【导与练】高考数学 试题汇编 第三节 基本不等式、不等式的综合应用 文（含解析）.docVIP

第三节基本不等式、不等式的综合应用 运用基本不等式求最值考向聚焦高考热点内容,主要考查(1)利用a2+b22ab及a+b2ab的变式求解二元函数的最值;(2)求解ax+bx型函数最值问题及应用,多为选择、填空题,难度中低档,分值约为45分备考指津解决此类问题的关键在于抓住基本不等式求最值时所具备的条件“一正、二定、三相等”,同时注意常见的变形技巧:(1)变符号;(2)凑系数;(3)添项拆项;(4)构造ax+bx型等技巧的运用1.(2012年浙江卷,文9,5分)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()(a)245(b)285(c)5(d)6解析:本题主要考查基本不等式求最值.因为x+3y=5xy,所以15y+35x=1,所以(15y+35x)(3x+4y)=135+3x5y+12y5x135+265=5,当且仅当3x5y=12y5x时,等号成立,所以选c.答案:c. 本题对不等式的考查设计新颖,对于变量x,y的关系转化是关键.2.(2011年福建卷,文10)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()(a)2(b)3(c)6(d)9解析:由f(x)=12x2-2ax-2b,f(x)在x=1处有极值,则有a+b=6,又a0,b0,ab(a+b2)2=9当且仅当a=b=3时“=”成立.故选d.答案:d.3.(2011年重庆卷,文15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.解析:设m=2a,n=2b,x=2c,则m+n=mn,即1m+1n=1(m0,n0),则由2a+2b+2c=2a+b+c得mn+x=mnx,(mn-1)x=mn,x=mnmn-1,x=11-1mn,又1m+1n=121mn,1mn14,-1mn-14,1-1mn34,x=11-1mn43,即2c43,clog243=2-log23.当且仅当m=n=2,即a=b=1时取得.答案:2-log234.(2011年浙江卷,文16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.解析:xy14(x+y)2,1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy(x+y)2-14(x+y)2=34(x+y)2,(x+y)243,-233x+y233,当x=y=33时,x+y取得最大值233.答案:2335.(2011年江苏卷,8)在平面直角坐标系xoy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于p,q两点,则线段pq长的最小值是.解析:如图.p在函数y=2x图象上,设p(x,2x),又q与p关于原点对称,q(-x,-2x),|pq|2=(x+x)2+(2x+2x)2=4x2+16x2=4(x2+4x2)42x24x2=16(当且仅当x2=4x2,即x2=2,即x=2时等号成立),|pq|4,pq长的最小值为4.答案:4基本不等式、不等式的综合应用考向聚焦高考难点内容,主要涉及:(1)不等式恒成立问题;(2)不等式的实际应用问题,多为选择、填空题,有时在解答题中考查基本不等式求最值,难度中档,分值约为512分备考指津解决此类问题注意:(1)不等式恒成立问题多利用等价转化思想,即分离参数转化为求最值问题;(2)不等式的实际应用问题要注意函数结构的变形及变量的实际意义6.(2012年陕西卷,文10,5分)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()(a)avab(b)v=ab(c)abva+b2(d)v=a+b2解析:设从甲地到乙地所走路程为s,则v=2ssa+sb=21a+1b=2aba+b2ab2ab=ab,a2a22a=a,av0,则下列不等式中,恒成立的是()(a)a2+b22ab(b)a+b2ab(c)1a+1b2ab(d)ba+ab2解析:当a=b0时,a2+b2=2ab,故a错;当a0,b0,而a+b0,1a+1b0,ba0,ab0,ba+ab2.故选d.答案:d.9.(2012年四川卷,文16,4分)设a,b为正实数.现有下列命题:若a2-b2=1,则a-b1;若1b-1a=1,则a-b1;若|a-b|=1,则|a-b|1;若|a3-b3|=1,则|a-b|0,b0)可看做双曲线x2-y2=1右上支,显然图象在直线y=x-1的上方,故正确;对于,令a=3,b=34,此时满足1b-1a=1,但a-b1,故错误;对于,令a=9,b=4,此时满足|a-b|=1,但|a-b|1,故不正确;对于,不妨设ab,则可得a3=b3+10,b0,所以ab+1,即a-b1,故正确,答案.答案:10.(2012年北京卷,文20,13分)设a是如下形式的2行3列的数表,abcdef满足性质p:a,b,c,d,e,f-1,1,且a+b+c+d+e+f=0.记ri(a)为a的第i行各数之和(i=1,2),cj(a)为a的第j列各数之和(j=1,2,3);记k(a)为|r1(a)|,|r2(a)|,|c1(a)|,|c2(a)|,|c3(a)|中的最小值.(1)对如下数表a,求k(a)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表a形如11-1-2ddd-1其中-1d0,求k(a)的最大值;(3)对所有满足性质p的2行3列的数表a,求k(a)的最大值.解:(1)由已知|r1(a)|=1.2,|r2(a)|=1.2,|c1(a)|=1.1,|c2(a)|=0.7,|c3(a)|=1.8,k(a)=0.7.(2)r1(a)=1-2d,r2(a)=-1+2d,c1(a)=c2(a)=1+d,c3(a)=-2-2d,-1d0,|r1(a)|=|r2(a)|1+d0,|c3(a)|1+d0,k(a)=1+d1,当d=0时,k(a)取最大值1.(3)任给满足性质p的数表a(如图所示)abcdef任意改变a的行次序或列次序,或把a中的每个数换成它的相反数,所得数表a*仍满足性质p,并且k(a)=k(a*).因此,不妨设r1(a)0,c1(a)0,c2(a)0.由k(a)的定义知,k(a)r1(a),k(a)c1(a),k(a)c2(a),3k(a)r1(a)+c1(a)+c2(a)=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f)=a+b-f3.k(a)1.由(2)知,存在满足性质p的数表a使k(a)=1,故k(a)的最大值为1.11.(2012年陕西卷,文21,14分)设函数f(x)=xn+bx+c(nn+,b,cr).(1)设n2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|1,|f(1)|1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|4,求b的取值范围.解:(1)当b=1,c=-1,n2时,f(x)=xn+x-1,f(12)f(1)=(12n-12)10,f(x)在区间(12,1)内单调递增,f(x)在(12,1)内有唯一的零点.(2)依题意知-1f(-1)1,-1f(1)1,0b-c2-2b+c0.画出可行域得知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0.(3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2-1,1都有|f(x1)-f(x2)|4等