云南省中考数学 试题研究 三、解答题重难点突破 题型四 函数与几何图形的综合题.doc

函数与几何图形的综合题针对演练类型一 与三角形形状有关的问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点a(0，6)和点c(6，0)(1)求抛物线的解析式(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点b，试判断abc的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点p，使得pac是以ac为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015南通13分)已知抛物线yx22mxm2m1(m是常数)的顶点为p，直线l：yx1.(1)求证点p在直线l上；(2)当m3时，抛物线与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，与直线l的另一个交点为q，m是x轴下方抛物线上的一点，acmpaq(如图)，求点m的坐标；(3)若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值第2题图3. (2015宜宾12分)如图，抛物线yx2bxc与x轴分别相交于点a(2，0)、b(4，0)，与y轴交于点c，顶点为点p.(1)求抛物线的解析式；(2)动点m、n从点o同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段ob、oc上向点b、c方向运动，过点m作x轴的垂线交bc于点f，交抛物线于点h.当四边形omnh为矩形时，求点h的坐标；是否存在这样的点f，使pfb为直角三角形？若存在，求出点f的坐标；若不存在，请说明理由第3题图类型二与四边形形状有关的问题1. 如图，已知直线yx8与x轴交于点a，与y轴交于点b，c是线段ab的中点，抛物线yax2bxc(a0)过o、a两点，且其顶点的纵坐标为.(1)分别写出a、b、c三点的坐标；(2)求抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点p，使得以o、p、b、c为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015毕节16分)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于a(1，0)，b(3，0)两点，顶点m关于x轴的对称点是m.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线am与此抛物线的另一个交点为c，求cab的面积；(3)是否存在过a、b两点的抛物线，其顶点p关于x轴的对称点为q，使得四边形apbq为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由第2题图3. (2015广安10分)如图，边长为1的正方形abcd一边ad在x负半轴上，直线l：yx2经过点b(x，1)与x轴、y轴分别交于点h、f，抛物线yx2bxc顶点e在直线l上(1)求a、d两点的坐标及抛物线经过a、d两点时的解析式(2)当该抛物线的顶点e(m，n)在直线l上运动时，连接ea、ed，试求ead的面积s与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围(3)设抛物线与y轴交于g点，当抛物线顶点e在直线l上运动时，以a、c、e、g为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出e点坐标；若不能，请说明理由第3题图4. (2015梧州13分)如图，抛物线yax2bx2与坐标轴交于a、b、c三点，其中b(4，0)、c(2，0)连接ab、ac，在第一象限内的抛物线上有一动点d，过点d作dex轴，垂足为点e，交ab于点f.(1)求此抛物线的解析式；(2)在de上作点g，使g点与d点关于f点对称，以g为圆心，gd为半径作圆，当g与其中一条坐标轴相切时，求点g的横坐标(3)过d点作直线dhac交ab于h，当dhf的面积最大时，在抛物线和直线ab上分别取m、n两点，并使d、h、m、n四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的m、n两点的横坐标第4题图5. (2015龙东地区10分)如图，四边形oabc是矩形，点a、c在坐标轴上，ode是由ocb绕点o顺时针旋转90得到的，点d在x轴上，直线bd交y轴于点f，交oe于点h，线段bc、oc的长是方程x26x80的两个根，且ocbc.