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光纤中的色散和偏振模色散 7 0引言色散实际上是所有光学材料的一个固有特性 这一现象主要表现为一束在透明介质中传输的光的相速度 和群速度 对其频率 或波长 的依赖性 类似地 色散也存在于由透明材料制作而成的光纤中 正是由于色散的存在 一束光脉冲沿着光纤传播时会发生展宽 这一展宽导致了相邻脉冲重叠时信号的衰减 随着传播距离和传输 速度的增加 这个问题会逐渐地变得更加严重 除了常规的色散外 光纤还具有双折射的特性 即相速 群速 依赖于光束的偏振 双折射是由于光纤本身的不理想性和 或 外界的干扰造成的 因此 两个线性偏振模 如和 就不再简并了 换言之 这两个传播的主模之间存在一个时延差 传播速度慢的模式和传播速度快的模式 时延的存在导致光脉冲的展宽和光信号的衰减 在本章中我们定量地讨论在光纤中传播的光脉冲的色散和双折射效应 7 1光传输系统中的色散在第1章中我们采用折射率对光频率 或波长 的依赖性来描述色散 这点对于讨论在同性介质中传播的光脉冲时是非常重要的 由于色散的存在 光的群速度依赖于频率 或波长 这就是众所周知的群速度色散 GVD 在光电子学中 我们经常要处理光波在各种光学系统中的传输 包括光纤 调制器 以及放大器 在这样一个普通光学系统中的群速度色散 可以通过相移是频率的函数来描述 7 2色散介质中的光脉冲传播事实上在现代通信中 光纤中所携带的载流子基本上都是以数字脉冲的形式存在的 每个脉冲代表一个比特的信息 因此 脉冲越窄 在一个给定的时隙中就能容纳更多的脉冲 更多的数据 比特 就能在时隙中传输 实际上 现代通信系统的脉冲宽度窄至 数据速率超过在一个的系统中 每秒钟就有100亿个比特 窄脉冲高速度的趋势一直不会衰减 进一步降低 脉冲宽度的限制因素是群速度对频率的依赖导致的脉冲展宽 这一现象叫做群速度色散 GVD 具体地讲 我们考虑一种实际中特定的情形 单模光纤 通常的最低阶基模 在处被一个时间高斯脉冲 7 2 1 激发 这里的是一个约束模式的波函数 是常数 是光载波的频率 考虑慢变包络的情形以使包络包含多个光振荡 这种情形对应于 我们可以把输入脉冲表示为傅里叶积分的形式 7 2 2 式中是高斯包络的傅里叶变换 7 2 3 在上面的公式中 忽略了波函数 波函数在信号频带范围内保持不变时 这种忽略是合理的 注意 高斯函数的频谱函数也是高斯函数 可以把式 7 2 2 看成是谐波场的集合 每个谐波都是其独特的频率和幅度 为了 获得输出平面处的场 需要用传输相位延迟因子 7 2 4 叠加公式 7 2 2 各个频率分量结果为 7 2 5 其他形状的脉冲高斯形状的光脉冲 经过傅里叶变换后仍为高斯型 即频谱在载波频率附近服从高斯分布 实际上 光通信中的脉冲并不是严格的高斯脉冲 脉冲形状的变化导致频谱分布的变化 因而会影响到在色散介质中传输后脉冲的展宽 图7 3展示了三种不同脉冲的展宽 它们是梯形脉冲 高斯脉冲和余弦脉冲 注意它们有不同的频谱分布和不同脉冲展宽 梯形脉冲具有最宽的频带宽度 这是由于陡峭边缘的原因 陡峭的上升和下降 频谱分布越宽导致的脉冲展宽越大而 眼图 恰越小 见图7 3 通常 高斯脉冲具有最好的脉宽 带宽积 这与物理最小波包的概念是一致的 眼图是传输和网络系统工程中用来描述数字二进制脉冲由于传输过程中的脉冲展宽 畸变和噪声导致的信号退化的一种方法 接收脉冲波流被呈现在存储示波器中 示波器的水平扫描和比特速率相同 存储示波器因而可记录若干比特序列 伴随着扩展和畸变 而形成眼图 具有大的 眼睛 的眼图表示传输质量高和比特率低 7 3光纤中的偏振效应 前面已经阐述了色散可以导致光脉冲的展宽 这一节中 我们可以看到光纤中的偏振效应也会导致光脉冲的展宽 在第3章中 已经讨论了圆形介质光纤中的传播模 具体地说 讨论了圆形介质单模光纤中的线性偏振模 尽管被称为 单模 这些光纤实际上支持两种偏振状态不同的 和 传播模式 由于圆对称性 这些传播模式 和 是简并的 换句话说 在任意给定的频率 它们具有完全相同的传输常数 并且以严格相同的相位和群速度传输 实际上 并非所有的圆形介质光纤都是严格圆形的 光纤的横截面在一个方向上可以被压平 在另一个方向被拉长 这就形成横截面为椭圆形的纤芯 图7 4显示了椭圆纤芯的光纤中线偏振模的偏振状态 