2013年高考数学试题分类汇编：7立体几何(理).doc

20132013 年高考理科数学试题分类汇编 年高考理科数学试题分类汇编 7 7 立体几何立体几何 一 选择题 1 2013 年高考新课标 1 理 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高 8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm 如 果不计容器的厚度 则球的体积为 A B C D 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm 答案 A 2 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 设是两 m n 条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 则B 若 则 m n mn m n mn C 若 则D 若 则 mn m n m mn n 答案 D 3 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 若两个球的表面积之比为 则这两1 4 个球的体积之比为 A B C D 1 21 41 81 16 答案 C 4 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已 知正四棱柱中 则与平面所成角的正弦值等 1111 ABCDABC D 1 2AAAB CD 1 BDC 于 A B C D 2 3 3 3 2 3 1 3 答案 A 5 2013 年高考新课标 1 理 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 168 88 16 16 8 16 答案 A 6 2013 年高考湖北卷 理 一个几何体的三视图如图所示 该几何体从上到下由四个 简单几何体组成 其体积分别记为 上面两个简单几何体均为旋转体 下 1 V 2 V 3 V 4 V 面两个简单几何体均为多面体 则有 A B C D 1243 VVVV 1324 VVVV 2134 VVVV 2314 VVVV 答案 C 7 2013 年高考湖南卷 理 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方 形 则该正方体的正视图的面积不可能等于 A B C D 12 2 1 2 2 1 2 答案 C 8 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 某四棱台的 三视图如图所示 则该四棱台的体积是 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 A B C D 4 14 3 16 36 答案 B 9 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 已 知nm 为异面直线 m平面 n平面 直线l满足 lm ln ll 则 A 且 lB 且 l C 与 相交 且交线垂直于lD 与 相交 且交线平行于l 答案 D 10 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直 体积为 底面是边长为的正三角形 若为底 111 ABCABC 9 4 3 P 面的中心 则与平面所成角的大小为 111 ABC PAABC A B C D 5 12 3 4 6 答案 B 11 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 含答案 某几何体的三 视图如题 5图所示 则该几何体的体积为 A 560 3 B 580 3 C 200D 240 答案 C 12 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 已知三棱柱 的 6 个顶点都在球的球面上 若 111 ABCABC O34ABAC ABAC 则球的半径为 1 12AA O A B C D 3 17 2 2 10 13 2 3 10 答案 C 13 2013 年高考江西卷 理 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上 且 正方体的六个面所在的平面与直线 CE EF 相交的平面个数分别记为 那AB CDA m n 么mn A 8B 9C 10D 11 答案 A 14 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 一 个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该 四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到正视图可以为 A B C D 答案 A 15 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 在下列命题 中 不是公理的是 A 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 16 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 在空间中 过点作平面的垂线 垂足为 记 设是两个不同的平面 对空间A B AfB 任意一点 恒有 则 P 21 PffQPffQ 21 PQPQ A 平面与平面垂直B 平面与平面所成的 锐 二面角为 0 45 C 平面与平面平行D 平面与平面所成的 锐 二面角为 0 60 答案 A 17 2013 年高考四川卷 理 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的直观图可以 是 答案 D 二 填空题 18 2013 年高考上海卷 理 在平面上 将两个半圆弧和xOy 22 1 1 1 xyx 两条直线 和围成的封闭图形记为 D 如图中阴 22 3 1 3 xyx 1y 1y 影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 过作的水平截面 所 0 1 yy 得截面面积为 试利用祖暅原理 一个平放的圆柱和一个长方体 得出 2 418y 的体积值为 答案 2 216 19 2013 年高考陕西卷 理 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 3 11 2 1 答案 3 20 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已 知圆和圆是球的大圆和小圆 其公共弦长等于球的半径 且圆与OKOO 3 2 OK O 圆所在的平面所成的一个二面角为 则球的表面积等于 K60 O 答案 16 21 2013 年高考北京卷 理 如图 