高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理 苏教版.ppt

9 6双曲线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内到两个定点f1 f2的等于常数 小于f1f2的正数 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点f1 f2叫做 两焦点间的距离叫做 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 p点的轨迹是双曲线 2 当时 p点的轨迹是两条射线 3 当时 p点不存在 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y r x r y a或y a 坐标轴 原点 1 2a 2b 实半轴长 虚半轴长 a2 b2 巧设双曲线方程 1 与双曲线 1 a 0 b 0 有共同渐近线的方程可表示为 t t 0 2 过已知两个点的双曲线方程可设为 1 mn 0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 1 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 3 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是 0 即 0 4 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于 5 若双曲线 1 a 0 b 0 与 1 a 0 b 0 的离心率分别是e1 e2 则 1 此结论中两条双曲线称为共轭双曲线 考点自测 1 教材改编 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 答案 解析 由题意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 2 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线y2 16x的准线交于a b两点 ab 则c的实轴长为 答案 解析 4 由题设c 1 抛物线y2 16x的准线为x 4 a 2 2a 4 c的实轴长为4 3 2016 无锡一模 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y 那么双曲线的离心率为 答案 解析 根据题意 设双曲线的方程为 1 即双曲线的离心率为 4 2016 江苏 在平面直角坐标系xoy中 双曲线 1的焦距是 答案 解析 由已知 a2 7 b2 3 则c2 7 3 10 故焦距为2c 5 双曲线 y2 1的顶点到其渐近线的距离等于 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为 2 0 一条渐近线方程是y 即x 2y 0 则顶点到渐近线的距离 题型分类深度剖析 题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 x2 1 x 1 几何画板展示 如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b 根据两圆外切的条件 得mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为ma mb 所以mc1 ac1 mc2 bc2 即mc2 mc1 bc2 ac1 2 所以点m到两定点c1 c2的距离的差是常数且小于c1c2 6 又根据双曲线的定义 得动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 故点m的轨迹方程为x2 1 x 1 命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 虚轴长为12 离心率为 解答 设双曲线的标准方程为 由题意知 2b 12 e b 6 c 10 a 8 双曲线的标准方程为 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解答 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 双曲线的标准方程为 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 3 经过两点p 3 和q 7 解答 双曲线的标准方程为 命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2pf2 则cos f1pf2 答案 解析 由双曲线的定义有pf1 pf2 pf2 2a pf1 2pf2 几何画板展示 引申探究1 本例中 若将条件 pf1 2pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解答 不妨设点p在双曲线的右支上 则pf1 pf2 2a 在 f1pf2中 由余弦定理 得 所以pf1 pf2 8 所以 2 本例中 若将条件 pf1 2pf2 改为 0 则 f1pf2的面积是多少 解答 不妨设点p在双曲线的右支上 则pf1 pf2 2a 所以 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立与pf1 pf2的联系 3 待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然后再根据a b c e及渐近线之间的关系 求出a b的值 如果已知双曲线的渐近线方程 求双曲线的标准方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 思维升华 跟踪训练1 1 已知f1 f2为双曲线 1的左 右焦点 p 3 1 为双曲线内一点 点a在双曲线上 则ap af2的最小值为 由题意知 ap af2 ap af1 2a 要求ap af2的最小值 只需求ap af1的最小值 当a p f1三点共线时 取得最小值 ap af2的最小值为ap af1 2a 答案 解析 几何画板展示 2 设f1 f2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 双曲线上存在一点p使得pf1 pf2 3b pf1 pf2 则该双曲线的离心率为 答案 解析 不妨设p为双曲线右支上一点 pf1 r1 pf2 r2 根据双曲线的定义 得r1 r2 2a 又r1 r2 3b 故 题型二双曲线的几何性质例4 1 2016 盐城三模 若圆x2 y2 r2过双曲线 1的右焦点f 且圆与双曲线的渐近线在第一 四象限的交点分别为a b 当四边形oafb为菱形时 双曲线的离心率为 答案 解析 2 若四边形oafb为菱形 且点a在圆x2 y2 r2上 则点a坐标为 此时r c 又点a在渐近线上 所以 2 2015 山东 在平面直角坐标系xoy中 双曲线c1 1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线c2 x2 2py p 0 交于点o a b 若 oab的垂心为c2的焦点 则c1的离心率为 答案 解析 由题意 不妨设直线oa的方程为y 直线ob的方程为y 设抛物线c2的焦点为f 则 oab的垂心为f af ob kaf kob 1 设c1的离心率为e 则 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率 在双曲线 a 0 b 0 中 离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e2 1 k2 思维升华 跟踪训练2 2016 全国甲卷改编 已知f1 f2是双曲线e 1的左 右焦点 点m在e上 mf1与x轴垂直 sin mf2f1 则e的离心率为 答案 解析 离心率e 由正弦定理得 题型三直线与双曲线的综合问题例5 2016 苏州模拟 已知椭圆c1的方程为 y2 1 双曲线c2的左 右焦点分别是c1的左 右顶点 而c2的左 右顶点分别是c1的左 右焦点 1 求双曲线c2的方程 解答 设双曲线c2的方程为 1 a 0 b 0 则a2 4 1 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 故c2的方程为 y2 1 2 若直线l y kx 与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b 且 2 其中o为原点 求k的取值范围 解答 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 