非圆对称特性形成了传导模传播常数的不同 即椭圆形的纤芯导致单模光纤中的双折射 如果和轴分别对应纤芯椭圆的长轴和 短轴 那么两种偏振模式 和 将以不同的群速度传输 在实际的光纤中 椭圆形纤芯的长轴方向可能 由于光纤的弯折和扭曲 沿着光纤的方向变化 而且 由于光纤方向的拉力引起的光测弹性效应能导致传播模式之间的耦合 因此由于制造缺陷和环境干扰 弯折和扭曲等 光纤实际成为慢轴方向随光纤位置不断变化的双折射率介质 我们将看到这种双折射会引起脉冲的畸变 展宽和限制光纤传输容量的系统损伤 7 4偏振主态 为了分析偏振状态的演变 我们把一长段光纤分割成许多均匀双折射率的小段光纤 每段为单轴双折射 并且具有固定的快轴和慢轴方向 在这种双折射网络中 输入和输出偏振状态可用在第1章中讨论的琼斯矩阵方法分析获得 图7 6为一长段实际光纤双折射光回路示意图 在实际光纤中圆形对称光纤产生的损失可能因为椭圆形的纤芯或包层 或者因为弯折和扭曲压力引起的各向异性等引起的 给定一个固定的输入偏振状态 输出偏振状态通常是光频率的函数 下面 我们描述一些输入偏振的特定状态 被称为主要偏振状态 PSP 在这些初始状态下 输出偏振状态对光频率的变化并不敏感 PSP的概念首先在1986年由Poole和Wagner提出 为了描述PSP的概念 我们假定光纤是无损的 是输入光波的琼斯矢量 输出光波的琼斯矢量写为 7 4 1 其中 是第个双折射元的琼斯矩阵 总的琼斯矩阵是所有琼斯矩阵的积 对无损光纤 所有的琼斯矩阵都是归一的 因此可以写成 7 4 2 式中 和是总的琼斯矩阵的矩阵元 实际上 这些矩阵元可以通过计算各个矩阵的乘积获得 这些矩阵元 和 取决于光的频率和光纤中的双折射分布 式 7 4 2 中的琼斯矩阵是归一的 因此 7 4 2 7 5偏振模色散的矢量分析 在这一节我们使用琼斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法描述偏振模色散 PDM 泡利自旋矩阵提供了这两种表示方法之间便利的联系 斯托克斯矢量尤其适用于邦加球上输出光束的偏振状态变化的图形表示法 首先引进在偏振模色散分析中一些重要参数的定义和符号 然后描述琼斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法之间的关系 在7 4节中 我们已通过琼斯矩阵公式简单描述了 PSP的概念 在这一节 我们将利用斯托克斯矢量来处理 另外 还会介绍一些重要概念 包括PMD矢量和双折射矢量 这些都是分析光纤网络中偏振模色散的主要工具 最后 我们描述在任意双折射率光纤中PMD矢量描述的一个动态的方程和PMD矢量的连接法则 这节的讨论主要参考了文献 2 琼斯矢量和斯托克斯矢量 我们已经描述了琼斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法之间的关系 当一束偏振光通过双折射网络传播时 琼斯矩阵是联系输出偏振状态和输入偏振状态的矩阵 线性关系可以写为 7 5 1 式中是输入偏振状态 是输出偏振状态 是的琼斯矩阵 注意到矢量和矩阵都是复数 式 7 5 1 可被看做双折射网络偏振状态的转换方程 琼斯矩阵的作用相当于在二维复琼斯空间的一次 旋转 如果我们把偏振状态表示为斯托克斯空间的单位矢量 那么偏振状态的转化可以用三维斯托克斯空间的一次旋转表示 数学表达式想 可以写为 7 5 2 式中是三元列矢量 表示输入偏振状态 是三元列矢量 表示输出偏振状态 是矩阵 斯托克斯矢量和矩阵都是实的 我们记得 一束偏 振光的斯托克斯参数 因此 只需要三个参数就可描述偏振状态 基于斯托克斯矢量各个分量的定义 第1章 利用泡利自旋矩阵和琼斯矢量 他们可以方便地写成 7 5 3 或者用符号表示 7 5 4 这两个方程是琼斯矢量和斯托克斯矢量之间的关系式 PSP 偏振主态 至此 我们在琼斯空间和斯托克斯空间均描述了主偏振态 考虑一个有固定偏振态的光波通过一个感兴趣的区域 研究输出偏振态作为频率的函数的变化 这可以通过考察输出状态对频率的微商得到 7 5 20 式中是固定的输入偏振态 为双折射网络的琼斯矩阵 对于一般的双折射网络 琼斯矩阵是 频率的函数 一般地 输出偏振态会随频率发生变化 我们所感兴趣的是一系列特殊的输入偏振状态 在这些偏振状态下输出偏振状态不随频率 对频率的一阶微分 