(1)求直线bd的解析式(2)求ofh的面积(3)点m在坐标轴上，平面内是否存在点n，使以点d、f、m、n为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点n的坐标；若不存在，请说明理由第5题图类型三与三角形相似有关的问题1. (2015黔南州12分)如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx2bxc过点a(0，4)和c(8，0)，p(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，m是线段ap的中点，将线段mp绕点p顺时针旋转90得线段pb.过点b作x轴的垂线，过点a作y轴的垂线，两直线相交于点d.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点d落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以a，b，d为顶点的三角形与aop相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015牡丹江10分)如图，在平面直角坐标系中，abc的顶点a在x轴负半轴上，顶点c在x轴正半轴上，顶点b在第一象限，过点b作bdy轴于点d，线段oa，oc的长是一元二次方程x212x360的两根，bc4，bac45.(1)求点a、c的坐标；(2)反比例函数y的图象经过点b，求k的值；(3)在y轴上是否存在点p，使以p，b，d为顶点的三角形与以p，o，a为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点p的个数，并直接写出其中两个点p的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3. (2015随州12分)如图，已知抛物线y(x2)(x4)与x轴交于点a、b(点a位于点b的左侧)，与y轴交于点c，cdx轴，交抛物线于点d，m为抛物线的顶点(1)求点a、b、c的坐标；(2)设动点n(2，n)，求使mnbn的值最小时n的值；(3)p是抛物线上一点，请你探究：是否存在点p，使以p、a、b为顶点的三角形与abd相似(pab与abd不重合)？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由4. (2015鄂州12分)如图，在平面直角坐标系xoy中，直线yx2与x轴交于点a，与y轴交于点c，抛物线yax2bxc的对称轴是x，且经过a、c两点，与x轴的另一交点为b.(1)直接写出点b的坐标；求抛物线解析式(2)若点p为直线ac上方的抛物线上的一点，连接pa，pc.求pac的面积的最大值，并求出此时点p的坐标(3)抛物线上是否存在点m，过点m作mn垂直x轴于点n，使得以点a、m、n为顶点的三角形与abc相似？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由第4题图类型四与面积有关的问题1. (2015武威10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点a(0，4)，b(1，0)，c(5，0)，其对称轴与x轴相交于点m.(1)求此抛物线的解析式和对称轴；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点p，使pab的周长最小？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接ac，在直线ac下方的抛物线上，是否存在一点n，使nac的面积最大？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015贵港10分)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点a和点b(1，0)，与y轴交于点c (0，3)，其对称轴l为x1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点p在第二象限内的抛物线上，动点n在对称轴l上当pana，且pana时，求此时点p的坐标；当四边形pabc的面积最大时，求四边形pabc面积的最大值及此时点p的坐标第2题图3. (2015莱芜12分)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点a(3，2)，b(0，2)，其对称轴为直线x，c(0，)为y轴上一点，直线ac与抛物线交于另一点d.