抛物线的再认识.doc

课题： 抛物线的再认识 授课教师： 北京市华侨城黄冈中学 余海军 授课班级：初 三（1）班 授课时间：2017年5月25日教学目标1. 理解平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的集合是抛物线2. 经历把实际问题转化为几何问题，然后独立思考、画图尝试、观察猜想，再小组交流、计算推理、构建代数模型，从而验证规律的过程，积累运用数学解决实际问题的活动经验，增强创新意识3. 体验从特殊到一般、从直观到抽象、数形结合的研究方法，发展合情推理和演绎推理能力 学情分析 初中学生正处于青春期，好奇心强，是发展合情推理、演绎推理、抽象思维和创新意识的黄金时期三（1）班平时的课堂比较沉闷，初三一模考试暴露出部分同学几何操作能力和想象力不足，但具有一定的思维深度，探究能力较强，全班尝试小组交流学习已有两年多目前学生已经学习过二次函数的基本知识，知道抛物线是二次函数的图像，本节内容选自人教九上第22章数学活动教学重点与难点从特殊到一般，猜想点的分布规律；数形结合、计算推理，验证点的分布规律设计思路活动一：情境引入，把实际问题抽象转化成几何问题活动二：感性猜想，从特殊到一般，先独立思考、画图尝试、 观察猜想，再小组交流，探索点的分布规律活动三：理性验证，从直观几何到抽象代数，数形结合，计算推理，构建代数模型，验证规律活动四：总结提升，回忆解决问题的全过程，积累经验，深化认识学材选择与分析设计几何画板课件，更直观、动态的感知、理解点的分布规律教与学的方法教法：问题串启发、引导探究过程学法：独立探究与小组交流相结合板书设计 课题：抛物线的再认识 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的集合是抛物线 小结：屏幕教师活动学生活动设计意图活动一、情境引入实际问题：如图，在一片草原上有一个蒙古包和一条树林带，欲修一个观景亭，使这个观景亭与蒙古包和树林带的距离相等，你觉得观景亭设计在哪里合适？分析：这个实际问题可以抽象成怎样的数学问题？几何问题：如图，设点A为蒙古包，直线l为树林带，求作观景亭点P，使点P与点A和直线l的距离相等 阅读题目，理解问题的实际背景口答： 蒙古包抽象成点，树林带抽象成直线活动一 以实际问题引出研究课题，贴近生活，激发学生探究兴趣 把实际问题抽象成几何问题，发展模型思想活动二、感性猜想 你能作出观景亭点P的位置吗？满足与点A和直线l的距离相等的点P只有唯一一个吗？鼓励学生大胆尝试，用更多方法寻求更多点P的位置教师边巡视，边启发引导，问题如下：1. 直接用尺规作出点P的位置可能很困难，可以先画草图分析，假定一个点P的位置 那么怎样表示点P与点A的距离呢？点P与直线l的距离又怎样表示呢？ 2. PM是点P与直线l的距离，也可以看做是点P与垂足M的距离 PA=PM你想到了什么？几何画板预案：方法（1）：运用“中垂线上的点与线段两端点的距离相等”方法（2）：运用“角平分线上的点与角两边的距离相等”方法（3）：运用“平行线间的距离处处相等” 学生回答或展示时，老师注意追问学生的思路和依据视同学理解的程度，决定是否用几何画板再现一遍作点P的过程3. 满足条件的点P能作出多少个？猜想这无数个点P，可能组成什么图形？4. 尝试作出更多个满足条件的点P，观察这更多个点P的分布规律？ 既然满足与蒙古包（点A）和树林带（直线l）的距离相等的点有无数个，那我们干脆设计一条观景长廊，使观景人无论走到观景长廊的任何位置，与蒙古包和树林带的距离都相等！ 老师用几何画板让点M动起来，并进行点P的追踪，让学生看见点P的追踪线 点P的追踪线真的是我们学过的二次函数的图像抛物线吗？学生可能画出各种特殊的点P先独立思考、画图尝试，观察猜想，再小组交流，不断探索选代表实物投影或黑板画图展示方法（1）：第1步，直线l上任取一点M；第2步，作线段AM的中垂线；第3步，过点M作直线l的垂线与AM的中垂线相交，交点即为点P“直线l的垂线”与“点A和垂足连线的中垂线”相交生成点P方法（2）：方法（3）： 继续画图尝试、观察猜想，可能会有同学猜出像抛物线，选两三个代表实物投影展示 观察、欣赏、思考 活动二 从找特殊位置过渡到找一般位置，以问题串启发引导，有层次的分散难点，发展合情推理能力，增强创新意识，体会研究问题的过程和方法小组交流保证每个学生都理解点P的生成过程鼓励学生尝试各种方法找点P，培养发散思维 实际问题的进一步深入 几何画板的追踪点展示，更直观、动态的感知点的分布规律，体会满足条件的点的集合的神奇和美活动三、理性验证 老师启发引导问题：1. 我们目前画出是几何图形，而二次函数是以形如的解析式形式定义的要把图形用解析式表示，我们需要做什么？2. 你觉得怎样建立x轴和y轴合适？ 3. 建立了坐标系，还需要做什么，才能把曲线用解析式表示？4. 无数个点P组成貌似抛物线的曲线，所以点P的横纵坐标该如何表示？5. 要想验证这条曲线确实是二次函数的图像，就需要证明这条曲线上任意一点的横、纵坐标满足形如的方程接下来我们的目标是用x来表示y坐标系中点的横、纵坐标分别表示什么？6. 要想用x来表示y，可以寻求点P到y轴和x轴的两条垂线段的数量关系，列二元方程，就可能实现原来几何图形中点P满足什么数量关系？7. 如何用x、y表示PA 和PM ？ 这正是形如的二次函数的解析式，说明这条曲线就是我们学过的二次函数的图像 通过上面的活动你是否对“抛物线”有了更深刻的认识？ 从代数角度考虑，抛物线是二次函数的图像；从几何角度考虑，你觉得抛物线是满足什么条件的图形？ 实质上，我们今天探究的课题就是抛物线的再认识思考老师的引导问题，并回答 数形结合，把几何图形放入平面直角坐标系点M为原点，直线l为x轴更合适（其实任意一点为坐标原点都可以） 需要数，设点A（0，n） P（x，y） 坐标系中点的横、纵坐标的绝对值分别表示点到y轴和x轴的垂线段长过点P作 PHy轴，垂足为H，则=PH，=PMPA = PM 小组讨论，计算推理，选一个代表，展示讲解 在 RtPAH 中， PA = PM， 同学思考，举手回答 平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的集合活动三 仍以问题串启发引导学生进一步的探究 使学生经历把直观的几何图形抽象成代数模型的过程，发展演绎推理，体会数形结合在解决问题过程中的作用根据解决问题的需要引出赋予定点A坐标正因为点的坐标是一对数，同时又是到坐标轴的垂线段长，所以平面直角坐标系能把“数”和“形”联系起来分别从代数角度和几何角度完成对抛物线的再认识活动四、总结提升1. 回忆刚才的实际问题，我们该如何设计观景走廊呢？2. 如果定点A放在y轴负半轴上，抛物线会怎样？3. 猜想一下，从抛物线的几何定义角度考虑，它的开口方向和大小由什么决定？老师几何画板展示4. 回忆本节课，我们通过哪些活动加深了对抛物线的认识？我们运用了哪些研究问题的方法？ 学生思考并回答 以点蒙古包为原点，树林带为x轴，建立平面直角坐标系，量取蒙古包和树林带的距离，得到点A的坐标，列出