高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的数列问题课件.pptVIP

高考专题突破三高考中的数列问题 考点自测 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2016 金华十校高三上学期调研 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 s2 a3 且a1 a2 ak成等比数列 则k等于a 1b 2c 3d 4 答案 解析 答案 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d a5 5 s5 15 an a1 n 1 d n 3 2016 杭州学军中学模拟 已知等比数列 an 的公比q 0 前n项和为sn 若2a3 a5 3a4成等差数列 a2a4a6 64 则q sn 2 答案 解析 4 2015 课标全国 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一等差数列 等比数列的综合问题例1 2016 四川 已知数列 an 的首项为1 sn为数列 an 的前n项和 sn 1 qsn 1 其中q 0 n n 1 若a2 a3 a2 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 解答 由已知 sn 1 qsn 1 得sn 2 qsn 1 1 两式相减得an 2 qan 1 n 1 又由s2 qs1 1得a2 qa1 故an 1 qan对所有n 1都成立 所以 数列 an 是首项为1 公比为q的等比数列 从而an qn 1 由a2 a3 a2 a3成等差数列 可得2a3 a2 a2 a3 所以a3 2a2 故q 2 所以an 2n 1 n n 解答 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 为最终解决问题设置中间问题 例如求和需要先求出通项 求通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 思维升华 跟踪训练1已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为sn n n 且s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 设等比数列 an 的公比为q 因为s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 所以s5 a5 s3 a3 s4 a4 s5 a5 即4a5 a3 解答 当n为奇数时 sn随n的增大而减小 当n为偶数时 sn随n的增大而增大 题型二数列的通项与求和例2已知数列 an 的前n项和为sn 在数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 证明 an sn n an 1 sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 首项c1 a1 1 又a1 a1 1 又cn an 1 2 求数列 bn 的通项公式 解答 1 一般求数列的通项往往要构造数列 此时要从证的结论出发 这是很重要的解题信息 2 根据数列的特点选择合适的求和方法 常用的有错位相减法 分组求和法 裂项相消法等 思维升华 证明 2 求数列 an 的通项公式与前n项和sn 解答 题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇 解答 f x 2ax b 由题意知b 2n 16n2a 4nb 0 又f x x 2n 当n 1时 a1 4也符合 解答 命题点2数列与不等式的交汇例4 2016 宁波高三上学期期末考试 对任意正整数n 设an是方程x2 1的正根 求证 1 an 1 an 证明 故an 1 an 0 即an 1 an 证明 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1 数列与函数的交汇问题 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 思维升华 2 数列与不等式的交汇问题 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 比较方法 作差或者作商比较 3 数列应用题 根据题意 确定数列模型 准确求解模型 问题作答 不要忽视问题的实际意义 跟踪训练3 2017 浙江新高考预测一 已知f x lnx x 1 x为正实数 g x mx 1 m 0 1 判断函数y f x 的单调性 给出你的结论 解答 2 若数列 an 的各项均为正数 a1 1 在m 2时 an 1 f an g an 2 n n 求证 an 2n 1 证明 由题意 正项数列 an 满足a1 1 an 1 lnan an 2 由 1 知f x lnx x 1 f 1 0 即有不等式lnx x 1 x 0 下面用数学归纳法证明an 2n 1 成立 当n 1时 a1 1 21 1 式成立 假设当n k时 ak 2k 1成立 则当n k 1时 ak 1 lnak ak 2 ak 1 ak 2 2ak 1 2 2k 1 1 2k 1 1 所以当n k 1时 式也成立 由 可知 an 2n 1成立 课时训练 1 2016 北京 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 设数列 an 的公差为d bn 的公比为q bn 的通项公式bn b1qn 1 3n 1 又a1 b1 1 a14 b4 34 1 27 1 14 1 d 27 解得d 2 an 的通项公式an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 n 1 2 3 1 2 3 4 5 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项和 解答 1 2 3 4 5 2 2016 全国甲卷 等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 1 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 2 设bn an 求数列 bn 的前10项和 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 解答 1 2 3 4 5 所以数列 bn 的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 an 1 an 1 an a2 a1 a1 n 2 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 an 1 an 1 数列 an 是公差为1的等差数列 a1 1 an 1 n 1 1 n sn 2 bn sn 1 2 bn 1 由s1 2 b1 即b1 2 b1 得b1 1 1 2 3