(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段ad下方的抛物线上求一点e，使得ade的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点f，使得adf是直角三角形？如果存在，求出点f的坐标；如果不存在，请说明理由4. (2015深圳9分)如图，关于x的二次函数yx2bxc经过点a(3，0)，点c(0，3)，点d为二次函数的顶点，de为二次函数的对称轴，e在x轴上(1)求抛物线的解析式；(2)de上是否存在点p到ad的距离与到x轴的距离相等，若存在求点p，若不存在请说明理由；(3)如图，de的左侧抛物线上是否存在点f，使2sfbc3sebc，若存在，求点f坐标，若不存在说明理由第4题图5. (2015攀枝花12分)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于a(1，0)，b(3，0)两点，与y轴交于点c，抛物线的对称轴与抛物线交于点p、与直线bc相交于点m，连接pb.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点d，使得bcd的面积最大？若存在，求出d点坐标及bcd面积的最大值；若不存在，请说明理由(3)在(1)中的抛物线上是否存在点q，使得qmb与pmb的面积相等？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由第5题图6. (2015达州12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的边oa在y轴的正半轴上，oc在x轴的正半轴上，aoc的平分线交ab于点d，e为bc的中点，已知a(0，4)、c(5，0)，二次函数yx2bxc的图象抛物线经过a、c两点(1)求该二次函数的表达式；(2)f、g分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接d、e、f、g构成四边形defg，求四边形defg周长的最小值；(3)抛物线上是否存在点p，使odp的面积为12？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由第6题图类型五与线段有关的问题1. (2015锦州14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2经过点a(1，0)和点b(4，0)，且与y轴交于点c，点d的坐标为(2，0)，点p(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接ca、cd、pd、pb.(1)求该抛物线的解析式；(2)当pdb的面积等于cad的面积时，求点p的坐标；(3)当m0，n0时，过点p作直线pey轴于点e交直线bc于点f，过点f作fgx轴于点g，连接eg，请直接写出随着点p的运动，线段eg的最小值2. (2015大连12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的顶点a、c分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点b的坐标为(2m，m)翻折矩形oabc，使点a与点c重合，得到折痕de.设点b的对应点为f，折痕de所在直线与y轴相交于点g，经过点c、f、d的抛物线为yax2bxc.(1)求点d的坐标(用含m的式子表示)；(2)若点g的坐标为(0，3)，求该抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，设线段cd的中点为m，在线段cd上方的抛物线上是否存在点p，使pmea？若存在，直接写出点p的坐标，若不存在，说明理由第2题图【答案】题型四 函数与几何图形的综合题类型一 与三角形形状有关的问题1. 【思路分析】(1)利用待定系数法通过点a、c的坐标计算b、c的值，得到该抛物线的解析式；(2)由抛物线的解析式得出点b的坐标，结合其他点的坐标判断abc的形状；(3)利用ac的垂直平分线不平行于抛物线的对称轴，必然与抛物线存在的两个交点都能成为点p,使得pac为等腰三角形.解：(1)将a(0，-6)和c(6，0)代入y=x2+bx+c中，得 c=-636+6b+c=0，解得 b=-5c=-6，抛物线的解析式为y=x2-5x-6；(2)由x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6，点b的坐标为b(-1，0)，即点b在(-6，0)与原点之间，又oa6，oc=6,oac=oca=45，bac为锐角，abc为锐角三角形；(3)存在满足条件的点p，使得pac是以ac为底的等腰三角形，分两种情况讨论，抛物线上存在两个点p能使得pac是以ac为底的等腰三角形.