南通二模数学.DOC

南通市高三数学试卷第页(共6页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)20105一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 有一容量为10的样本：2,4,7,6,5,9,7,10,3,8，则数据落在5.5,7.5)内的频率为_2. 已知直线l、m、n，平面，m，n，则“l”是“lm，且ln”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)3. 已知集合A2,7，4m(m2)i(其中i为虚数单位，mR)，B8,3，且AB，则m的值为_(第7题)4. 在区间0,1上任取两个数a、b，则关于x的方程x22axb20有实数根的概率为_5. 若函数f(x)则f_.6. 在区间a，a(a0)内不间断的偶函数f(x)满足f(0)f(a)0，且f(x)在区间0，a上是单调函数，则函数yf(x)在区间(a，a)内零点的个数是_7. 执行如右图所示的程序框图后，输出的结果是_8. 不等式x1的解集是_9. 如图，点A、B在函数ytan(x)的图象上，则直线AB的方程为_(第9题)10. 双曲线1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是_11. 已知数列an为等差数列，若1，则数列|an|的最小项是第_项12. 在菱形ABCD中，若AC4，则_.13. 已知点P在直线x2y10上，点Q在直线x2y30上，PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，则的取值范围是_14. 数列an满足：a12，an1(n2,3,4，)，若数列an有一个形如anAsin(n)B的通项公式，其中A、B、均为实数，且A0，0，|，则an_.(只要写出一个通项公式即可)二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知向量m(sinA，)与n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角(1) 求角A的大小；(2) 若BC2，求ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状16. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1) 求证：AE平面BDF；(2) 求三棱锥DACE的体积17. (本小题满分15分)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c.两个约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜(1) 如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2) 颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？18. (本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k1)x(k)y(3k)0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2y2r2(r0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mxny1和l2：mxny4的位置关系19. (本小题满分16分)设数列an是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和(1) 证明Sn1；(2) 设bnan3an1an，记数列bn的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小20. (本小题满分16分)已知函数f(x)x22acosklnx(kN*，aR，且a0)(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若k2 010，关于x的方程f(x)2ax有唯一解，求a的值.南通数学附加题试卷第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4小题中选做2小题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB是O的直径，C、F是O上的两点，COAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA.B. (选修42：矩阵与变换)求矩阵的特征值及对应的特征向量C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是2sin，设直线l的参数方程是(t为参数)(1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值D. (选修45：不等式选讲)设a1、a2、a3均为正数，且a1a2a3m，求证：.必做题，本小题10分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使AP，并求出二面角PABA1的平面角的余弦值必做题，本小题10分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤已知函数f(x)ln2(1x)，g(x)2(1x)ln(1x)x22x.(1) 证明：当x(0，)时，g(x)0；(2) 求函数f(x)的极值南通市高三数学参考答案第页(共4页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 0.32. 充分不必要3. 24. 5. 16. 27. 38. x|x2或0x19. xy2010. (8，3)11. 612. 813. (，)14. sin(n)15. 解：(1) 因为mn，所以sinA(sinAcosA)0.(2分)所以sin2A0，即sin2Acos2A1，(3分)即sin(2A)1.(4分)因为A(0，), 所以2A(，)(5分)故2A，A.(7分)(2) 由余弦定理，得4b2c2bc.(8分)又SABCbcsinAbc，(9分)而b2c22bcbc42bcbc4，(当且仅当bc时等号成立)(11分)所以SABCbcsinAbc4.(12分)当ABC的面积取最大值时，bc.又A，故此时ABC为等边三角形(14分)16. (1) 证明：设ACBDG，连结GF.因为BF面ACE，CE面ACE，所以BFCE.因为BEBC，所以F为EC的中点(3分)在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GFAE.(5分)因为AE面BFD，GF面BFD，所以AE面BFD.(7分)(2) 解：取AB中点O，连结OE.因为AEEB，所以OEAB.因为AD面ABE，OE面ABE，所以OEAD，所以OE面ADC.(9分)因为BF面ACE，AE面ACE，所以BFAE.因为CB面ABE，AE面ABE，所以AEBC.又BFBCB，所以AE平面BCE.(11分)又BE面BCE，所以AEEB.所以AB2，OEAB.(12分)故三棱锥EADC的体积为VDAECVEADCSADCOE22.(14分)17. 