1.1.2余弦定理(第二课时).doc

课题1.1.2 余弦定理(二)知识要点：(一)知识目标余弦定理(二)能力目标1.了解向量知识应用；2.掌握余弦定理推导过程；3.会利用余弦定理证明简单三角形问题；4.会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题；5.能利用计算器进行运算.3.典型例题：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C.(精确到1)分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：cosA0.725，A44cosC0.8071C36B180(AC)180(4436)100.评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.例2在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1).分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但根据5.9.1斜三角形求解经验，若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0180之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好.解：由c2a2b22abcosC2.73023.696222.7303.696cos8228得c4.297.cosA0.7767A392B180(AC)180(3928228)5830.评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦.例3已知ABC中，a8，b7，B60，求c及SABC.分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式SABCacsinB可以求出.若用余弦定理求c，表面上缺少C，但可利用余弦定理b2c2a22cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的.下面给出两种解法.解法一：由正弦定理得A181.8，A298.2C138.2，C221.8，由，得c13，c25SABCac1sinB6或SABCac2sinB10解法二：由余弦定理得b2c2a22cacosB72c28228ccos60整理得：c28c150解之得：c13，c25，SABCac1sinB6，或SABCac2sinB10.评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.作业练习能力基础题：1在ABC中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos C解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题2(2011年合肥检测)在ABC中，若a10，b24，c26，则最大角的余弦值是()A.B.C0 D.解析：选C.cba，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C0.3已知ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定解析：选B.4216223213，边长为4的边所对的角是钝角，ABC是钝角三角形4在ABC中，若A120，AB5，BC7，则AC_.解析：由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA，即4925AC225AC()，AC25AC240.AC3或AC8(舍去)答案：35已知在ABC中，cos A，a4，b3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)由余弦定理得cos C0，0C180，C90.能力提高题：6在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A. B.C. D.或解析：选C.由已知得b2c2a2bc，cos A，又0A，A，故选C.7在ABC中，下列关系式asin Bbsin Aabcos Cccos Ba2b2c22abcos Cbcsin Aasin C一定成立的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选C.由正、余弦定理知一定成立对于由正弦定理知sin Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)，显然成立对于由正弦定理sin Bsin Csin Asin Asin C2sin Asin C，则不一定成立8在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A. B.C. D.解析：选B.b2ac，c2a，b22a2，cos B.9已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x23x20的根，则第三边长是_解析：解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：425224521，第三边长是.答案：10在ABC中，若sin Asin Bsin C578，则B的大小是_解析：由正弦定理，得abcsin Asin Bsin C578.不妨设a5k，b7k，c8k，则cos B，B.答案：11在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，求C的大小解：由题意可知，(abc)(abc)3ab，于是有a22abb2c23ab，即，所以cos C，所以C60.12在ABC中，basin C，cacos B，试判断ABC的形状解：由余弦定理知cos B，代入cacos B，得ca，c2b2a2，ABC是以A为直角的直角三角形又basin C，ba，bc，ABC也是等腰三角形综上所述，ABC是等腰直角三角形提高拓展题：13.在ABC中：(1)已知b8，c3，A60，求a；(2)已知a20，b29，c21，求B；(3)已知a3，c2，B150，求b；(4)已知a2，b，c1，求A.解：(1)由a2b2c22bccosA得a28232283cos6049，a7.(2)由cosB得cosB0，B90.(3)由b2a2c22accosB得b2(3)222232cos15049，b7.(4)由cosA得cosA，A45.评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.13.根据下列条件解三角形(角度精确到1)(1)a31，b42，c27；(2)a9，b10，c15.解：(1)由cosA得cosA0.6691A48由cosB0.0523B93C180(AB)180(4893)39(2)由cosA得cosA0.8090A36由cosB得cosB0.7660B40C180(AB)180(3640)10414在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c的值是()A8B2C6 D2解析：选D.根据余弦定理，c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.2在ABC中，已知a2，b3，C120，则sin A的值为()A. B.C. D解析：选A.c2a2b22abcos C2232223cos 12019.c.由得sin A.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为.答案：4在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解：法一：根据余弦定理得b2a2c22accos B