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用递推法求数列通项公式的几种常见类型贵州省沿河县官舟中学 田明（565311）数列的第n项与前面相邻一项（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式.给出数列的前几项（初始值）和递推公式的数列叫递推数列.求数列的通项公式相当于求函数的解析式，在数列的相关问题中占有相当的重要地位，是每年的必考内容.由于求通项公式解时渗透多种数学思想方法，因此，求解过程中往往显得方法多，灵活度大，技巧性强.数列问题对能力要求高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出.其中归纳、猜想通项公式是难点,其关键在于观察分析数列的前几项的特征、特点,找到数列的一个构成规律.根据此规律和递推关系便可得出一个相应的通项公式.类型1：形如“”的递推式由此类递推式给出的数列，求通项公式，采用“累加法”.例1.（08高考天津卷文20题）已知数列中，且（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式； （）（略）【解析】（）证明：由题设，得，即 又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解：由（），将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立类型2：形如“”的递推式求通项.由.累乘可得 即.例2：已知数列中,求的通项公式.【解析】注意到递推公式是一个乘积形式,可以把它转化为商的形式,用迭乘法便可消去中间项,从而求出其通项公式.,.,.把上述等式相乘得 即 而 .类型3：形如“” 的递推式求通项.对于这类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式.例3：（08高考陕西卷理22）已知数列的首项（）求的通项公式；（）（）（略）【解析】 ，又，是以为首项，为公比的等比数列.，.类型4：形如“” 的递推式求通项.对于形如的递推式，通常采用换元法进行转化，假设将递推式改写成，比较系数可知，可令换元即可转化为第比数列来解决.例4：（08高考安徽卷文21）设数列满足其中为实数，且（）求数列的通项公式；（）（）（略）【解析】 当时，是首项为，公比为的等比数列。 ，即 。当时，仍满足上式。 数列的通项公式为 。类型5：形如“” 的递推式求通项. 这类数列较复杂，在此只研究两种较为简单的情况，是多项式或者指数幂的形式.例5：设数列中，求数列的通项公式.【解析】采用待定系数法，设比较系数得 由可得令，则， . 例6：（08高考四川卷理20）设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式【解析】由题意知，且， 两式相减得， 即 （）当时，由知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，
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