河南省南阳市高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（ 理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）a假设三内角都不大于60度b假设三内角都大于60度c假设三内角至多有一个大于60度d假设三内角至多有两个大于60度3（5分）用数学归纳法证明（a1，nn*），在验证当n=1时，等式左边应为（）a1b1+ac1+a+a2d1+a+a2+a34（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（e）+lnx，则f（e）=（）a1b1ce1de5（5分）设圆柱的表面积为s，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）abcd36（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）aacbbabcccbadcab7（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）a1bc1d28（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）a15b16c17d189（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）abcd10（5分）已知函数f（x）=x（xm）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）a2b8c2或8d以上答案都不对11（5分）已知函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）a（1，1）b（1，+）c（，1）d（，+）12（5分）定义在r上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f（x）是f（x）的导数，当x0时，f（x）+0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）a0b1c2d0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）若等差数列an的公差为d，前n项的和为sn，则数列为等差数列，公差为类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为tn，则数列为等比数列，公比为14（5分）由曲线y=，直线y=x4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为15（5分）若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是16（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2，若对任意的x1，总存在x2，使得g（x1）f（x2），则实数m的取值范围是三、解答题17（10分）已知复数z=（2m23m2）+（m23m+2）i（）当实数m取什么值时，复数z是：实数； 纯虚数；（）当m=0时，化简18（12分）已知函数f（x）=ex2x+2（xr）（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x0时，exx22x+119（12分）已知点p在曲线y=x21上，它的横坐标为a（a0），过点p作曲线y=x2的切线（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积s与a无关20（12分）设an=1+（nn*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+an1=g（n）（an1）对n2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论21（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c（1）试问函数f（x）能否在x=1时取得极值？说明理由；（2）若a=1，当x时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围22（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求实数a的值；（2）若kz，且k对任意xe2恒成立，求k的最大值河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数+（1+i）2的共轭复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可解答：解：复数+（1+i）2=+13+2=2+2=+i复数对应点为：（，）在第二象限故选：b点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力2（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）a假设三内角都不大于60度b假设三内角都大于60度c假设三内角至多有一个大于60度d假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法 专题：常规题型分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”故选b点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定3（5分）用数学归纳法证明（a1，nn*），在验证当n=1时，等式左边应为（）a1b1+ac1+a+a2d1+a+a2+a3考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据等式的特点，即可得到结论解答：证明：（a1，nn*），当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，故答案为：1+a+a2+a3点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（e）+lnx，则f（e）=（）a1b1ce1de考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：首先对等式两边求导得到关于f（e）的等式解之解答：解：由关系式f（x）=2xf（e）+lnx，两边求导得f（x）=2f（x）+，令x=e得f（e）=2f（e）+e1，所以f（e）=e1；故选：c点评：本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f（x）的等式，对x取e求值5（5分）设圆柱的表面积为s，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（）abcd3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：设圆柱底面半径为r，高为h，则s=2rh+2r2，求出h，可得v，利用导数求最值，即可得出结论解答：解：设圆柱底面半径为r，高为h，则s=2rh+2r2，h=r（0r），v=r2h=r3，v（r）=当v（r）=0时，有r=，在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，r=时，体积最大，因此h=，故选：c点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础6（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）aacbbabcccbadcab考点：定积分 