的变化而变化 数学上 可以写成 7 5 21 式中是常数 物理上 是由于传输导致的群时延 根据这个公式 频率的变化仅仅导致相位因子的变化而不会改变输出琼斯矢量偏振状态的变化 满足上面公式的状态被称为偏振主态 PSP 输出偏振模色散 PMD 矢量 输出PMD矢量定义为斯托克斯空间中的矢量 它平行于输出PSP慢模的斯托克斯矢量 大小为 对于单个双折射网络 群时延可以描述信号脉冲的展宽 当多个双折射网络的网络中 总的群迟延不是单个网络群时延的和 而是单个双折射网络元的PMD矢量复杂的矢量和 本节的最后将讨论这个问题 为了讨论这个问题 需要引入PMD矢量的概念 PMD矢量可以由输出PSP的琼斯矢量得到 如下式所示 7 5 29 群时延由式 7 5 26 给出 输出PSP的慢模的琼斯矢量由式 7 5 27 给出 对于一个均匀双折射率网络或者波阵面 PMD矢量平行于慢模的偏振方向 其大小由式 7 3 1 给出 无穷小旋转和微分方程 从刚体力学可知 当旋转为无限小时 旋转定律变得尤为简单 考虑一段无限小的双折射光纤 斯托克斯空间的旋转角正比于光纤的长度即 7 5 35 式中为双折射的度量 和分别为慢模和快模对应的折射率 根据式 7 5 14 表示输入 输出关系的琼斯矩阵可以写为 式中是斯托克斯空间的旋转轴 根据式 7 5 19 旋转矩阵可以明确写为 7 5 37 7 5 36 动态PMD方程 在分析双折射光纤中脉冲展宽中 希望得到一个沿着光纤的PMD矢量变化的微分方程 我们知道 PMD的大小给出脉冲展宽的信息 现在 我们对式 7 5 42 的两边同时对取偏微分 式 7 5 45 的两边同时对取偏微分 消去 得到 7 5 46 利用矢量定义 经过数学运 算得 7 5 47 这是描述光纤中PMD矢量变化的微分方程 同样这个方程被作为PMD统计理论的基础 给定双折射矢量 利用式 7 5 47 可得输出PMD矢量 PMD级联 前面定义的PMD矢量是双折射网络中的一个重要参数 它包括输出PSP的信息和两个PSP之间群时延信息 双折射网络的PMD矢量与每个网元的PMD矢量都有关系 在这里我们描述一种获得双折射网络PMD的方法 参考图7 10 考虑一小单段的双折射光纤 输入 输出关系可以写成 其中 是的旋转矩阵 PMD矢量可由下面两种方法得到1 琼斯矩阵法 2 PSP方法 7 5 48 琼斯矩阵法 从琼斯公式出发 7 5 49 式中是琼斯矩阵 一旦得到琼斯矩阵 由式 7 5 34 PMD矢量即可获得 交替地 我们能找到的特征矢量 这两个特征矢量的斯托克斯矢量决定了旋转轴 而特征值的相位决定了旋转角 这些特征值和特征矢量唯一地决定了旋转矩阵 根据式 7 5 19 一旦获得 PMD矢量便可以得到 利用式 7 5 45 我们有 7 5 50 既然是任意的 我们得到即 7 5 51 根据旋转矩阵 这一方程可被用来获得PMD矢量的三个矢量元 PSP方法 在PSP方法中 我们首先通过解本征矢量方程 7 5 23 得到主偏振状态 并获得本征矢量和特征值 PMD矢量的大小是两个PSP之间的群时延 而PSP矢量的方向平行于慢PSP模的偏振方向 或者 PMD矢量可由式 7 5 29 得到 这里是慢PSP模的琼斯矢量 一旦双折射网络的PMD得到 我们就能得到一系列双折射网络的PMD 下面我们从两个级联的双折射网络讨论起 7 6高阶PMD和色散补偿器 前面所述的偏振主态 PSP 在所谓的一阶PMD补偿器 PMDC 中非常有用的 图7 13给出了一个补偿器的示意图 一束输入的非偏振光被分解成两个小的脉冲 这两个小的脉冲分别沿着快PSP模和慢PSP模方向方向偏振 这两个椭圆偏振的模式是相互正交的 在双折射网络的输出端 由于群时延差的存在 这两个脉冲就被分开来了 它们沿着输出的PSP方向偏振 通过在合适的方向加 入一个波片 这两个偏振模就能转换成线性偏振态 那么一个具有合适相位延迟的双折射波片就可以用来补偿在这两个模式之间产生的时延差 这样的话 就可以在输出端得到一个单一的脉冲 从而消除了由于PMD而产生的脉冲展宽 偏振模色散 PMD 是目前影响光通信系统中超高速传输的主要因素 如本章前面几节所述 PMD主要表现在一对偏振主态 PSP 和微分群时延差 DGD 在低速通信系统中 在信号频谱中心 通常是载波频率 的PSP和DGD就足以充分地 描述PMD在传输信号谱上的影响了 随着通信速率的提高