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文档简介

第二节二重积分的计算法 计算二重积分的方法 二重积分 累次积分 即两次定积分 1 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 则面积元素为 一 利用直角坐标系计算二重积分 2 2 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 X 型 3 回忆 平行截面面积为已知的立体的体积 立体体积 4 计算截面面积 红色部分即A x0 以D为底 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 用二重积分的几何意义说明其计算法 是区间 为曲边的曲边梯形 为底 曲线 5 先对y后对x的二次积分 累次积分 6 2 积分区域为 先对x后对y的二次积分 也即 Y 型 7 1 当D既不是X 型区域也不是Y 型区域时 将D分成几部分 使每部分是X 型区域或是Y 型区域 注意 2 当D既是X 型区域也是Y 型区域时 可以用两个公式进行计算 8 特殊地 即等于两个定积分的乘积 D为矩形域 则 则 a x b c y d 9 二重积分是化为两次定积分来计算的 关键是确定积分限 定限要注意的问题 1 上限 下限 2 内层积分的上 下限应为外层积分变量的函数 3 外层积分上 下限应为常数 后积先定限 4 二重积分的结果应为常数 10 例计算 其中D是由直线y 1 x 2及y x所围成的闭区域 解法1 先y后x 11 解法2 先x后y 12 解 例计算 1 1 13 选取积分次序 不仅要看区域的特点 而且要看被积函数的特点 凡遇如下形式积分 后面积分 14 解 积分区域如图 例改变积分 的次序 15 例 交换积分次序 解 原式 16 例 交换积分次序 解 积分区域 原式 17 例求证 左边的累次积分中 提示 不能直接计算 是y的抽象函数 证毕 要先交换积分次序 证明 18 例求两个底圆半径为R 且这两个圆柱面的方程分别为及 解 求所围成的 立体的体积 19 解 曲面围成的立体如图 例求由下列曲面所围成的立体体积 20 21 例 解 22 补充轮换对称性结论 若D关于x y满足轮换对称性 将D的边界曲线方程中的x与y交换位置 方程不变 则 23 证 所以 例 24 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 小结 Y 型 X 型 1 化二重积分为二次积分 2 交换积分次序 题型 25 作业 习题8 2 1 77页 3 1 3 4 4 5
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