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E为BC的中 点 点P在线段D1E上 点P到直线CC1的距离的最小值为 1 D 1 B P A D 1 C C E B A 1 A 答案 2 5 5 22 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附 加题 如图 在三棱柱中 分别是的中点 ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 设三棱锥的体积为 三棱柱的体积为 则ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21 V V A B C 1 A D E F 1 B 1 C 答案 1 24 23 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 若某几何体 的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积等于 2 cm 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 第 12 题图 答案 24 24 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 正方 体的棱长为 1 P 为 BC 的中点 Q 为线段上的动点 过点 A P Q 1111 ABCDABC D 1 CC 的平面截该正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 写出所有正 确命题的编号 当时 S 为四边形 当时 S 为等腰梯形 当时 S 与 1 0 2 CQ 1 2 CQ 3 4 CQ 的交点 R 满足 当时 S 为六边形 当时 S 的面 11 C D 11 1 3 C R 3 1 4 CQ 1CQ 积为 6 2 答案 25 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 某几何体的三 视图如图所示 则该几何体的体积是 答案 1616 26 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 已知某一多 面体内接于一个简单组合体 如果该组合体的正视图 测试图 俯视图均如图所示 且图 中的四边形是边长为 2 的正方形 则该球的表面积是 答案 12 27 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 在如图所示的正方体 中 异面直线与所成角的大小为 1111 ABCDABC D 1 AB 1 BC D1 C1 B1 A1 D C AB 答案 3 三 解答题 28 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 如图 AB 是圆 的直径 PA 垂直圆所在的平面 C 是圆上的点 I 求证 PACPBC 平面平面 II 2 ABACPACPBA 若 1 1 求证 二面角的余弦值 答案 29 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 含答案 如图 四棱锥 PABCD 中 PAABCD 底面 2 4 3 BCCDACACBACD F为PC的中点 AFPB 1 求PA的长 2 求二面角BAFD 的正弦值 答案 30 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 圆锥 顶点为 底面圆心为 其母线与底面所成的角为 22 5 和是底面圆上poABCDO 的两条平行的弦 轴与平面所成的角为 60 OPPCD 证明 平面与平面的交线平行于底面 求 PABPCDcosCOD 答案 解 PABP D CmABCDCDPCDABPCD 设面面直线且面面 ABm 直线ABCDmABCDAB面直线面 所以 ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C r PO OPFFCDr 5 22tan 60 由题知 则的中点为线段设底面半径为 5 22tan1 5 22tan2 45tan 2 cos 5 22tan60tan60tan 2 COD r OF PO OF 223 3 1 2 3 2 1cos 1 25 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD 212 17cos 212 17cos CODCOD所以 法二 31 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 在四 面体中 平面 是的中BCDA ADBCD22 2 BDADCDBCMAD 点 是 的中点 点在线段上 且 PBMQACQCAQ3 1 证明 平面 2 若二面角的大小为 求的大小 PQBCDDBMC 0 60BDC A B C D P Q M 第 20 题图 答案 解 证明 方法一 如图 6 取的中点 且是中点 所以MDFMAD 因为是中点 所以 又因为 且3AFFD PBM PFBD3AQQC 所以 所以面面 且面 所以3AFFD QFBD PQFBDCPQ BDC 面 PQBDC 方法二 如图 7 所示 取中点 且是中点 所以 取的三BDOPBM 1 2 POMDCD 等分点 使 且 所以 所以H3DHCH 3AQQC 11 42 QHADMD 且 所以面 POQHPQOH OHBCD PQBDC 如图 8 所示 由已知得到面面 过作于 所以ADB BDCCCGBD G 过作于 连接 所以就是的CGBMD GGHBM HCHCHG CBMD 二面角 由已知得到 设 所以 813BM BDC cos sin2 2cos 2 2cossin 2 2sin CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中 所以在RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC 中 所以在中 RT BHG 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG tan3 0 90 6060BDC 32 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 如图 在正三棱锥中 111 ABCABC 异面直线与所成角的大小为 求该三棱柱的体积 1 6AA 1 BC 1 AA 6 B1 A1 C1 AC B 答案 解 因为 1 CC 1 AA 所以为异面直线与 所成的角 即 1 BC C 1 BC 1 AA 1 BC C 6 在 Rt中 1 BC C 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C 从而 2 3 3 3 4 ABC SBC 因此该三棱柱的体积为 1 3 3 618 3 ABC VSAA 33 