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考点34 空间直角坐标系、空间向量及其运算解答题1.（2011辽宁高考理科18）如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd（i）证明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角q-bp-c的余弦值【思路点拨】建立空间坐标系，利用坐标向量来解题（i）；（ii）先求法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，最后确定二面角q-bp-c的余弦值【精讲精析】如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da，op,dc为x，y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系. ()依题意有，则，所以， ，即 ，.且故平面.又平面，所以平面平面. （ii）依题意有，=，=.设是平面的法向量，则 即同理，因此可取 设是平面的法向量，则可取所以且由图形可知二面角为钝角故二面角的余弦值为 2.（2011江西高考理科21）（1）如图，对于任意给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足： 求该正四面体的体积【思路点拨】（1）首先，则，即得四个平面符合要求.（2）以第（1）问中的四面体作为正四面体，通过坐标系求出面，再根据点到面的距离公式求出正四面体的棱长，进而求得体积.【精讲精析】3.（2011.天津高考理科.t17）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长【精讲精析】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点. 依题意得 （i）易得， 于是 所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为 （ii）易知，设平面aa1c1的法向量， 则即不妨令可得， 同样地，设平面a1b1c1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角aa1c1b1的正弦值为 （iii）由n为棱b1c1的中点，得设m（a，b，0），则)，由平面a1b1c1，得即解得故因此，所以线段bm的长为方法二：（i）由于ac/a1c1，故是异面直线ac与a1b1所成的角.因为平面aa1b1b，又h为正方形aa1b1b的中心，可得因此所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为（ii）连接ac1，易知ac1=b1c1，又由于aa1=b1a1，a1c1=a1c1，所以，过点a作于点r，连接b1r，于是，故为二面角aa1c1b1的平面角.在中，连接ab1，在中，从而所以二面角aa1c1b1的正弦值为（iii）因为平面a1b1c1，所以，取hb1中点d，连接nd，由于n是棱b1c1中点，所以nd/c1h且.又平面aa1b1b，所以平面aa1b1b，故又所以
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