如解图，设m为线段ac的中点，则om为ac的垂直平分线，直线om与抛物线必有的两个交点都是满足条件的点p，第1题解图a(0，-6)，c(6，0)，点m的坐标为(3，-3)，设直线om的解析式为y=kx，将点m(3，-3)代入得，k=-1，即直线om的解析式为y=-x，联立 y=-xy=x2-5x-6，得x2-4x-6=0， x1=2-y1=-2，或 x2=2+y2=-2-，点p的坐标为(2-，-2)或(2+，-2-).2. (1)证明：yx2-2mx+m2+m-1(x-m)2+m-1，顶点p(m，m-1).将xm代入yx-1得ym-1，点p在直线yx-1上.(3分)(2)解：当m-3时，抛物线解析式为yx2+6x+5，令x=0,y=5,点c的坐标为(0，5)，作pfx轴于点f，mey轴于点e，qgy轴于点g.如解图，第2题解图联立 y=x2+6x+5y=x-1，解得 x1=-3y1=-4, x2=-2y2=-3，p(-3，-4)，q(-2，-3).yx2+6x+5(x+5)(x+1)，a(-5，0)，b(-1，0)，(5分)qg=3,ag=5-2=3,caoaco45，oaq=45，apf90-(paq+45)45-paq，mce45-acm,acmpaq,apfmce，rtcmertpaf，(7分).设点m的坐标为(x,x2+6x+5),则me=-x,ce=-x2-6x,pf=4,af=2.,解得x1=-4,x2=0(舍去).则x2+6x+5=-3,m(-4，-3).(12分)(3)解：m的值为0，.(13分)【解法提示】联立抛物线解析式和直线l的解析式得y=x2-2mx+m2+m-1y=x-1,解得 x1=my1=m-1， x2=m+1y2m，p(m,m-1),q(m+1,m),由题意，opq为等腰三角形，op2m2+(m-1)2=2m2-2m+1,oq2=(m+1)2+m2=2m2+2m+1,pq2=(m+1-m)2+ m-(m-1)2=2,当op2oq2时，2m2-2m+1=2m2+2m+1,解得m=0.当oq2pq2时，2m2+2m+1=2,解得m1=,m2=.当op2pq2时，2m2-2m+1=2,解得m1=,m2=.综上，当opq为等腰三角形时，m的值为0，,.3. 【思路分析】(1)将a、b两点坐标代入函数解析式，求得其待定系数b、c的值即可.(2)如解图,根据已知，点m和点n移动速度相同，因此四边形omhn若为矩形，则om=on，且nh=om，hm=on，所以可以得到点h到x轴与到y轴的距离相等，又因为点h在抛物线上，设点h横坐标为t，则它的纵坐标为-t2+t+4，再根据以上关系得出一个关于t的一元二次方程.先假设点f存在，用一个未知数m表示出点f的横坐标和纵坐标，进而用m表示出bf2、fp2并求pb2的值，然后根据勾股定理分两种情况分别进行求解.解： (1)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点a(-2,0)、b(4,0)， -(-2)2-2b+c=0-42+4b+c=0，解得 b=1c=4，(2分)抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(3分)(2)如解图,设经过t秒后，四边形omhn为正方形，则第3题解图om=t，on=t,点h的坐标为(t,- t2+t+4),四边形omhn为正方形,-t2+t+4=t,解得t1=2,t2=-2 (不符合题意，舍去),(5分)点h的坐标为(2，2).(6分)设存在点f,使pfb为直角三角形，由(1)得点b(4，0)，点c(0，4)，设直线bc的函数解析式为y=kx+b(k0)， 4k+b=0b=4,解得 k=-1b=4,直线bc的解析式为y=-x+4,设点f的横坐标为m，则点f的纵坐标为-m+4,抛物线的解析式为y=-x2+x+4,y=- (x-1)2+,抛物线顶点p的坐标为(1，),pb2=(4-1)2+(0-)2=,fp2=(1-m)2+(-4+m)2=2m2-m+,bf2=(4-m)2+(-m+4)2=2m2-16m+32，(8分)点p为抛物线顶点,当pfb=90时，如解图,bf2+fp2=pb2，2m2-16m+32+2m2-m+=,4m2-17m+4=0,解得m1=4,m2=,若能组成直角三角形，则点f在点p左侧,第3题解图m1,m= ,-m+4= ,点f的坐标为(, ),(10分)当fpb=90时，如解图,第3题解图 pb2+fp2=bf2，+2m2-m+=2m2-16m+32,解得m= ,-m+4= ,点f的坐标为(, ).