山东省新泰市高考数学二轮复习 热点三 不等式练习 理（含解析）.doc

数学热点三 不等式【考点精要】考点一. 一元二次不等式及其应用. 主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系. 特别当一元二次不等式的解集是或r的情况的等价命题：的解集是r或. 如：设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同实根，则的最小值为（d）a-8 b. 8 c.12 d.13考点二. 绝对值不等式. .解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解.如: (2011年山东理)若不等式的解集为，则实数k=_. 解析：由可得，即，而，所以.另解：由题意可知是的两根，则，解得.考点三. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题. 了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点. 考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 如：设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是( )a14 b16 c17 d19答案: b考点四. 不等式的性质. 重点考查均值不等式、绝对值不等式、三角不等式、一元二次不等式. 一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查. 如：设为正实数，则( )a. b. c. d. 1提示：由，得又 ，即 于是再由不等式中等号成立的条件，得，则，故选a考点五. 利用不等式考查函数的性质. 利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等. 此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广. 如：（2010江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是 .考点六. 函数的最值. 通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握. 此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力. 如：设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值提示：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减，故考点七. 无理不等式的解法. 通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解. 如函数及等的图像与性质. 考点八. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式. 此类问题多出现在解答题中，运算较为复杂，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中引进参变量是一种常用的策略：恒成立. 如：都有恒成立，求的最大值.解析：令，则.（1）当时，画出平面域，如图，利用线性规划知识可以解得.（2）当时，由，构造关于的一次函数可得.（3）当时，则或或，仿（1）解得或或，综上可得.考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：， ， 用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 .【答案】或考点十.基本不等式的应用. 基本不等式这几年在高考题中时常出现,主要是求一些函数的最值,注意“一正、二定、三相等”. 特别注意的是，当等号不能成立时，用“对号函数”（）（有的资料叫勾函数）的单调性. 如：若实数x，y满足，则的最大值是_巧点妙拨1高考对不等式的考查有两种：一种是直接利用基本不等式进行放缩或求最值；另一种是先利用配凑法进行恒等变形，再利用基本不等式求最值，该类问题以选择、填空为主. 2复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解加强函数与方程思想在不等式中的应用训练不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力. 因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视3强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力【典题对应】例1. (2014山东理5) 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是( )a. b. c. d. 命题意图：本题主要考查基本不等式的性质、对数函数、三角函数的性质，主要是值域的大小比较. 解析：，排除a,b，对于c ，是周期函数，排除c. 答案：d名师坐堂：对于此类选择题，可以巧妙采用特殊值法进行求解. 如列举带入验证即可. 例2. (2014山东理9) 已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为( )a.5 b.4c. d.2 命题意图：本题考查线性规划的应用，目标函数的实际意义，距离的几何意义. 解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方. 答案：b名师坐堂：线性规划首先应找准可行域，求得交点，弄清欲求值与可行域中的点、线、域的关系，应用最多的是斜率，其次是截距，再次是距离，求解时应注意灵活掌握. 例3. (2013山东理6) 在平面直角坐标中，为不等式组，所表示的区域上的一动点，则直线的斜率的最小值为( )a.2 b. 1 c. d.命题意图：本题综合考查了线性规划问题和直线的斜率问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值. 解析：作出可行域，该可行域为点（1,0），（2，2），（3，-1）形成的三角形 . 因此直线的最小值为. 故选c. 名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出求出最值. 求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定最优解所对应的点的坐标. 例4. (2013山东理12)设正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为( )a.0 b. 1 c. d.3命题意图：本题主要考查基本不等式、二次函数的最值，考查对数学表达式的病性能力、消元思想以及运用化归与转化思想解决问题的能力. 解析：由，得，故，当且仅当，即时，取等号，即取得最大值时，. 此时，其最大值为1. 名师坐堂：解题的关键在于弄清何时取得最大值，而对于多变量函数，消元为常见思路. 例5. (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数k =_. 命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，会解简单的一元二次不等式. 解析：由可得，即，而，所以.另解：由题意可知是的两根，则，解得.名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏【命题趋向】不等式是联系方程、函数、导数、三角、线性规划等的桥梁与纽带，在教材占有较重的分量，在高考中每年均有涉及，考查时常将不等式与导数不等式与圆锥曲线、不等式与函数、不等式与数列等结合在一起进行考查. 每一年的分值在20分左右. 【直击高考】1已知a(m,1)，b (1n,1)(其中m、n为正数)，若ab，则 的最小值是( )a. b c. d2若实数x，y满足且z2xy的最小值为4，则实数b的值为( )a0 b2 c3 d43设函数，则满足的x的取值范围是( )a1,2 b0，2 c1，+） d0，+）4设变量满足，则的最大值和最小值分别为( )a1，1 b2，2 c 1，2 d2，15若对任意xa，yb，(ar，br)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)为关于x，y的二元函数满足下列性质的二元函数f(x，y)称为关于实数x，y的广义“距离”：(1)非负性：f(x，y)0，当且仅当xy时取等号；(2)对称性：f(x，y)f(y，x)；(3)三角形不等式：f(x，y)f(x，z)f(z，y)对任意的实数z均成立今给出三个二元函数：f(x，y)|xy|；f(x，y)(xy)2；f(x，y).其中能够成为关于x，y的广义“距离”的二元函数的序号是( )a b c d6不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )a（-，-1 b-，-2）5，+）c1，2 d（-，12，+）7. 已知a、b、c、dr且s，则下列判断中正确的是( )a0s1 b1s2 c2s3 d3s48函数的最大值为 . 9提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. 10若实数、满足，则称比远离. （1）若比远离0，求的取值范围；（2）对于任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域. 任取，等于和中远离0的那个值，写出函数的解析式，并指出他的基本性质（结论不要求证明）. 11. 已知函数f(x)ex2x23x.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x时，若关于x的不等式f(x)x2 (a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围数学热点三 不等式【直击高考】1. 解析：向量ab的充要条件是m11(1n)，即mn1，故(mn)332.答案：选c. 2. 解析：c画出可行域可知y2xz过时z取得最小值，所以24，b3.3. 解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为d.4. 解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为b.5. 解析：对函数f(x，y)|xy|，f(x，y)0，当且仅当xy时取等号，满足非负性；f(y，x)|yx|xy|f(x，y)，满足对称性；由|ab|a|b|得|xy|(xz)(zy)|xz|zy|对任意的实数z均成立即f(x，y)f(x，z)f(z，y)，满足三角形不等式故满足广义“距离”对函数f(x，y)(xy)2，显然满足非负性和对称性当z0时，f(x，y)f(x,0)f(0，y)2xy，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故不满足广义“距离”对函数f(x，y)，显然不满足对称性故不满足广义“距离”故选a.6. 解析：函数的最大值为4，由已知条件，即，解得，或，选a。7. 解析：答案b；.以上四个不等式相加得，1s2.8. 解析：令，则，从而。当时，；当时，当且仅当，即时，取等号，故答案为。9. 解析：）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为（）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。10. 解析：（1）由题意，得，或，即或，的取值范围是。（2）证明：当、是不相等的正数时，。又，则，比远离。（3）解：若，则；同理，若，则或。于是，函数的解析式是，函数的最小正周期。函数是非奇非偶函数。当或时，函数取得最大值1；当或时，函数取