)=c32110(1-110)2=2431000,p(=3)=c33(1-110)3=7291000.所以,随机变量的概率分布列为0123p1100027100024310007291000故随机变量的数学期望e=011000+1271000+22431000+37291000=2710.15.(2012年江西卷,理18,12分)如图,从a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,1,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点o两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量v(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积v=0).(1)求v=0的概率;(2)求v的分布列及数学期望ev.解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有c63=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有c31c43=12种,因此v=0的概率为p(v=0)=1220=35.(2)v的所有可能取值为0,16,13,23,43,因此v的分布列为v016132343p35120320320120故ev=035+16120+13320+23320+43120=940.16.(2012年全国大纲卷,理19,12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.解:记ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;a表示事件:第3次发球,甲得1分;b表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.(1)b=a0a+a1a,p(a)=0.4,p(a0)=0.42=0.16,p(a1)=20.60.4=0.48,p(b)=p(a0a+a1a)=p(a0a)+p(a1a)=p(a0)p(a)+p(a1)p(a)=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.(2)p(a2)=0.62=0.36.的可能取值为0,1,2,3.p(=0)=p(a2a)=p(a2)p(a)=0.360.4=0.144,p(=2)=p(b)=0.352,p(=3)=p(a0a)=p(a0)p(a)=0.160.6=0.096,p(=1)=1-p(=0)-p(=2)-p(=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.e=0p(=0)+1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)=0.408+20.352+30.096=1.4.17.(2012年广东卷,理17,13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.解:(1)由直方图知(30.006+0.01+x+0.054)10=1,得x=0.018.(2)80分以上(含80分)的人数中,80,90)内有0.0181050=9(人),90,100内有0.0061050=3(人),的所有可能取值为0,1,2.p(=0)=c92c122=611,p(=1)=c91c31c122=9366=922,p(=2)=c32c122=366=122,的分布列为012p611922122e=0611+1922+2122=1122=12.18.(2012年福建卷,理16,13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1,生产一辆乙品牌轿车的利润为x2,分别求x1,x2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件a,则p(a)=2+350=110.(2)依题意得,x1的分布列为x1123p125350910x2的分布列为x21.82.9p110910(3)由(2)得,e(x1)=1125+2350+3910=14350=2.86(万元),e(x2)=1.8110+2.9910=2.79(万元),e(x1)e(x2),从经济效益角度考虑,应生产甲品牌轿车.19.(2012年辽宁卷,理19,12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的,求x的分布列,期望e(x)和方差d(x).附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2,p(2k)0.050.01k3.8416.635解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而22列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100(3010-4515)2752545553.030.因为3.0303.841,所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意xb(3,14),从而x的分布列为x0123p27642764964164e(x)=np=314=34.d(x)=np(1-p)=31434=916.20.(2012年新课标全国卷,理18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nn)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,x表示当天的利润(单位:元),求x的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解:(1)当需求量n16时,卖出n枝,剩(16-n)枝,当需求量n16时,16枝全卖出.所以y=10n-80,n1680,n16(nn).(2)由题意知,日需求量n与对应概率如表日需求量14151617181920概率0.10.20.160.160.150.130.1由题意知x=60,70,80且p(x=60)=p(n=14)=0.1,p(x=70)=p(n=15)=0.2,p(x=80)=p(n16)=0.7,x的分布列为:x607080p0.10.20.7x的数学期望ex=600.1+700.2+800.7=76.x的方差dx=(76-60)20.1+(76-70)20.2+(76-80)20.7=44.答案一:花店一天应购进16枝.当花店一天购进17枝玫瑰花时,用y表示当天的利润(单位:元),则y=55,65,75,80p(y=55)=p(n=14)=0.1p(y=65)=p(n=15)=0.2p(y=75)=p(n=16)=0.16p(y=80)=p(n17)=0.54y的分布列为y55657585p0.10.20.160.54ey=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4dy=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04综上知dxdy且相差较大,虽然exex,故购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花. 本题看似不难,虽涉及分段函数,但主要考查随机变量的分布列、期望与方差的计算以及其实际意义的应用,特别是第(2)问,有两种截然不同的回答,这一体现了现实中决策的多样性及其理由的多方面性,更具有实际意义,这是数学试题中很少见到的.21.(2012年江苏数学,22,10分)设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,=0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,=1.(1)求概率p(=0);(2)求的分布列,并求其数学期望e().解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8c32对相交棱,因为p(=0)=8c32c122=8366=411.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或2,其中距离为2的共有6对,故p(=2)=6c122=111于是p(=1)=1-p(=0)-p(=2)=1-411-111=611,所以随机变量的分布列是012p()411611111因为e()=1611+2111=6+211.22.