综上所述，点f的坐标为(，)或(，).(12分)【难点突破】本题的难点是第(2)问，要求点f的坐标，首先假设点f存在，根据抛物线上各点的位置关系，表示出线段长，由于pfb的直角顶点不确定，所以求解过程中需分两种情况进行讨论.【一题多解】假设存在点f使pfb为直角三角形.()如解图，当pfb=90时，设抛物线的对称轴与x轴交于点e，过f作fdpe于点d，第3题解图ocob,oc=ob=4，ocb=obc45，直线bc的解析式：y=-x+4，过f作fdob交pe于点d,则dfbcbo=45,又pfb=90,pfd=45，pd=fd，设f(t,-t+4)，由(1)知p(1, )，则pd=-(-t+4)，fd=1-t，-(-t+4)=1-t，t=,-t+4=,f(, ).()如解图,当fpb=90时，过f作fdpe于点d，fpd+dpb=90，第3题解图又dpb+pbo=90，fpd=pbo，tanfpd=tanpbo，即，t=,-t+4=，f(, ).综上所述，点f的坐标为(，)或(,).类型二 与四边形形状有关的问题1. 解：(1)直线y-x+8与x轴交于点a，与y轴交于点b，令y=-x+80，x6,即a(6,0),令x=0,y0+88，即b(0,8).c是线段ab的中点，3，4，a(6，0)、b(0，8)、c(3，4)；(2)抛物线经过点o(0,0),点a(6,0)，顶点的纵坐标为-，其顶点坐标为(3，-)， c=036a+6b+c=09a+3b+c=-,解得 a=b=-c=0,抛物线的函数解析式为yx2-x； (3)存在点p，使以o、p、b、c为顶点的四边形是菱形，aob90，a(6，0)、b(0，8)，ab =10,c是ab的中点，oc= ab=bc=5,ob=8,oboc，且obbc，当以o、p、b、c为顶点的四边形是菱形时，ob是菱形的对角线，连接pc，如解图，则ob是pc的垂直平分线，第1题解图点p与点c关于直线ob对称，即p与c关于y轴对称，c(3，4)，p(-3，4)，把点p(-3，4)代入抛物线解析式y=x2-x中，当x-3时，y(-3)2-(-3)4，点p(-3，4)在抛物线上.故在抛物线上存在点p，使以o、p、b、c为顶点的四边形是菱形，点p的坐标是(-3，4).2. 解：(1)抛物线与x轴交于点a(-1,0)，b(3,0)，(2分)y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(4分)(2)抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，点m的坐标为(1,-4).m与m关于x轴对称，点m的坐标为(1,4)，(6分)设直线am的解析式为y=kx+m，将点a(-1,0)，点m(1，4)代入得-k+m=0k+m=4，解得 k=2m=2，直线am的解析式为y=2x+2，(8分)与抛物线y=x2-2x-3联立得 y=2x+2y=x2-2x-3，解得 x1=-1y1=0, x2=5y2=12，点c的坐标为(5,12)，(10分)又ab=4，sabc=412=24.(12分) (3)存在.理由如下：如解图，四边形apbq是正方形，pq垂直且平分ab，ab垂直且平分pq，且pq=ab，第2题解图设pq与x轴交点为n，则pn= ab=2,点p的坐标为(1,2)或(1，-2). (13分)设过a、b两点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点(1,2)代入得a=- ，此时抛物线解析式为y=- (x+1)(x-3)=- x2+x+ ；(15分)将点(1，-2)代入得a=，此时抛物线解析式为y= (x+1)(x-3)= x2-x- .综上，存在这样的抛物线2条，其解析式为y=-x2+x+或y=x2-x-.(16分)【易错分析】在确定四边形apbq为正方形时，一定要注意点p可能在x轴上方，也可能在x轴下方，不要漏掉任何一种情况.3. 【思路分析】(1)把b点坐标代入一次函数的解析式中求出b点的横坐标，进而得到a、d点的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式.(2)把e点坐标代入一次函数解析式，得到n关于m的关系式，根据三角形的面积公式列出s与m的函数解析式.(3)分情况讨论，假设存在e点，根据平行四边形的性质，列方程求e点坐标便可.解：(1)把b点的坐标(x,1)代入y=x+2中，得x+2=1,解得x=-2,b(-2,1),正方形abcd的边长为1，a(-2，0),(1分)则d(-3,0)，(2分)把a(-2，0),d(-3,0)代入抛物线的解析式中，得 -4-2b+c=0-9-3b+c=0,解得 b=-5c=-6，经过a、d两点的抛物线的解析式为y=-x2-5x-6.