解：记A与a比赛为(A，a)，其他同理(1) (方法1)齐王与田忌赛马，有如下6种情况：(A，a)，(B，b)，(C，c)；(A，a)，(B，c)，(C，b)；(A，b)，(B，c)，(C，a)；(A，b)，(B，a)，(C，c)；(A，c)，(B，a)，(C，b)；(A，c)，(B，b)，(C，a)(2分)其中田忌获胜的只有一种：(A，c)，(B，a)，(C，b)(4分)故田忌获胜的概率为P.(7分)(方法2)齐王与田忌赛马对局有6种可能：ABCabcacbbacbcacabcba(2分)其中田忌获胜的只有一种：(A，c)，(B，a)，(C，b)(4分)若齐王出马顺序还有ACB，BAC，BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜故田忌获胜的概率为P.(7分)(2) 已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c.(9分)后两场有两种情形： 若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：(B，a)，(C，b)或(B，b)，(C，a)田忌获胜的概率为.(11分) 若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：(C，a)，(B，b)或(C，b)，(B，a)田忌获胜的概率也为.(13分)所以，田忌按cab或cba的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大.(14分)答：(1) 田忌获胜的概率.(2) 田忌按cab或cba的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为.(15分)18. 解：(1) (k1)x(k)y(3k)0(xy3)k(xy)0，(1分)解得F(，0)(3分)设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则由题设，知于是a2，b21.(5分)所以椭圆C的方程为y21.(6分)(2) 因为圆O：x2y2r2(r0)与椭圆C有4个相异公共点，所以bra，即1r2.(8分)因为点(m，n)是椭圆y21上的点，所以n21，且2m2.所以1,2(10分)于是圆心O到直线l1的距离d11r，(12分)圆心O到直线l2的距离d22r.(14分)故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离(15分)19. 证明：(1) 由题设知a10，q0.(1分) 当q1时，Snna1，于是SnSn2Sna1(n2)a1(n1)2aa0.(3分) 当q1时，Sn，于是SnSn2Saqn0.(7分)由和，得SnSn2S0.所以SnSn20，(15分)所以Tnq2S.(16分)方法二：Tn(akq3akqak)q3SnqSnSn，(11分)由q，(13分)因为q0，所以q2(当且仅当q，即q时取“”)因为1，所以1，即Tnq2Sn.(16分)20. 解：(1) 由已知得x0且f(x)2x(1)k.当k是奇数时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；(3分)当k是偶数时，则f(x)2x.(5分)所以当x(0，)时，f(x)0，当x(a，) 时，f(x)0.故当k是偶数时，f (x)在(0，)上是减函数，在(a，)上是增函数(7分)(2) 若k2 010，则f(x)x22alnx(kN*)记g(x)f(x)2axx22axlnx2ax，g(x)2x2a(x2axa)，若方程f(x)2ax有唯一解，即g(x)0有唯一解；(9分)令g(x)0，得x2axa0.因为a0，x0，所以x10(舍去)，x2.(11分)当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(0，x2)上是单调递减函数；当x(x2，)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上是单调递增函数当xx2时，g(x2)0，g(x)ming(x2)(12分)因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0.则即(13分)两式相减得alnx2ax2a0，因为a0，所以2lnx2x210(*)(14分)设函数h(x)2lnxx1，因为在x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一解因为h(1)0，所以方程(*)的解为x21，从而解得a.(16分)南通市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南通市2010届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：连结OF.因为DF切O于F，所以OFD90.所以OFCCFD90.因为OCOF，所以OCFOFC.因为COAB于O，所以OCFCEO90.(5分)所以CFDCEODEF，所以DFDE.因为DF是O的切线，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：特征多项式f()(2)21243，(3分)由f()0，解得11，23.(6分)将11代入特征方程组，得xy0.可取为属于特征值11的一个特征向量(8分)将23代入特征方程组，得xy0.可取为属于特征值23的一个特征向量综上所述，矩阵有两个特征值11，23；属于11的一个特征向量为，属于23的一个特征向量为.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：(1) 曲线C的极坐标方程可化为22sin.(2分)又x2y22，xcos，ysin，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.(4分)(2) 将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y(x2)(6分)令y0，得x2，即M点的坐标为(2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径r1，则|MC|.(8分)所以|MN|MC|r1.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：因为()m(a1a2a3)()339，当且仅当a1a2a3时等号成立(8分)又因为ma1a2a30，所以.(10分)22. 解：(1) 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0,4,2)，(0,2,2)，(2，2,0)cos，故AA1与棱BC所成的角是.(4分)(2)设(2，2，0)，则P(2，42，2)于是AP(舍去)，则P为棱B1C1的中点，其坐标为P(1,3,2)(6分)设平面PABA1的法向量为n1 (x，y，z)，则故n1(2,0,1)(8分)而平面ABA1的法向量是n2(1,0,0)，则cosn1，n2，故二面角PABA1的平面角的余弦值是.(10分)23. (1) 证明：g(x)2(1x)ln(1x)x22x，则g(x)2ln(1x)2x.令h(x)2ln(1x)2x，则h(x)2.(1分)当1x0时，h(x)0，h(x)在(1,0)上为增函数当x0时