(2012年湖北卷,理20,12分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量x(单位:mm)对工期的影响如下表降水量xx300300x700700x900x900工期延误天数y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量x小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数y的均值与方差;(2)在降水量x至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解:(1)由已知条件和概率的加法公式有:p(x300)=0.3,p(300x700)=p(x700)-p(x300)=0.7-0.3=0.4,p(700x900)=p(x900)-p(x700)=0.9-0.7=0.2.p(x900)=1-p(x900)=1-0.9=0.1.所以y的分布列为y02610p0.30.40.20.1于是,e(y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3;d(y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8.故工期延误天数y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,p(x300)=1-p(x300)=0.7,又p(300x900)=p(x900)-p(x300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得p(y6|x300)=p(x900|x300)=p(300x2)=0.3+0.1+0.1=0.5,x=2表示两位顾客办理业务各用1分钟完毕,p(x=2)=p(=1)p(=1)=0.10.1=0.01x=1表示第一位顾客办理业务用1分钟,第二位顾客办理业务超过1分钟或第一位顾客办理业务恰用2分钟p(x=1)=p(=1)p(1)+p(=2)=0.10.9+0.4=0.49所以x的分布列为x012p0.50.490.01e(x)=00.5+10.49+20.01=0.51.法二:仅有p(x=1)=1-p(x=0)-p(x=2)=1-0.5-0.01=0.49;其他同法一. 此题抓住实际办事效率问题,思考解决方法,富有新意,难度较大.24.(2012年天津卷,理16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用x,y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|x-y|,求随机变量的分布列与数学期望e.解:根据题意得,这4个人中,每个人参加甲游戏的概率为13,参加乙游戏的概率为23,设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为ak(k=0,1,2,3,4),则p(ak)=c4k(13)k(23)4-k.(1)这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为p(a2)=c42(13)2(23)2=827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件b,则p(b)=p(a3a4)=p(a3)+p(a4)=c43(13)323+c44(13)4=19,所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)的所有可能取值为0,2,4,由于a1,a3互斥,a0、a4互斥,故p(=0)=p(a2)=827,p(=2)=p(a1)+p(a3)=c4113(23)3+c43(13)323=4081,p(=4)=p(a0)+p(a4)=c40(23)4+c44(13)4=1781.所以的分布列为:024p82740811781e=0827+24081+41781=14881 本小题主要考查古典概型,互斥事件和独立事件及其概率计算公式,同时考查学生的运算能力,应用意识,属中档题.25.(2011年山东卷,理18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a、b、c进行围棋比赛,甲对a、乙对b、丙对c各一盘,已知甲胜a、乙胜b、丙胜c的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)求表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望e.解:(1)红队至少两名队员获胜可分为四类,即甲乙、甲丙、乙丙,甲乙丙胜,p=0.60.50.52+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.(2)的可能取值为0、1、2、3,且p(=0)=0.40.50.5=0.1,p(=1)=0.60.50.5+0.40.50.52=0.35,p(=2)=0.60.50.52+0.40.50.5=0.4,p(=3)=0.60.50.5=0.15,的分布列为0123p0.10.350.40.15数学期望e=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.26.(2011年天津卷,理16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱).(1)求在1次游戏中,摸出3个白球的概率;获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数x的分布列及数学期望e(x).解:(1)设ai=“在1次游戏中摸出i个白球”(i=0,1,2,3),则p(a3)=c32c52c21c32=15,p(a2)=c32c52c22c32+c31c21c52c21c32=12.又a2与a3互斥,p(a2)+p(a3)=12+15=710.即获奖的概率为710.(2)x的可能取值为0,1,2.p(x=0)=(1-710)2=9100.p(x=1)=c21710(1-710)=2150.p(x=2)=c22(710)2=49100.所以x的分布列是x012p9100215049100x的数学期望e(x)=09100+12150+249100=75.27.(2011年重庆卷,理17)某市公租房的房源位于a、b、c三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:(1)恰有2人申请a片区房源的概率;(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望.解:由题意得该市任一市民申请任一个片区的概率为13,(1)记事件d为“4个市民中恰有2人申请a片区”,则p(d)=c42(13)2(23)2=827.(2)4位申请人,申请到房源所在片区数为,则=1,2,3,p(=1)=c31(13)4=127,p(=2)=c32c21c43(13)4+c42c22(13)4=1427;(或p(=3)=c32(24-2)(13)4=1427).p(=3)=c31c42c21(13)4=49,(或p(=3)=c42a33(13)4=49).综上知,的分布列为123p127142749e=1127+21427+349=6527.28.(2011年广东卷,理17)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;(2)当产品中的微量元素x,y满足x175且y75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).解:(1)设在甲、乙两厂中按比例x抽样,则98x=14,x=17,所以乙厂生产的产品数量为517=35(件).(2)由表可以看出只有编号为2、5的产品为优等品,又总共抽了5件,故乙厂生产的优等品的品率为25,从而乙厂生产的优等品的数量为3525=14(件).(3)由(2)知乙厂优等品率为25,又的取值可能为0、1、2,则p(=0)=c32c52=310,p(=1)=c31c21c52=35,p(=2)=c22c52=110故的分布列为012p31035110优等品数的期望e=0310+135+2110=0.8.29.(2011年辽宁卷,理19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.(1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为x,求x的分布列和数学期望;(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:品种甲40339739040438