【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用函数的值域求最值（真题为例）.docVIP

应用函数的值域求最值典型例题： 例1. （2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 【答案】。【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。【解析】根据新运算符号得到函数为， 化简得：。如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点；（3）当直线中时，有三个交点。设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x1即为方程2x2x小于0的解，解得x1，此时x2x3，所以x1x2x3。与函数f(x)有2个交点的最低位置是当ym与x轴重合时，此时x1x2x30。所以当方程有三个不等实根时，x1x2x3。例2. （2012年全国课标卷文5分）当时，则a的取值范围是【 】 （a）(0，) （b）(，1) （c）(1，) （d）(，2)【答案】b。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。 当时，, 在时, 的图象在的图象上方。 根据对数函数的性质，。单调递减。 由时，得，解得。 要使时，必须。 a的取值范围是(，1) 。故选b。例3. （2012年陕西省理14分）设函数（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【答案】解：（1）证明：，时，。，在内存在零点。又当时， 在上单调递增。 在内存在唯一零点。（2）当时，。对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（）当，即时，与题设矛盾。（）当，即时，恒成立。（）当，即时，恒成立。综上所述，的取值范围为。（3）设是在内的唯一零点， 则，。又由（1）知在上是递增的，。数列是递增数列。【考点】函数与方程，导数的综合应用、函数与数列的综合。【解析】（1）一方面由得在内存在零点；另一方面由当时，得在上单调递增。从而得出在内存在唯一零点。 （2）对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分、和讨论即可。（3）设是在内的唯一零点， 则可得。又由（1）知在上是递增的，。从而得到数列是递增数列。 另解： 设是在内的唯一零点， 则的零点在内，故。所以，数列是递增数列。例4. （2012年天津市文14分）已知函数，其中.（i）求函数的单调区间；（ii）若函数在区间（2，0）内恰有两个零点，求的取值范围；（iii）当=1时，设函数在区间上的最大值为m（），最小值为m（）,记，求函数在区间上的最小值。【答案】解：（i）求导函数可得。 令，可得。当变化时，和的变化情况如下表：00极大值极小值函数的递增区间为，单调递减区间为。（ii）由（i）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，函数在（2，0）内恰有两个零点。 ，即，解得。的取值范围为(0，)。（iii）=1时，由（i）知，函数在（3，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增。当时，1，+3，在，1上单调递增，在1，+3上单调递减。函数在，+3上的最大值为m（）=，而最小值m（）为与中的较小者。由知，当3，2时，故m（）=f（），所以。而在3，2上单调递增，因此。在3，2上的最小值为。当2，1时，+31，2，1，1，+3。下面比较的大小：由在2，1，1，2上单调递增，有。，m（）= ，m（）=在2，1上的最小值为。 综上，函数在区间3，1上的最小值为。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的极值和单调性。【分析】（i）求导函数，令0，可得函数的递增区间；令0，可得单调递减区间。（ii）由（i）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，从而函数在（2，0）内恰有两个零点，由此可求的取值范围。（iii）=1时，由（i）知，函数在（3，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：当3，2时，+30，1，1，+3，在，1上单调递增，在1，+3上单调递减，因此函