重庆市西南大学附中2019届高三数学第十次月考试题理（含解析）.docx

重庆市西南大学附中2019届高三数学第十次月考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，故选D.2.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由双曲线方程可知渐近线为，由渐近线夹角为，可知渐近线倾斜角为，所以考点：双曲线方程及性质3.在平行四边形中，点为的中点， 与的交点为，设，则向量 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,故选C.4.甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 甲类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】D【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，1=0.4,2=0.8，故A正确，C正确，甲图象比乙图象更“高瘦”，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；乙图象的最大值为1.99,即，21.99，故D错误。本题选择D选项.5.已知等差数列的前项和为，且，则数列的前项和为A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为等差数列的前项和为，所以，所以，又，所以公差，所以，所以，显然数列是首项为、公比为的等比数列，所以数列的前项和为故选B6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积，半球体体积为，由题得几何体体积为，故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s = 132，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】第一次循环第二次循环 结束循环，输出，所以判断框中应填选B.8.已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将第一个等式两边同时除以，然后比较a，b大小，对第二个等式进行整理，比较出c，b的大小，可得三者大小关系。详解】由题得，可得，则；因为，则，可得，因此，所以有，故选C。【点睛】本题考查比较实数大小，此类题的整体思路是做差或者做商，再根据函数特点进行化简判断大小。9.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.10.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。【详解】设旋转之后的角为，由题得，又因为，所以得，故选B。【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。11.在ABC中，点D为边AB上一点，若，则ABC的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用余弦定理求出CD，进而求AB，BC，再根据三角形面积公式即得。【详解】由题在中，代入可得，舍掉负根有.于是根据三角形面积公式有：.故选A.点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.12.当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】直线过定点由题意可知：定点是曲线的对称中心，解得，所以曲线，f（x）= ，设切点M（x0，y0），则M纵坐标y0=，又f（x0）=，切线的方程为：又直线过定点，得-2=0，即解得：故可做两条切线故选：C点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.若与互为共轭复数，则_【答案】 【解析】，又与互为共轭复数，则，故答案为.14.已知x，y满足约束条件，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先画出可行域，求的范围，再求的取值范围。【详解】由题得，可行域为图中阴影部分所示，则，作直线，结合图像可知，所以有。【点睛】本题考查线性规划的有关知识和数形结合的思想。15.在直线，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，围成的区域内的概率为_【答案】【解析】 由题意，直线所围成的区域为一个长为，高为的矩形，所以其的面积为， 又由，解得， 所以由所围成的区域的面积为，所以概率为.16.在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】用投影结合勾股定理来计算外接球的半径，再应用球的表面积公式即可.【详解】球心在平面的投影为，在平面的投影为，于是有是的外心，是的外心.设中点，连结，于是四边形是矩形.连结.有.在中根据正弦定理，得到.在中，因为是的角平分线，故.所以球的表面积为【点睛】本题考查四面体的外接球表面积问题，这种题一般都是先计算外接球半径进而求解。需有一定的空间想象能力。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.在中，内角的对边分别是，且满足(1)求角C；(2)设为边的中点，的面积为，求边的最小值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】(1) 先用正弦定理将已知等式两边都化为正，余弦角的关系，再根据对其进行化简，计算可得角C。(2)由三角形的面积可得，用余弦定理将边CD表示出来，再根据可求出CD最小值。【详解】(1) 由正弦定理：，又，由题，所以.因为，所以,即,即,因为，所以，则.(2) 由，即，所以.由,所以当且仅当时取等所以边的最小值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键。18.已知四棱锥中，底面为菱形，平面平面，点E，F分别为，上的一点，且，(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)作辅助线FG，点G在PC边上，且，由题中条件可得为平行四边形，再由线线平行证得线面平行。(2)用建系的方法求线面正弦值。【详解】(1) 证明：取边上点，使得，连接.因为,所以，且.又，所以，且.所以，且，所以四边形为平行四边形,则.又平面，平面，所以平面.(2) 解：取中点,由，所以又平面平面，交线为，且,所以平面.以为原点建系，以，为轴，轴，轴.所以，所以，.设平面法向量为，则，可取,设与平面所成角为，则【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型。19.现代研究表明，体脂率（体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准为分析体脂率对人体总胆固醇的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率值及总胆固醇指标值（单位：mmol/L），得到的数据如表所示：(1)利用表中的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）(2)求出与的线性回归方程，并预测总胆固醇指标值为9.5时，对应的体脂率值为多少？（上述数据均要精确到0.1）(3)医学研究表明，人体总胆固醇指标值服从正态分布，若人体总胆固醇指标值在区间之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为，求的分布列和数学期望附：参考公式：相关系数，参考数据：，【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】由相关系数公式直接计算可得；(2)先后求出，和，可得线性回归方程，将y=9.5代入回归方程，可得x的值。(3)先由公式计算标准差作为的估计值，那么根据区间，可知志愿者中胆固醇异常者的人数为2人，则需要进一步观察，从12名志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为，可能为0，1，2，先分别求出对应概率，即可得的分布列进而求得数学期望【详解】(1) 相关系数所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.(2) ，又，所以，所以回归直线，当时，(3) ，所以，则，所以在这12人中，有2人是胆固醇异常，需要进一步作医学观察的. 所以变量,所以的分布列为X012P数学期望【点睛】本题考查相关系数和线性回归方程，以及分布列数学期望等概率统计知识，是一道很好的综合性题目。20.已知椭圆的左顶点为，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程。(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标 和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积。【详解】(1) 由题意可得：，得，则.所以椭圆的方程: (2) 当直线与轴重合，不妨取，此时当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设，联立得，显然，.所以当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又,所以的面积【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题。21.已知函数(1)当，求的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)将a=1代入函数，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导：当时，在上是减函数，在上是增函数，且x=1为的极值点，当 所以，当，所以此时有两个零点；当时，函数只有一个零点；当时，再分成三种情况， ，三种情况进行讨论，最后取并集即得a的范围。法二：分离参变量，每一个a对应两个x，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a的范围即可。【详解】(1) 当令，可得，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增。所以函数减区间在区间，增区间(2) 法一：函数定义域为，则当时，令可得，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增。且，当；当 所以所以有两个零点.，符合当，只有一个零点2，所以舍设，由得或，若，则，所以在单调递增，所以零点至多一个.（舍）若，则，故时，当时，所以在，单调递增，在单调递减。又，要想函数有两个零点，必须有，其中.又因为当时，所以故只有一个零点，舍若，则，故时，；当时，所以在，单调递增，在单调递减。又极大值点，所以只有一个零点在（舍）综上，的取值范围为。法二： ，所以不是零点.由，变形可得.令，则，即当，；当，.所以在递增；在递减.当时,当时，.所以当时，值域为.当时,当时，.所以当时，值域为.因为有两个零点，故的取值范围是故的取值范围是.【点睛】这是函数的零点问题，可用讨论含参函数的单调性或者参变量分离的方法。22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l的普通方程有，点，写出直线l的参数方程，代入曲线：，设交点两点的参数为，根据韦达定理可得和，进而求得的值。【详解】(1) 曲线的普通方程为：曲线的普通方程为：，即由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为，即.所以直线的极坐标方程为.(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为直线的参数方程为，带入曲线得.设两点的参数为，所以，所以，同号.所以【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方