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附 加题 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A 垂足为 点分别是棱的中点 SBAF FGE SCSA 求证 1 平面平面 2 EFGABCSABC A B C S G F E 答案 证明 1 F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E F 分别是 SA SB 的中点 EF AB 又 EF平面 ABC AB平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EFFG F EF FG平面 ABC 平面平面 EFGABC 2 平面平面 SABSBC 平面平面 BC SAB SBC AF平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC AF BC 又 ABAF A AB AF平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA平面BCAB SAB BC SA 34 2013 年高考上海卷 理 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AD 1 A1A 1 证明 直线 BC1平行于平面 DA1C 并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离 D1 C1 B1 A1 D C B A 答案 因为 ABCD A1B1C1D1为长方体 故 1111 ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形 故 显然 B 不在平面 D1AC 上 于是直线 BC1平行于 11 BCAD 平面 DA1C 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积 以 ABC 为底面 可得 111 1 2 1 323 V 而中 故 1 ADC 11 5 2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以 即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 1312 3233 Vhh 2 3 35 2013 年高考湖北卷 理 如图 是圆的直径 点是圆上异于的点 ABOCO A B 直线平面 分别是 的中点 PC ABCEFPAPC I 记平面与平面的交线为 试判断直线 与平面的位置关系 并加BEFABCllPAC 以证明 II 设 I 中的直线 与圆的另一个交点为 且点满足 记直线lODQ 1 2 DQCP 与平面所成的角为 异面直线与所成的角为 二面角PQABC PQEF 的大小为 求证 ElC sinsinsin 第 19 题图 答案 解 I EFAC AACABC 平面EFABC 平面 EFABC A平面 又 EFBEF 平面 EFl A lPAC A平面 II 连接 DF 用几何方法很快就可以得到求证 这一题用几何方法较快 向量的方法很 麻烦 特别是用向量不能方便的表示角的正弦 个人认为此题与新课程中对立体几何的 处理方向有很大的偏差 36 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 如图 1 在等 腰直角三角形中 分别是上的点 ABC90A 6BC D E AC AB 为的中点 将沿折起 得到如图 2 所示的四棱锥2CDBE OBCADE DE C D O x E A 向量法图向量法图 y z B 其中 ABCDE 3A O 证明 平面 求二面角的平面角的余弦值 A O BCDEACDB C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 答案 在图 1 中 易得 3 3 2 2 2OCACAD C D O B E A H 连结 在中 由余弦定理可得 OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知 2 2A D 所以 所以 222 A OODA D A OOD 理可证 又 所以平面 A OOE ODOEO A O BCDE 传统法 过作交的延长线于 连结 OOHCD CDHA H 因为平面 所以 A O BCDEA HCD 所以为二面角的平面角 A HO ACDB 结合图 1 可知 为中点 故 从而 HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以 所以二面角的平面角的余弦值为 15 cos 5 OH A HO A H ACDB 15 5 向量法 以点为原点 建立空间直角坐标系如图所示 OOxyz 则 0 0 3 A 0 3 0C 1 2 0D 所以 0 3 3CA 1 2 3DA 设为平面的法向量 则 nx y z A CD 即 解得 令 得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1 1 3n 由 知 为平面的一个法向量 0 0 3OA CDB 所以 即二面角的平面角的余弦 315 cos 535 n OA n OA n OA ACDB 值为 15 5 37 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 理 试题 含答案 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 侧棱A1A 底面ABCD AB DC AB AD AD CD 1 AA1 AB 2 E为棱AA1的中点 证明B1C1 CE 求二面角B1 CE C1的正弦值 设点M在线段C1E上 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 求线段 2 6 AM的长 答案 38 2013 年高考新课标 1 理 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB A A1 BA A1 60 证明 AB A1C 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 2 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 答案 取 AB 中点 E 连结 CE 1 AB 1 AE AB 1 AA 1 BAA 0 60 1 BAA 是正三角形 1 AE AB CA CB CE AB 1 CEAE E AB 面 1 CEA AB 1 AC 由 知 EC AB 1 EA AB 又 面 ABC 面 11 ABB A 面 ABC 面 11 ABB A AB EC 面 11 ABB A EC 1 EA EA EC 1 EA两两相互垂直 以 E 为坐标原点 EA 的方向为x轴正方向 EA 为单位 