专题：计算题分析：根据x2的原函数为x3，x3的原函数为x4，sinx的原函数为cosx，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系解答：解：a=02x2dx=|02=，b=02x3dx=4，c=02sinxdx=cosx|02=1cos2，因为11cos22，所以cab故选d点评：此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题7（5分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）a1bc1d2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论解答：解：f（x）=lnx，g（x）=x2+a，f（x）=，g（x）=x，l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，k=f（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y0=x1，即y=x1，当x=1时，y=11=0，即切点坐标为（1，0），切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=，故选：b点评：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本题的关键，比较基础8（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）a15b16c17d18考点：归纳推理 专题：规律型分析：第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+n=（1+n）n2个奇数，这个奇数是2（1+n）n21=（1+n）n1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解解答：解：依据规律，第n排最后一个数为n（n+1）1，经试商，4445=1980，4546=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；2=18，故2015所在的列数为18，故选：d点评：本题考查的知识点是归纳推理，先找到规律，再根据规律求解9（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）abcd考点：函数的图象与图象变化 专题：压轴题；数形结合分析：由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值s（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论解答：解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有a答案满足要求，故选a点评：从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变10（5分）已知函数f（x）=x（xm）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）a2b8c2或8d以上答案都不对考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的概念及应用分析：通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f（2）=0，解得m的值，再验证可得结论解答：解：求导函数，可得f（x）=（4xm）（xm）2，在x=2处取得的极小值，f（2）=（8m）（2m）2=0，m=2或8，m=2时，f（x）0，在x=2处不取极值，舍去，m=8时，函数f（x）=x（xm）3在x=2处取得极小值故选：b点评：本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键11（5分）已知函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）a（1，1）b（1，+）c（，1）d（，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：构造函数g（x）=f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论解答：解：设g（x）=f（x）2x4，则g（x）=f（x）2，对任意xr，f（x）2，对任意xr，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）=2，g（1）=f（1）+24=44=0，则函数g（x）单调递增，由g（x）g（1）=0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：b点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键12（5分）定义在r上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f（x）是f（x）的导数，当x0时，f（x）+0，则哈数g（x）=f（x）+的零点的个数（）a0b1c2d0或2考点：函数零点的判定定理 专题：导数的综合应用分析：由题意可得得0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+=，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+11，无零点解答：解：由f（x）+x1f（x）0，得0，当x0时，xf（x）+f（x）0，即0，函数xf（x）单调递增；当x0时，xf（x）+f（x）0，即0，函数xf（x）单调递减又g（x）=f（x）+=，函数g（x）=的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数当x0时，y=xf（x）+11，当x0时，y=xf（x）+11，所以函数y=xf（x）+1无零点，所以函数g（x）=f（x）+x1的零点个数为0个，故选：a点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）若等差数列an的公差为d，前n项的和为sn，则数列为等差数列，公差为类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为tn，则数列为等比数列，公比为考点：类比推理 专题：计算题分析：仔细分析数列 为等差数列，且通项为 的特点，类比可写出对应数列 为等比数列的公比解答：解：因为在等差数列an中前n项的和为sn的通项，且写成了 所以在等比数列bn中应研究前n项的积为tn的开n方的形式类比可得 其公比为故答案为 点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积14（5分）由曲线y=，直线y=x4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求此几何体的体积可以看作是，求出定积分的值，即求得题中的体积解答：解：由曲线y=，直线y=x4可得交点坐标为（8，4），直线y=x4与x轴的交点坐标为（4，0），则旋转体的体积为=x2=故答案为：点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算15（5分）若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是b1考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题分析：根据函数在（1，+）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f（x）0进而根据导函数的解析式求得b的范围解答：解：由题意可知f（x）=x+0，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，f（x）=x（x+2）=x2+2x且x（1，+）f（x）1要使bx（x+2），需b1故答案为b1点评：本题主要考查了函数单调性的应用利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法16（5分）已知g（x）=mx+2，f（x）=x2，若对任意的x1，总存在x2，使得g（x1）f（x2），则实数m的取值范围是（，1）考点：函数恒成立问题 