9 0 由直线l与双曲线c2有两个不同的交点 得 k2 且k2 1 设a x1 y1 b x2 y2 又 2 得x1x2 y1y2 2 解得 k2 3 由 得 k2 1 故k的取值范围为 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 思维升华 跟踪训练3在平面直角坐标系xoy中 已知双曲线c 1 设过点m 0 1 的直线l与双曲线c交于a b两点 若 则直线l的斜率为 答案 解析 设a x1 y1 b x2 y2 代入双曲线方程联立解得 所以a 4 3 b 2 0 或a 4 3 b 2 0 即直线l的斜率为 典例已知双曲线x2 1 过点p 1 1 能否作一条直线l 与双曲线交于a b两点 且点p是线段ab的中点 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错系列10 1 点差法 解决直线与圆锥曲线的交点问题 要考虑变形的条件 2 判别式 0 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解设点a x1 y1 b x2 y2 在双曲线上 且线段ab的中点为 x0 y0 若直线l的斜率不存在 显然不符合题意 设经过点p的直线l的方程为y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 由题意 得 1 解得k 2 当k 2时 方程 可化为2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 没有实数解 不能作一条直线l与双曲线交于a b两点 且点p 1 1 是线段ab的中点 返回 课时作业 1 2016 泰州联考 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的焦距为10 点p 2 1 在c的一条渐近线上 则c的方程为 答案 解析 依题意 解得 双曲线c的方程为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 全国乙卷改编 已知方程 1表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 答案 解析 方程 1表示双曲线 1 3 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2016 盐城模拟 已知双曲线 1的左 右焦点分别为f1 f2 过f2的直线与该双曲线的右支交于a b两点 若ab 5 则 abf1的周长为 答案 解析 由双曲线 1 知a 4 26 由双曲线定义af1 af2 bf1 bf2 2a 8 af1 bf1 af2 bf2 16 21 abf1的周长为af1 bf1 ab 21 5 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 2016 北京 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线为2x y 0 一个焦点为 0 则a b 答案 解析 由2x y 0 得y 2x 所以 2 1 又c a2 b2 c2 解得a 1 b 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知点f是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点e是该双曲线的右顶点 过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a b两点 若 abe是锐角三角形 则该双曲线的离心率e的取值范围是 答案 解析 由题意易知点f的坐标为 c 0 a c b c e a 0 abe是锐角三角形 1 2 e e3 3e 3 1 1 e 1 2 整理得3e2 2e e4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 浙江 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为f1 f2 若点p在双曲线上 且 f1pf2为锐角三角形 则pf1 pf2的取值范围是 答案 解析 如图 由已知可得a 1 b c 2 从而f1f2 4 由对称性不妨设p在右支上 设pf2 m 则pf1 m 2a m 2 由于 pf1f2为锐角三角形 结合实际意义需满足 解得 1 m 3 又pf1 pf2 2m 2 2m 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 南京三模 设f是双曲线的一个焦点 点p在双曲线上 且线段pf的中点恰为双曲线虚轴的一个端点 则双曲线的离心率为 答案 解析 不妨设双曲线方程为 1 a 0 b 0 设f c 0 线段pf的中点为 0 b 则p c 2b 由点p在双曲线上 得 4 1 所以e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 设双曲线 1的左 右焦点分别为f1 f2 p为双曲线上位于第一象限内的一点 且 pf1f2的面积为6 则点p的坐标为 由双曲线 1的左 右焦点分别为f1 f2 所以f1f2 6 设p x y x 0 y 0 因为 pf1f2的面积为6 所以f1f2 y 6 y 6 解得y 2 将y 2代入 1得x 所以p 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 已知f1 f2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 若在双曲线的右支上存在一点m 使得 0 其中o为坐标原点 且 则双曲线的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在 mf1f2中 边f1f2上的中线等于f1f2的一半 可得 根据双曲线定义得 双曲线的离心率e 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 2015 课标全国 改编 已知m x0 y0 是双曲线c y2 1上的一点 f1 f2是c的两个焦点 若 0 则y0的取值范围是 答案 解析 由题意知a b 1 c 点m x0 y0 在双曲线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线的右支上 且pf1 4pf2 则此双曲线的离心率e的最大值为 答案 解析 由定义 知pf1 pf2 2a 又pf1 4pf2 pf1 a pf2 a 在 pf1f2中 由余弦定理 得 要求e的最大值 即求cos f1pf2的最小值 当cos f1pf2 1时 得e 即e的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 2015 课标全国 已知f是双曲线c x2 1的右焦点 p是c的左支上一点 a 当 apf的周长最小时 该三角形的面积为 答案 解析 设左焦点为f1 pf pf1 2a 2 pf 2 pf1 apf的周长为af ap pf af ap 2 pf1 apf周长最小即为ap pf1最小 当a p f1三点在一条直线时最小 过af1的直线方程为 1 与x2 1联立 解得p点坐标为 此时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 2016 江西丰城中学模拟 一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线 1 a 0 b 0 交于p q两点 直线l与y轴交于r点 且 3 求直线和双曲线的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 e b2 2a2 设直线l的方程为y x m 双曲线方程可化为2x2 y2 2a2 x2 2mx m2 2a2 0 4m2 4 m2 2a2 0 直线l一定与双曲线相交 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 2m x1x2 m2 2a2 x1 3x2 x2 m m2 2a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 消去x2 得m2 a2 x1x2 y1y2 x1x2 x1 m x2 m 2x1x2 m x1 x2 m2 m2 4a2 3 m 1 a2 1 b2 2 直线l的方程为y x 1 双曲线的方程为x2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14