(4分)(2)e(m，n)在直线y=x+2上，n=m+2,(5分)根据三角形的面积公式得，s=ad|m+2|=|m+2|，当m+20，即m-4时，s= (m+2)=14m+1；当m+20，即m-4时，e、a、d三点共线，此时不构成三角形；当m+20，即m-4时，s= (-m-2)=- m-1,综上可知，s= m+1(m-4)-m-1(m-4). (7分)(3)存在点e，使得以a、c、e、g为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况：当ac为对角线时，此时eg与ac则互相平分，这不可能存在，故此情况不存在；(8分)第3题解图当ac为平行四边形的边时，如解图所示，e点在y轴左边，即为e点，过e点作emy轴，e(m，m+2),抛物线是由y=-x2-5x-6平移得到的，设此时的抛物线的解析式为y=-(x-m)2+m+2，即y=-x2+2mx-m2+m+2,g(0，-m2+m+2),在rtemg中，根据勾股定理可得eg2=em2+gm2=m2+(m+2)-(-m2+m+2)2=m4+m2，又平行四边形的对边相等，eg=ac=，eg2=ac2,即m4+m2=2,解得m2=1,(9分)m0，m=-1.故存在点e(-1，)，使得四边形agec为平行四边形.(10分)4. 【思路分析】(1)将b、c两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+2得方程组求解，即可求得抛物线的解析式；(2)利用(1)中求出的二次函数解析式，确定出a点的坐标，然后根据a、b两点的坐标求出ab的解析式，分别用含有参数的代数式表示出圆的半径以及圆心到坐标轴的距离，然后分g与y轴相切和g与x轴相切两种情形来讨论即可求解.(3)根据dhac，dex轴，确定出当df的值最大时，dhf的面积最大，再根据平移的性质，确定使d、h、m、n四点组成的平行四边形的m、n两点的横坐标即可.解：(1)将b(4，0)、c(-2，0)代入y=ax2+bx+2，得 16a+4b+2=04a-2b+2=0,(2分) 解得 a=-b=，(3分)抛物线的解析式为y=-x2+x+2；(4分)(2)令x=0，即y=2，则a(0，2)，设直线ab的解析式为y=kx+b（k0），将点a(0，2)、b(4，0)代入中，得 b=24k+b=0，解得 k=-b=2，直线ab的解析式为：y=-x+2，设点d的坐标为(t，-t2+t+2)(0t4(舍去)，t3=t4=0(舍去)；(6分)如果g与x轴相切，则t2-t+2=|-t2+t+2-(t2-t+2)|，解得t1=，t2=4(舍去)，t3=-2bc,oc=4,bc=2，b(-2,4)，ode是ocb绕点o顺时针旋转90度得到的，od=oc=4,de=bc=2,d(4,0)，设直线bd的解析式为y=kx+b(k0)， -2k+b=44k+b=0，解得 k=-b=，直线bd的解析式为y=-x+.(3分)(2)de=2,e(4,2)，直线oe的解析式为y=x，联立 y=-x+y=x,解得 x=y=,h(,),h点到y轴的距离为，又由bd的解析式可得f(0, ),sofh.(6分)(3)以点d、f、m、n为顶点的四边形是矩形，第5题解图dfm是直角三角形.当mfd为直角时，则m只能在x轴上，连接fn交md于点g，如解图，bd的解析式为y=-x+且直线fm与直线bd垂直，直线fm的斜率是，又直线fm过f(0，)点，直线fm的解析式为y=x+,m(-，0),od=4,of=，mfd=mfo+ofd=90，又mfo+fmo=90,nmo=dfo,又mof=fod=90,rtfomrtdof,即=,om=,m(-,0),点g是md的中点，g(,0),同时点g又是fn的中点，根据两点的中点坐标公式可得n(，-)，当mdf为直角时，点m在y轴上，连接dn交fm于点g，如解图,bd的解析式为y=-x+且直线md与直线bd垂直，又直线md过d(4,0)点，直线md的解析式为y=x-6,of=，od=4,同理可得，即，om=6,m(0,-6),点g是fm的中点,g(0,- ),同时点g又是dn的中点,根据两点的中点坐标公式可得n(-4，-).第5题解图当fmd为直角时，点m是原点，如解图,由图可知，四边形fmdn为矩形，所以n点的坐标是(4，).综上所述，点n存在，坐标为(，-)，(-4，-),(4，).(10分)类型三 与三角形相似有关的问题1. 