专题：综合题；函数的性质及应用分析：命题“对任意的x1，总存在x2，使得g（x1）f（x2）”g（x）最小值f（x）最小值，只要g（x）最小值1即可解答：解：x，x2，f（x）=x2=x2+323=1，当且仅当x2=，即x2=2时取等号f（x）最小值=1，命题“对任意的x1，总存在x2，使得g（x1）f（x2）”g（x）最小值f（x）最小值只要g（x）最小值1即可当m0时，g（x）=mx+2是增函数，对任意的x1，g（x）min=g（1）=2m由题设知2m1，解得m1，0m1当m0时，g（x）=mx+2是减函数，对任意的x1，g（x）min=g（2）=2m+2由题设知2m+21，解得m，m0当m=0时，g（x）=21，成立综上所述，m（，1）故答案为：（，1）点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错三、解答题17（10分）已知复数z=（2m23m2）+（m23m+2）i（）当实数m取什么值时，复数z是：实数； 纯虚数；（）当m=0时，化简考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：（i）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出（ii）当m=0时，z=2+2i，再利用复数的运算法则即可得出解答：解：（）当m23m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数当时，解得，即m=时，复数z为纯虚数（）当m=0时，z=2+2i，点评：本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题18（12分）已知函数f（x）=ex2x+2（xr）（1）求f（x）的最小值；（2）求证：x0时，exx22x+1考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算 专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；（2）构造函数g（x）=exx2+2x1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明解答：解：（1）由f（x）=ex2x+2（xr）得f（x）=ex2，令f（x）=ex2=0得，x=ln2，当xln2时，f（x）0；当xln2时，f（x）0，故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2ln2）；（2）证明：设（x0），则g（x）=ex2x+2，由（1）知g（x）=ex2x+2有最小值g（ln2）=2（2ln2），于是对于x0，都有g（x）0，所以g（x）在（0，+）上递增，而g（0）=0，从而对任意x（0，+），g（x）0，即x0时，exx22x+1点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题19（12分）已知点p在曲线y=x21上，它的横坐标为a（a0），过点p作曲线y=x2的切线（1）求切线的方程；（2）求证：由上述切线与y=x2所围成图形的面积s与a无关考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用 专题：综合题；导数的概念及应用分析：（1）确定p的坐标，设切点q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；（2）利用定积分表示面积，即可得出结论解答：（1）解：点p的坐标为（a，a21），设切点q的坐标为（x，x2），由kpq=及y=2x知=2x，解得x=a+1或x=a1所以所求的切线方程为2（a+1）xy（a+1）2=0或2（a1）xy（a1）2=0（6分）（2）证明：s=dx+dx=故所围成的图形面积s=，此为与a无关的一个常数（12分）点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题20（12分）设an=1+（nn*），是否存在一次函数g（x），使得a1+a2+a3+an1=g（n）（an1）对n2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论考点：数学归纳法；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可解答：解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k0），使得a1+a2+a3+an1=g（n）（an1）对n2的一切自然数都成立，则当n=2时有，a1=g（2）（a21），又，g（2）=2即2k+b=2当n=3时有，a1+a2=g（3）（a31），又，g（3）=3，即3k+b=3，由可得k=1，b=0，所以猜想：g（x）=x，（5分）下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；（6分）（2）假设当n=k（k2，kn）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+ak1=g（k）（ak1）对k2的一切自然数都成立，则当n=k+1时，a1+a2+a3+ak=（a1+a2+a3+ak1）+ak=k（ak1）+ak=（k+1）akk，（8分）又，ak=ak+1，当n=k+1时，命题成立（11分）由（1）（2）知，对一切n，（n2，nn*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+an1=g（n）（an1）都成立（12分）点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题21（12分）设函数，g（x）=2x2+4x+c（1）试问函数f（x）能否在x=1时取得极值？说明理由；（2）若a=1，当x时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数在某点取得极值的条件 专题：综合题；压轴题分析：（1）利用反证法：根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，假设x=1时f（x）取得极值，则把x=1代入导函数，导函数值为0得到a的值，把a的值代入导函数中得到导函数在r上为增函数，没有极值与在x=1时f（x）取得极值矛盾，所以得到f（x）在x=1时无极值；（2）把a=1代入f（x）确定出f（x），然后令f（x）与g（x）相等，移项并合并得到c等于一个函数，设f（x）等于这个函数，g（x）等于c，求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值讨论导函数的正负得到f（x）的单调区间，进而得到f（x）的极大值和极小值，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数