高中数学 第3章 空间向量与立体几何质量评估检测 新人教A版选修21.doc

第三章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若a，b，c，d为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；.abc d解析：中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0.故选c.答案：c2已知向量a(2,4,5)、b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()ax6，y15 bx3，ycx3，y15 dx6，y解析：l1l2，ab，则，x6，y.答案：d3已知空间三点o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)，在直线oa上有一点h满足bhoa，则点h的坐标为()a(2,2,0) b(2，2,0)c. d.解析：由(1,1,0)，且点h在直线oa上，可设h(，0)，则(，1，1)又bhoa，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，h，故选c.答案：c4已知a(2，5,1)，b(2，2,4)，c(1，4,1)，则与的夹角为()a30 b45c60 d90解析：(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，3，cos，60.答案：c5在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.a5 b4c3 d2解析：|a|b|ab|a与b的夹角为，故是充分不必要条件，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确，故选b.答案：b6已知向量，则平面amn的一个法向量是()a(3，2,4) b(3,2，4)c(3，2，4) d(3,2，4)解析：设平面amn的法向量n(x，y，z)，则即令z4，则n(3，2,4)，由于(3,2，4)(3，2,4)，可知选项d符合答案：d7已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()a(1,1,1) b(1，1，1)或(1,1,1)c(1，1，1) d(1，1,1)或(1,1，1)解析：设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3，2)则解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：b8已知三棱锥sabc中，底面abc为边长等于2的等边三角形，sa垂直于底面abc，sa3，那么直线ab与平面sbc所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：建系如图，则s(0,0,3)，a(0,0,0)，b(，1,0)，c(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3)设面sbc的法向量为n(x，y，z)则令y3，则z2，x，n(，3,2)设ab与面sbc所成的角为，则sin.答案：d9直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于()a90 b60c45 d30解析：建系如图，设ab1，则b(1,0,0)，a1(0,0,1)，c1(0,1,1)，a(0,0,0)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线ba1与ac1所成的角等于60.答案：b10已知e、f分别是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1的中点，则截面aefd1与底面abcd所成二面角的正弦值是()a. b.c. d.解析：以d为坐标原点，以da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则a(1,0,0)，e，f，d1(0,0,1)，所以(1,0,1)，.设平面aefd1的法向量为n(x，y，z)，则x2yz，取y1，则n(2,1,2)，而平面abcd的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：c11在三棱锥pabc中，abc为等边三角形，pa平面abc，且paab，则二面角apbc的平面角的正切值为()a. b.c. d.解析：设paab2，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,2,0)，c(，1,0)，p(0,0,2)(0，2,2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面pbc的一个法向量则即令y1，则x，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面pab的一个法向量则cosm，n.正切值tanm，n.答案：a12已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为()a. b.c. d.解析：q在op上，可设q(x，x,2x)，则(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时q.答案：c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若a(x,5x,2x1)，b(1，x2,2x)，则当|取最小值时，x的值等于_解析：(1x,2x3，3x3)，则|，故当x时，|取最小值答案：14正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd夹角的正弦值是_解析：如图，以da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，易证是平面a1bd的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以bc1与平面a1bd夹角的正弦值为.答案：15已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，则_.解析：由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得cxayb，即，解得.答案：16如图，在空间四边形abcd中，ac和bd为对角线，g为abc的重心，e是bd上一点，be3ed，以，为基底，则_.解析：().答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解析：(1)易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即acb1d.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin|cosn，|.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.18(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱abca1b1c1的底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，在线段aa1上是否存在点f，使cf平面b1df，若存在，求出af，若不存在，说明理由解析：假设存在f点，使cf平面b1df，不妨设afb，则f(a,0，b)，(a，a，b)，(a,0，b3a)，.a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a.当afa或af2a时，cf平面b1df.19(本小题满分12分)如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点(1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值解析：(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面adc1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面adc1的一个法向量取平面aa1b的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为.由|cos|，得sin.因此，平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为.20(本小题满分12分)如图1，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别为ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图2.(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小图1 图2解析：(1)证明：因为acbc，debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.所以dea1c.又因为a1ccd，所以a1c平面bcde.(2)如图，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系cxyz.则a1(0,0,2)，d(0,2,0)，m(0,1，)，b(3,0,0)，e(2,2,0)设平面a1be的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2,1，)设cm与平面a1be所成的角为.因为(0,1，)，所以sin|cosn，|，所以cm与平面a1be所成角的大小为.21(本小题满分12分)如图所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点(1)求证：am平面bde；(2)试在线段ac上确定一点p，使得pf与cd所成的角是60.解析：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系设acbdn，连结ne，则n，e(0,0,1)，.又a(，0)，m，.，且ne与am不共线neam.又ne平面bed，am平面bde，am平面bde.(2)设p(t，t,0)(0t)，则(t，t,1)，(，0,0)又与所成的角为60，解之得t，或t(舍去)故点p为ac的中点22(本小题满分12分)如图，在圆锥po中，已知po，o的直径ab2，c是的中点，d为ac的中点(1)证明：平面pod平面pac；(2)求二面角bpac的余弦值解析：(1)证明：如图所示，以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0，)，d.设n1(x1，y1，z1)是平面pod的一个法向量，则由n10，n10，得所以z10，x1y