长度 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 有题设知 A 1 0 0 1 A 0 3 0 C 0 0 3 B 1 0 0 则BC 1 0 3 1 BB 1 AA 1 0 3 1 AC 0 3 3 设n x y z是平面 11 CBBC的法向量 则 1 0 0 BC BB n n 即 30 30 xz xy 可取n 3 1 1 1 cos AC n 1 1 AC AC n n 10 5 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 39 2013 年高考陕西卷 理 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O为 底面中心 A1O 平面ABCD 1 2ABAA 证明 A1C 平面BB1D1D 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小 O D1 B1 C1 D A C B A1 答案 解 又因为 在正BDOAABCDBDABCDOA 11 面且面 方形 AB CD 中 BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 故面且面所以 且 在正方形 AB CD 中 AO 1 1 11 OAOAART中 在 OECAOCEAEDB 1111111 为正方形 所以 则四边形的中点为设 所以由以上三点得且 面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E E 证毕 DDBBCA 111 面 建立直角坐标系统 使用向量解题 以 O 为原点 以 OC 为 X 轴正方向 以 OB 为 Y 轴正方向 则 1 0 1 1 1 1 100 001 0 1 0 111 CABACB 由 知 平面BB1D1D的一个法向量 0 0 1 1 1 1 1 0 1 111 OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 则0 0 2122 OCnOBnn 1 1 0 向向向 2 n为解得其中一个 2 1 22 1 cos cos 21 21 11 nn nn nn 所以 平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 40 2013 年高考江西卷 理 如图 四棱锥中 PABCD PA O D1 B1 C1 D A C B A1 ABCD EBD 平面为的中点GPD为的中点 连接并延长交于 3 1 2 DABDCB EAEBABPA CEADF 1 求证 ADCFG 平面 2 求平面与平面的夹角的余弦值 BCPDCP 答案 解 1 在中 因为是的中点 所以 ABD EBD1EAEBEDAB 故 23 BADABEAEB 因为 所以 DABDCB EABECB 从而有 FEDFEA 故 又因为所以 EFAD AFFD PGGD FGPA 又平面 PA ABCD 所以故平面 GFAD AD CFG 3 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系 则A 33 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 22 ABCD 4 故 3 0 0 2 P 1333 333 0 0 2222222 BCCPCD 设平面的法向量 则 BCP 111 1 ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得 即 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 1 33 n 设平面的法向量 则 解得 DCP 222 1 nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即 从而平面与平面的夹角的余弦值为 2 1 3 2 n BCPDCP 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 41 2013 年高考四川卷 理 如图 在三棱柱中 侧棱底面 11 ABCABC 1 AA ABC 分别是线段的中点 是线段 1 2ABACAA 120BAC 1 D D 11 BC BCP 的中点 AD 在平面内 试作出过点与平面平行的直线 说明理由 并证明直线ABCP 1 ABCl 平面 l 11 ADD A 设 中的直线 交于点 交于点 求二面角的余弦lABMACN 1 AAMN 值 D1 D C B A1 B1 C1 A P 答案 解 如图 在平面内 过点做直线 因为 在平面外 ABCPlBCl 1 ABC 在平面内 由直线与平面平行的判定定理可知 平面 BC 1 ABCl 1 ABC 由已知 是的中点 所以 则直线 ABAC DBCBCAD lAD 因为平面 所以直线 又因为在平面内 且 1 AA ABC 1 AA l 1 AD AA 11 ADD A 与相交 所以直线平面 AD 1 AA 11 ADD A 解法一 连接 过作于 过作于 连接 1 APA 1 AEAP EE 1 EFAM FAF 由知 平面 所以平面平面 MN 1 AEA 1 AEA 1 AMN 所以平面 则 AE 1 AMN 1 AMAE 所以平面 则 1 AM AEF 1 AM AF 故为二面角的平面角 设为 AFE 1 AAMN 设 则由 有 1 1AA 1 2ABACAA 120BAC 60BAD 2 1ABAD 又为的中点 所以为的中点 且 PADMAB 1 1 2 APAM 在中 在中 1 Rt AAPA 1 5 2 AP 1 Rt A AMA 1 2AM 从而 1 1 1 5 AAAP AE AP 1 1 1 2 AAAM AF AM 所以 2 sin 5 AE AF 所以 2 2 215 cos1 sin1 55 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 解法二 设 如图 过作平行于 以为坐标原点 分别以 的 1 1AA 1 A 1 AE 11 BC 1 A 111 AE AD 1 AA 方向为轴 轴 轴的正方向 建立空间直角坐标系 点与点重合 xyzOxyzO 1 A 则 1 0 0 0A 0 0 1A 因为为的中点 所以分别为的中点 PAD M N AB AC 故 3 13 1 1 1 2222 MN 所以 1 3 1 1 22 AM 1 0 0 1A A 3 0 0NM 设平面的一个法向量为 则 1 AAM 1111 nx y z 即故有 11 11 nAM nA A 11 11 0 0 nAM nA A 111 111 3 1 10 22 0 0 10 x y z x y z 从而 111 1 31 0 22 0 xyz z 取 则 所以 1 1x 1 3y 1 1 3 0n 设平面的一个法向量为 则 1 AMN 2222 nxy z 即故有 21 2 nAM nNM 