解：(1)由抛物线y=-x2+bx+c过点a(0,4)和c(8，0),(1分)可得 c=4-64+8b+c=0, 解得 c=4b=. (4分)(2)aop=peb=90，oap=90-apo=epb,aoppeb，pb是mp旋转所得，pb=mp，又m是ap的中点，ap=2mp2pb，相似比为=2,(5分)ao=4,pe=2,oe=op+pe=t+2，又de=oa=4，点d的坐标为(t+2,4)，(6分)当点d落在抛物线上时，有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,解得t=3或t=-2.t0，t=3,故当t为3时，点d落在抛物线上.(7分)(3)存在t,使得以a,b,d为顶点的三角形与aop相似.理由：当0t8时，若poaadb,则，即,解得t=84 (负值舍去);(10分)若poabda，同理，解得t无解.(11分)综上所述，当t=-2+2 或t=8+4 时，以a,b,d为顶点的三角形与aop相似.(12分)2. 【思路分析】(1)解一元二次方程得出方程的根，便可求出点的坐标；(2)过点b作beac于点e，设oe=x,在rtbce中，由勾股定理列出方程便可求出x，进而得出b点坐标，问题就迎刃而解；(3)根据相似三角形的比例线段进行解答即可.解：(1)由x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6,oa=6,oc=6，a(-6,0)，c(6,0).(2分) (2)过点b作beac于点e，如解图，第2题解图设oe=x,则ce=6-x,ae=6+x，bac=45，be=ae=6+x，在rtbce中，be2+ce2bc2，即(6+x)2+(6-x)2=(4 )2，x1=2,x2=-2(舍去)，b(2,8)，将点b坐标代入y= 中，k=16.(6分)(3)存在，满足条件的点p有5个，坐标为（0，12），（0，6），（0，2），（0，4+2 ），（0，4-2 ）（写出任意两个即可）.(10分)【解法提示】设p(0，y)，odb=90，doa=90，pdb与poa对应.两三角形相似共有四种情况：pbdpao、pbdapo、bpdpao、bpdapo,依次讨论即可，下面以第一个为例分析，后面的情况类似.pbdpao，即，y=12或y=6，p1(0,12),p2(0,6).同理，由其他三种情况的比例关系类似，可求得p3(0，2)，p4(0，4+2)，p5(0，4-2.满足条件的点p的个数是5个.3. 【思路分析】(1)a、b、c是抛物线与坐标轴的交点，故当y0时,可计算a、b的坐标，当x=0时，可计算c的坐标；(2)作b(或m)关于x=-2的对称点b，连接bm，与x=-2的交点即n，由bm的解析式与x=-2可确定n值；(3)假设满足条件的点p存在，分类讨论：在第一、二、四象限，x轴下方.通过数形结合可知，一、二象限内两点关于抛物线对称轴对称，故求其中一个可知另一个，具体方法是过d作dex轴于点e，过p作pfx轴于点f，在讨论pafdae的前提下计算abp的边长和点p坐标，然后根据“两边对应成比例且夹角相等”来检验pab和abd是否相似；点p在x轴下方时易知其和点d关于抛物线对称轴对称.解：(1)抛物线解析式为y= (x+2)(x-4),令x=0得y=-,令y=0得x1=-2,x2=4,a(-2,0)，b(4,0)，c(0,- ).(3分) (2)如解图，过点a(-2,0)作y轴平行线l，第3题解图则点b关于l的对称点b(-8，0)，由抛物线顶点坐标公式得m(1，-).连接bm与l的交点即为使mn+bn值最小的点n.设直线bm的解析式为y=kx+b（k0）,则 -8k+b=0k+b=-，解得 k=-b=-,直线bm的解析式为y=-x-.当x=-2时,n=-.(7分)(3)假设存在点p(t, (t+2)(t-4),使p、a、b为顶点的三角形与abd相似.下面分三种情况讨论：()当点p在第一象限时，显然pba为钝角，bad与abd为锐角，过d作dex轴于点e，过p作pfx轴于点f，易得d(2，-)，pf=（t+2)(t-4),af=t+2,de=,ae=4.第3题解图若pafdae，则pafdae，即4 (t+2)(t-4)= (t+2)，解得：t1=-2(舍去)，t2=6，当t=6时，pf=2，af=8，pa=6，又ad3，当t=6时，pab与bad相似，且p(6,2).若paf=dbe，则pafdbe，即2 (t+2)(t-4)= (t+2)，解得：t1=-2(舍去)，t2=8，当t=8时，af=10，pf=5，pa=，de，bd=，显然且，当t=8时，pab与abd不可能相似.()点p为第二象限时，根据对称性易知存在点p(-4，2)，使pabbda(当然，也可以像()中一样计算得出).()点p在x轴下方时，根据对称性易知存在点p(0，-)，使pabbda.综上所述，存在点p1(6，2)，p2(-4，2),p3(0,- )三点使得以p、a、b为顶点的三角形与abd相似.