山东省招远市第二中学高三数学 专题 集合与简易逻辑复习试题 新人教A版.doc

山东省招远市第二中学高三数学 专题 集合与简易逻辑复习试题 新人教a版一、复习要求 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导 1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集； 按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3） 集合的表示法： 列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如n+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用或表示； （2）集合与集合的关系，用，=表示，当ab时，称a是b的子集；当ab时，称a是b的真子集。3、集合运算 （1）交，并，补，定义：ab=x|xa且xb，ab=x|xa，或xb，cua=x|xu，且xa，集合u表示全集；（2） 运算律，如a（bc）=（ab）（ac），cu（ab）=（cua）（cub），cu（ab）=（cua）（cub）等。 4、命题：（1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p； （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。 （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、 充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件； （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合a，满足条件q的所有对象组成集合q，则当ab时，p是q的充分条件。ba时，p是q的充分条件。a=b时，p是q的充要条件；（3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题 例1、已知集合m=y|y=x2+1，xr，n=y|y=x+1，xr，求mn。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。m、n均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。m=y|y=x2+1，xr=y|y1，n=y|y=x+1，xr=y|yr mn=m=y|y1说明：实际上，从函数角度看，本题中的m，n分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xa应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合（x，y）|y=x2+1，xr是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。例2、已知集合a=x|x2-3x+2=0，b+x|x2-mx+2=0，且ab=b，求实数m范围。解题思路分析：化简条件得a=1，2，ab=bba根据集合中元素个数集合b分类讨论，b=，b=1或2，b=1，2当b=时，=m2-80 当b=1或2时，m无解当b=1，2时， m=3综上所述，m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当b=1或2时，不能遗漏=0。例3、用反证法证明：已知x、yr，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾 假设不成立 x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例4、若a是b的必要而不充分条件，c是b的充要条件，d是c的充分而不必要条件，判断d是a的什么条件。解题思路分析：利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 dcba da，d是a的充分不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 得l1，l2交点p（） l过点p 17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11 代入l方程：整理得：此方程表明，直线l恒过两直线的交点（）而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。四、同步练习（一） 选择题1、 设m=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，则a与m的关系是a、a=m b、ma c、am d、ma2、 已知全集u=r，a=x|x-a|2，b=x|x-1|3，且ab=，则a的取值范围是a、 0，2 b、（-2，2） c、（0，2 d、（0，2）3、 已知集合m=x|x=a2-3a+2，ar，n、x|x=b2-b，br，则m，n的关系是a、 mn b、mn c、m=n d、不确定 4、设集合a=x|xz且-10x-1，b=x|xz，且|x|5，则ab中的元素个数是a、11 b、10 c、16 d、155、集合m=1，2，3，4，5的子集是a、15 b、16 c、31 d、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 a、所给命题为假 b、它的逆否命题为真c、它的逆命题为真 d、它的否命题为真7、“”是coscos”的a、充分不必要条件 b、必要不充分条件c、充要条件 d、既不充分也不必要条件 8、集合a=x|x=3k-2，kz，b=y|y=3l+1，lz，s=y|y=6m+1，mz之间的关系是a、sba b、s=ba c、sb=a d、sb=a9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a、0m1或m0 b、0m1c、m1 d、m110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的a、充分不必要条件 b、必要不充分条件充要条件 d、既不充分又不必要条件（二） 填空题11、 已知m=，n=x|，则mn=_。 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是_人。13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是_。14、 命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_。15、 非空集合p满足下列两个条件：（1）p1，2，3，4，5，（2）若元素ap，则6-ap，则集合p个数是_。（三） 解答题16、 设集合a=(x，y)|y=ax+1，b=(x，y)|y=|x|，若ab是单元素集合