21 2 0 0 nAM nNM 222 222 3 1 10 22 3 0 00 xy z xy z 从而 222 2 31 0 22 30 xyz x 取 则 所以 2 2y 2 1z 2 0 2 1n 设二面角的平面角为 又为锐角 1 AAMN 则 12 12 1 3 00 2 1 15 cos 525 nn nn 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 42 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附 加题 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱中 点是 111 ABCABC ACAB 2 ACAB4 1 AAD 的中点BC 1 求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 2 求平面与所成二面角的正弦值 1 ADC 1 ABA 答案 本题主要考察异面直线 二面角 空间向量等基础知识以及基本运算 考察运用 空间向量解决问题的能力 解 1 以为为单位正交基底建立空间直角坐标系 1 AAACABxyzA 则 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 BA 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为 BA1DC1 10 103 2 是平面的的一个法向量 0 2 0 AC 1 ABA 设平面的法向量为 1 ADC zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 1 ACmADm 取 得 平面的法向量为 042 0 zy yx 1 z2 2 xy 1 ADC 1 2 2 m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA 得 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 43 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 如 图 四棱锥中 与都是PABCD 902 ABCBADBCADPAB PAD 等边三角形 I 证明 II 求二面角的大小 PBCD APDC 答案 44 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 如图所示 在三 棱锥中 平面 分别是 PABQ PB ABQBABPBQ D C E F 的中点 与交于点 与交于点 AQ BQ AP BP2AQBD PD EQ GPC FQ H 连接 GH 求证 求二面角的余弦值 AB GHA DGHE 答案 解 证明 因为 分别是的中点 D C E F AQ BQ AP BP 所以 所以 EFABDCABEFDC 又平面 平面 EF PCDDC PCD 所以 平面 EFPCD 又平面 平面平面 EF EFQEFQ PCDGH 所以 EFGH 又 EFAB 所以 ABGH 解法一 在 中 ABQ2AQBD ADDQ 所以 即 因为平面 所以 90ABQ ABBQ PB ABQ ABPB 又 所以平面 由 知 BPBQB AB PBQ ABGH 所以平面 又平面 所以 同理可得 GH PBQ FH PBQ GHFH GHHC 所以为二面角的平面角 设 连接 FHC DGHE 2BABQBP PC 在 中 由勾股定理得 tRFBC2FC 在 中 由勾股定理得 tRPBC5PC 又为 的重心 所以 H PBQ 15 33 HCPC 同理 5 3 FH 在 中 由余弦定理得 FHC 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC 即二面角的余弦值为 DGHE 4 5 解法二 在 中 ABQ2AQBD ADDQ 所以 又平面 所以两两垂直 90ABQ PB ABQ BA BQ BP 以为坐标原点 分别以所在直线为轴 轴 轴 建立如图所示的空 B BA BQ BP x y z 间直角坐标系 设 则 2BABQBP 1 0 1 E 0 0 1 F 0 2 0 Q 1 1 0 D 所以 0 1 0 C 0 0 2 P 1 2 1 EQ 0 2 1 FQ 1 1 2 DP 0 1 2 CP 设平面的一个法向量为 EFQ 111 mx y z 由 0m EQ 0m FQ 得 111 11 20 20 xyz yz 取 得 1 1y 0 1 2 m 设平面的一个法向量为 PDC222 nxyz 由 0n DP 0n CP 得 222 22 20 20 xyz yz 取 得 所以 2 1z 0 2 1 n 4 cos 5 m n m n m n 因为二面角为钝角 所以二面角的余弦值为 DGHE DGHE 4 5 45 2013 年高考湖南卷 理 如图 5 在直棱柱 1 111 ABCDABC DADBC 中 90 1BADACBD BC 1 3ADAA I 证明 II 求直线所成角的正弦值 1 ACB D 111 BCACD与平面 答案 解 ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 面 面且又 证毕 的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴 为轴正半轴 为点 量解题 设原点在建立直角坐标系 用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 3 0 0 3 00 0 1 则 设 3 0 3 0 3 1 30 0030 1 2 ADACyyyBDAC 的一个法向量平面则的法向量为设平面303 313 0 0 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 cos sin003 313 1 ADnADnACD 的一个法向量平面 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD 46 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 在四 棱柱中 侧棱 1111 ABCDABC D 1 AAABCD 底面 ABDC 1 1AA 3ABk 4ADk 5BCk 6DCk 0 k 1 求证 11 CDADD A 平面 2 若直线与平面所成角的正弦值为 求的值 1 AA 1 ABC 6 7 k 3 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 1111 ABCDABC D 的棱柱 规定 若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同 则视为同一种拼接方案 问 共有几种不同的方案 在这些拼接成的新四棱柱中 记其中最小的表面积为 写出 f k 的表