【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习：三角函数、平面向量、不等式专题.docx

专题六 解决三角恒等变换的有关问题 【典题导引】例1. 已知.（1）当时，若函数是偶函数，求的值；（2）当时，若，且，求的值解：.（1）当时， 此函数是偶函数，对恒成立，即对恒成立，即， ，； （2）当时，即， ， 例2.（2012江苏）在中，已知（1）求证：；（2）若求的值（1）证明：，即, 由正弦定理，得，, 又，,即. （2）解：，, ，即, 由（1）得，解得, ，,.例3. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）设关于角的函数，求的值域解：由得，为锐角三角形，从而，又，故；（2），由得，从而，故，的值域为例4. 已知,且.(1)求的值; (2)求的值.解:(1)方法一: ，即，又，解得，.方法二: , 又，;(2)方法一: ,且，. 又，故，由，得，. .又，.方法二: ,且，,.从而, 由,得,因此,又，. 【归类总结】1同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件2 三角恒等变换公式应用技巧：直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；常用切化弦、异名化同名、异角化同角等3化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如，等；注意利用“1”的恒等变形，如，等4在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解5解决给值求角问题的一般步骤是：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出要求的角专题七 解决三角函数的图象与性质问题【典题导引】例1如图，摩天轮的半径为，点O距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻时点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过?例1图解：（1）设点离地面的距离为，则可令. 由题设可知. 又，从而. 再由题设知时，代入，得，从而. 因此. （2）要使点距离地面超过，则有，即. 于是由三角函数基本性质推得，即. 所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时间有分钟. 例2.已知函数，其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点（1）求函数的达式；（2）在中，、分别是角、的对边，角为锐角，且满足，求的值解：（1）. 最高点与相邻对称中心的距离为，则，即， ， 又过点，即，. ，； （2），由正弦定理可得,， 又， 由余弦定理得，.例3图例3.已知函数的部分图象如图所示 （1）求 函 数的 解 析 式；（2）在锐角中，角的 对 边 分 别 是，若，求的取值范围解：（1）由图知：，函 数，又函数经过点，； （2）由得，展开得，,又在锐角中，,，的取 值 范 围是例4已知函数是偶函数，且图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值解：由是偶函数，得，即，对任意都成立，且，又，,由的图象关于点对称，得,取，得，又，得当时，在上是减函数；当时，在上是减函数；当时，在上不是单调函数.综合得或【归类总结】1. 三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值2. 三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对的性质必须掌握3. 求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为的形式，然后再求解4. 对于型的三角函数，通过引入辅助角化为（其中）的形式来求5. 已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；由图象上的关键点确定.求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期专题八 解决解三角形和正余弦定理应用问题【典题导引】例1在中，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，求的值解：（1）,由正弦定理得：, 又在中， 即， 又在中，,， 又，；（2） 由余弦定理得， ，即， .例2(2013山东)设的内角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）求的值 解:(1)由余弦定理得：，即.，.由得；(2)在中，.由正弦定理得：，.又，.例3. (2012浙江理)在中,内角的对边分别为.已知，.（1）求的值;（2）若,求的面积.解：(1) ，得,又,;(2)由，得，,于是,由及正弦定理，得,设的面积为，则.例4在中，已知（1）求的大小；（2）设角的对边依次为，若，且是锐角三角形，求的取值范围；（3）若的面积，求周长的最小值解：（1）依题意：，即，又，;（2）由三角形是锐角三角形可得即, 由正弦定理得,， ， , 即.(3) ,又,.当且仅当时，取等号. 周长的最小值是.【归类总结】1解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题2正、余弦定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解3解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口题中出现边的一次式，可以联想到正弦定理，出现边的二次式，可以联想到余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式的变形的应用，注意角的限制范围专题九 解决平面向量及应用问题【典题导引】例1. (2013江苏)已知，（1）若，求证：；（2）设，若，求的值解：(1)， ，即， ，;(2) ， 得：,， ， 又，例2设向量， （1）求的值； （2）若，求证：； （3）若，求的值解：（1），, ； （2）， , ， ,； （3）， ， ，例3(2010江苏)在平面直角坐标系中，点，（1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数满足，求的值解：（1）（方法一）由题设知，则 故所求的两条对角线的长分别为、;（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为，两条对角线的交点为，则:为的中点，,又为的中点，, 故所求的两条对角线的长分别为、；（2）由题设知：，.由，得：，从而或者：，例4. 在中，已知（1）求角的大小；（2）设O为的外心（三角形各边中垂线的交点），当，的面积为时，求的值；（3）设为的中线，当时，求长的最大值解：（1）在中，由正弦定理得：, 即,由余弦定理得：, ,；（2）在中，的面积为， 或设的中点为,则, O为的外心，,， 当时，；;当时，；（3）在中， ， ，当且仅当时取“=”，为的中线，当且仅当时取“”，时，即长的最大值为3【归类总结】1处理向量问题，一般有两个途径，一是建立直角坐标系用坐标运算研究向量间的问题，二是用基底表示后直接运算2向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果，不共线，那么，的充要条件是共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果，则三点共线的充要条件是.3向量的数量积计算有三种方法：（1）利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；（2）根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；（3）建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算4在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题专题十 解决不等式的有关问题【典题导引】例1已知函数.（1）若的解集为，求的值；（2）对任意，恒成立，求的取值范围解：(1). 由已知是其解集，得的两根是，.由根与系数的关系可知，即.（2） ，.由已知对任意恒成立，故.即的取值范围为.例2（1）在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是 （2）已知正数满足：则的取值范围是 答案：（1） (2) 解析：（1）由两边平方得， 即，例2（1）图1又，化简即得作出可行域如图1,目标函数的几何意义是区域上的点到定点的 距离的平方，由点到直线的距离公式求得点到的距离为，且取不到，故的取值范围是 （2）条件可化为： 例2（2）图2 设，则题目转化为：已知满足，求的取值范围 作出所在平面区域（如图2），考虑的几何意义是原点与可行域内一点连线的斜率,易见的最大值为的斜率,求得为;考虑直线与的图象相切,利用导数可得切点为,此时有最小值,故的取值范围是.例3.已知内接于单位圆(半径为个单位长度的圆)，且.（1）求角的大小；（2）求面积的最大值.解：(1)由得, , 故中,.(2)由正弦定理得,即, 由余弦定理得,即, 由得,(当且仅当时取等号) .例4.已知函数，对任意的，恒有（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值(1)证明：易知.由题设，对任意的， 即恒成立，从而.于是，且，因此.故当时，有.即当时，.(2)解：由(1)知.当时，有.令，则，.而函数的值域是.因此，当时，的取值集合为.当时，由(1)中可知.此时或，从而恒成立综上所述，的最小值为.【归类总结】1解不等式是解决不等关系问题的基本工具，解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式，然后求解；和函数有关的不等式，可利用函数的单调性，含参数的不等式，要进行分类讨论，重点关注分类讨论的依据2（1）线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围（2）解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解（3）对于应用问题，要准确地设出变量，