(12分)4. 【思路分析】(1)根据直线解析式，求出点a的坐标，根据对称性可得点b的坐标；求出点a、c的坐标，然后代入抛物线的解析式y=a(x+ )2+k,求出a,k即可；(2)结合抛物线的解析式，设出点p的坐标，过点p作y轴的垂线pe，垂足为e，根据spacs四边形aoep-spec-saoc，求得三角形面积与点p的横坐标的二次函数关系式，得到确定根据二次函数最大值，即pac的面积的最大值，进而可求得点p的坐标；(3)结合抛物线的解析式，设出点m的坐标，然后分三种情况进行讨论，由于两个三角形相似，根据相似三角形对应线段成比例，列出方程求解即可.解：(1)点b的坐标为(1，0).(1分)【解法提示】由直线y=x+2可知，点a的坐标为(-4，0)，点a与点b关于直线x=-对称，点b的坐标为(1，0).由直线y=x+2可知，点a的坐标为(-4，0)，点c的坐标为(0，2)，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,可设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k,(2分)根据题意得 a+k=0a+k=2,解得 a=-k=,抛物线的解析式为y=-(x+)2+-x2-x+2.(4分) (2)如解图，设点p的坐标为(t,-t2-t+2),过点p作y轴的垂线pe，垂足为点e，第4题解图点p为直线ac上方的抛物线的一点，-4t0,则pe=-t，oe=-t2-t+2,ce=-t2-t,spacs四边形aoep-spec-saoc(-t+4)(-t2-t+2)- (-t)(-t2-t)-42-(t+2)2+4,pac的面积的最大值为4.(7分)此时点p的坐标为(-2，3).(8分)(3)存在以点a、m、n为顶点的三角形与abc相似.设点m的坐标为(m,-m2-m+2),点a(-4，0)，b(1,0)，c(0,2)，ab=5,ac=2，bc，ab2ac2+bc2，即abc是直角三角形，且acb90，(9分)当点m在x轴上方，即-4m1时，当时，rtamnrtbac，,解得：m5=5,m6=-4(舍去)，点m的坐标为(5，-18)；当时，rtamnrtabc，,解得:m72，m8-4(舍去)，点m的坐标为(2，-3);(11分)当点m在x轴下方，且m-4时，当时，rtamnrtbac,m无解，当时，rtamnrtabc，,解得：m9=-2+ (舍去)，m10=-2- (舍去),综上所述，存在点m，使得以点a、m、n为顶点的三角形与abc相似，点m的坐标为(-3，2)或(0，2)或(5，-18)或(2，-3).(12分)类型四与面积有关的问题类型四 与面积有关的问题1. 解：(1)设抛物线的解析式为ya(x-1)(x-5)，把点a(0，4)代入上式，解得a，(1分)y= (x-1)(x-5)= x2-x+4= (x-3)2-,(2分)抛物线的对称轴是直线x3.(3分)(2)存在，p点坐标为(3，).(4分)如解图，连接ac交对称轴于点p，连接bp，ba，第1题解图点b与点c关于对称轴对称，pb=pc，ab+ap+pbab+ap+pcab+ac，此时pab的周长最小，(5分)设直线ac的解析式为ykx+b，把a(0，4)，c(5,0)代入y=kx+b中,得 b=45k+b=0，解得 k-b4，直线ac的解析式为y-x+4，点p的横坐标为3，y-3+4=，p点坐标为(3，).(6分)(3)在直线ac下方的抛物线上存在点n，使nac面积最大，如解图，设n点的横坐标为t，第1题解图此时点n(t，t2-t+4)(0t5).(7分)过点n作y轴的平行线，分别交x轴、ac于点f、g，过点a作adng,垂足为点d.由(2)可知直线ac的解析式为y-x+4，把xt代入y-x+4得y-t+4，则g(t，-t+4).此时ng-t+4-(t2-t+4)-t2+4t，(8分)ad+cfoc5，snac=sang+scng=ngad+ngcfngoc(-t2+4t)5-2t2+10t=-2(t-)2+,当t时，nac的面积最大，最大值为，(9分)由t，得yt2-t+4-3，n点坐标为(，-3).(10分)2. 解：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点a和点b(1，0)，与y轴交于点c(0,3)，其对称轴l为x=-1, a+b+c=0c=3-=-1, 解得 a=-1b=-2c=3，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,(2分)顶点坐标为(-1，4).(3分)(2)令y=-x2-2x+3=0,解得x=-3或x=1,a(-3,0),b(1,0),如解图，