高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修22.ppt

1 3 2利用导数研究函数的极值 1 理解函数极值 极值点的有关概念 掌握利用导数求函数极值的方法 2 注意结合函数的图象理解用导数求函数极值 最值 的方法 逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯 1 2 3 1 函数的极值与最值 1 已知函数y f x 设x0是定义域内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作y极小 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 2 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 3 函数f x 的最大 小 值是函数在指定区间上的最大 小 的值 1 2 3 名师点拨1 极值是一个局部概念 由定义知 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能是区间的端点 1 2 3 做一做1 1 下列说法正确的是 a 若f x f x0 则f x0 为f x 的极小值b 若f x f x0 则f x0 为f x 的极大值c 若f x0 为f x 的极大值 则f x f x0 d 以上都不对答案 d 1 2 3 做一做1 2 若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值 则 a 极大值一定是最大值 且极小值一定是最小值b 极大值一定是最大值 或极小值一定是最小值c 极大值不一定是最大值 极小值也不一定是最小值d 极大值必大于极小值答案 c 1 2 3 2 求函数y f x 极值的步骤第1步 求导数f x 第2步 求方程f x 0的所有实数根 第3步 考察在每个根x0附近 从左到右 导函数f x 的符号如何变化 如果f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 如果由负变正 则f x0 是极小值 如果在f x 0的根x x0的左 右侧 f x 的符号不变 则f x0 不是极值 归纳总结可导函数的极值点必须是导数为零的点 但导数为零的点不一定是极值点 如f x x3在x 0处的导数f 0 0 但x 0不是它的极值点 即可导函数在点x0处的导数f x0 0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件 1 2 3 答案 b 1 2 3 做一做2 2 若函数y 2x3 3x2 a的极大值是6 则a 解析 y 6x2 6x 6x x 1 当x 0 或x 1 时 y 0 原函数为增函数 当x 0 1 时 y 0 原函数为减函数 故当x 0时 y极大值 a 6 答案 6 1 2 3 3 求函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤第1步 求f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 第2步 计算函数f x 在区间 a b 内使f x 0的所有点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 名师点拨利用导数法求最值 实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值 因此 我们可以在导数法求最值的基础上进行变通 令f x 0得到方程的根x1 x2 直接求得函数值f x1 f x2 然后再与端点的函数值比较就可以了 省略了判断极值的过程 当然导数法与函数的单调性结合 也可以求最值 1 2 3 做一做3 函数f x x3 x2 x在区间 2 1 上的最大值为 最小值为 函数的极值与最值有何关系 剖析 如果函数在某些点处不可导 也需要考虑这些点是否是极值点 函数的最大值和最小值点 观察下图中一个定义在区间 a b 上的函数f x 的图象 图中f x1 与f x3 是极小值 f x2 是极大值 函数f x 在 a b 上的最大值是f b 最小值是f x3 一般地 在区间 a b 上如果函数f x 的图象是一条连续不间断的曲线 那么该函数在 a b 上必有最大值与最小值 注意 1 在区间 a b 内函数f x 的图象是一条连续不间断的续 但没有最大值与最小值 2 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 3 函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 是f x 在区间 a b 上有最大值与最小值的充分不必要条件 4 函数在其定义域上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能一个也没有 题型一 题型二 题型三 题型四 求函数的极值 分析 按照求极值的方法 首先从方程f x 0入手 求出函数f x 在定义域内所有可解的极值点 然后按极值的定义判断并求值 解 1 函数f x 的定义域为r f x 2xe x x2e x x x 2 x e x 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 题型一 题型二 题型三 题型四 从表中可以看出 当x 0时 函数有极小值 且f 0 0 当x 2时 函数有极大值 且f 2 4e 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思函数的极值研究是导数应用的关键知识点 可加深对函数单调性与其导数关系的理解 y f x 的导数存在时 f x0 0是y f x 在x x0处有极值的必要条件 只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反 才能断定y f x 在x x0处取得极值 题型一 题型二 题型三 题型四 求函数在区间 a b 上的最值 分析 求出f x 的极值及定义域区间端点处的函数值 比较得到最大值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不间断的曲线 那么它必有最大值和最小值 如果函数y f x 在区间 a b 内可导 求f x 在区间 a b 上的最值可简化过程 即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较 即可判定最大 或最小 的函数值 就是最大 或最小 值 题型一 题型二 题型三 题型四 由函数的最值求参数的值 例题3 已知函数f x ax3 6ax2 b a 0 问是否存在实数a b使f x 在区间 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 分析 利用求最值的方法确定a b的值 注意对a的讨论 解 存在 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 1 当a 0 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 题型一 题型二 题型三 题型四 所以当x 0时 f x 取得最大值 所以b 3 又f 2 16a 3 f 1 7a 3 f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取得最小值 所以 16a 3 29 即a 2 2 当a 0 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取得最小值 所以b 29 又f 2 16a 29 f 1 7a 29 f 2 f 1 所以当x 2时 f x 取得最大值 所以 16a 29 3 即a 2 综上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 题型一 题型二 题型三 题型四 反思此类题目属于逆向思维题 但仍可根据求函数最值的步骤来求解 借助于待定系数法求其参数值 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 对于可导函数 极值点处的导数为0 但导数为0的点不一定是极值点 因此已知函数的极值点求某些参变量的值时 应验证所得结果是否符合题意 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 当a 1 b 3时f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 1 2 3 4 5 1已知函数f x 在其定义域内可导 下列结论正确的是 a 导数为零的点一定是极值点b 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值答案 b 1 2 3 4 5 2下列说法正确的是 a 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值b 闭区间上图象连续不间断的函数一定有最值 也一定有极值c 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值则一定有最值d 若函数在给定区间上有最值 则最多有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可有多个极值甚至无穷多个答案 d 1 2 3 4 5 3函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值和最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16解析 由f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 0 得x 1或x 2 因为f 0 5 f 2 15 f 3 4 所以f 2 f 3 f 0 所以f x max f 0 5 f x min f 2 15 答案 a 1 2 3 4 5 4函数y lnx x2的极值点为 1