数学实验报告.doc

08应数1班 郑建源（081153035） 数学实验报告福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）实 验 报 告课程名称：数 学 实 验 姓 名：系：数 学 系专 业：数 学 与 应 用 数 学年 级：2008 级学 号：指导教师：职 称：副 教 授2010年12月15日实验项目列表序号实验项目名称成绩指导教师1微积分基础2怎样计算 3素数4迭代（一）方程求解5迭代（二）分形6二维三维做图78评语：目录实验一：微积分基础11、实验名称12、实验目的13、实验内容14、实验时间15、实验用时16、应用软件17、实验过程18、实验总结5实验二：怎样计算圆周率71、实验名称72、实验目的73、实验内容74、实验时间75、实验用时76、应用软件77、实验过程78、实验总结9实验三：素数101、实验名称102、实验目的103、实验内容104、实验时间105、实验用时106、应用软件107、实验过程108、实验总结12实验四：迭代（一）方程求解131、实验名称132、实验目的133、实验内容134、实验时间135、实验用时136、应用软件137、实验过程138、实验总结16实验五：迭代（二）分形171、实验名称172、实验目的173、实验内容177、实验过程178、实验总结20实验六：二维三维作图211、实验名称212、实验目的213、实验内容218、实验总结22实验一：微积分基础1、实验名称：微积分基础2、实验目的：了解Mathematica的基本操作，解决数学分析上的一些问题。 3、实验内容：(1) 函数及其图像(2) 利用Mathematica求极限，求导数、求微分、求积分(3) 正弦和余弦函数的叠加(4) 无极限的函数例(5) 计算e的近似值4、实验时间：2010年9月21日5、实验用时：2小时6、应用软件：Mathematica 4.07、实验过程：1) 函数及其图像实验题目：在同一坐标系中画出同一个区间上的函数y=sinx与y=0.5x、y=x、y=1.5x的图像。观察y=0.5x、y=x、y=1.5x中哪一条与正弦曲线y=sinx最接近。实验原理：从原点出发沿直线前进与沿正弦曲线前进的方向是一致的，在原点附近很小一段旅程（比如）中两条路线几乎看不出有差别。但再继续走下去就分道扬镳了：直线沿原来的方向继续前进，而正弦曲线开始弯曲，两条路线越离越远。实验程序：实验结果：实验分析：上图中的绿、红、蓝色直线分别代表分别代表y=0.5*x,y= x,y= 1.5*x；黑色代表y=sinx。所以由图像可知当x的绝对值足够小时，y=x与y=sinx几乎重叠在一起，而其它两条却没有。把y=sinx改为y=sin0.5x；更改程序为：其结果为：当x的绝对值足够小时，绿线（即y=0.5x）几乎与y=0.5sinx图像重叠。把y=sinx改为y=sin1.5x则可预测出当x绝对值足够小时，红线（即y=1.4x）将与y=sin1.5x重叠。更改程序如下：结果如下：结果符合预测。(2) 利用Mathematica求极限，求导数、求微分、求积分实验题目：1、 求2、 求的导数3、 求微分4、 求积分实验原理：求极限Mathematica中对应的求极限函数Limit计算函数极限的的一般格式为：Limitexpr,x-x0Limitexpr；x-x0,Direction-1 右极限Limitexpr；x-x0,Direction-1 左极限导数和求微分Df，x 计算偏导数 Df，x，n 求高阶导数Dtf 求微分Df，x1,x2,x3 计算偏导数 求定积分和不定积分Integratef,x 不定积分 Integratef,x,a,b 定积分实验程序：1、2、3、4、实验结果：1、（在（-1，1）之间振荡）2、3、4、(3) 正弦函数的叠加实验题目：在自变量区间上画函数的图像。实验程序：实验结果：分别取n=1,n=2,n=9,n=500时图像如下： (4) 无极限的函数例实验题目：在区间-1,1上作出函数的图像。观察图像当x0时的变化情况.实验原理：虽然函数在x=0处无意义，但Mathematica会自动地将无定义的点x=0去掉。于是区间可写成-1,1等，只是图像在x=0附近是黑糊糊的一片，看不清楚，但可以通过将区间改为-0.01,0.01甚至-0.001,0.001来放大图像，便于观察。实验程序：实验结果：（5）计算e的近似值实验原理：因为e的泰勒展开为：，可以通过Mathematica计算工具软件计算精确到小数点后一定的位数，这里精确到小数点后50位。实验程序：实验结果：8、实验总结：Mathematica软件是一种数学实验软件，它能够将数学问题简单化。同一种模式的题型只要按照程序原理输入解法公式就可以很快的解出来。比如很复杂的积分问题我们用手算也许要用十几分钟，但是计算机只需要几秒钟就能运算出精确的答案。在正确率上也很有保证。所以掌握一些基本的计算程序是很有必要的，作为应用数学的学生，我们需要发挥专业所长应用是关键，将理论转化为实际。经过实验一的实验，我发现了以前没有想过的另一种解决问题的方法。实验二：怎样计算圆周率1、实验名称：怎样计算2、实验目的:熟练地使用Mathematica软件，编写对应的程序计算的值。3、实验内容：(1)用数值积分法计算(2)用泰勒级数法计算(3)用蒙特卡罗法计算4、实验时间：2010年9月28日5、实验用时：1.5小时6、应用软件：Mathematica 4.07、实验过程：(1)用数值积分法计算实验原理：半径为1的圆称为单位圆，他的面积等于。只要算出了单位圆的面积就算出了。以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，有曲线及两条坐标轴围成，它的面积。算出的近似值，它的4倍就是的近似值。相应的将扇形n等分，每部分是一个曲边梯形，从而将看成一个梯形来计算它的面积：梯形的高，两条底边的长分别是和 ，于是梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。实验程序：实验结果：实验分析：s 1，s 2分别是用 梯形公式和辛普森公式计算出的 ；Print表示将方括号内的数据显示出来。(2)用泰勒级数法计算实验原理：利用反正切函数的泰勒级数取，可以计算的值。实验程序：实验结果：实验分析：实验结果发现花费的时间太长，所得结果的准确度很差，其原因是当的时候所得到的的展开式收敛的太慢。经分析当x的绝对值小于1的时候，收敛的速度就会加快随着指数的增加，x的幂快速接近于0，泰勒级数就会快速收敛，比如，取的速度就加快了。相应程序：实验结果： 实验分析：显然，当x的绝对值小于1的时候，收敛的速度加快了很多，而且精确度也有所提高。(3)用蒙特卡罗法计算实验原理：在数值积分法中，我们利用求单位圆的1/4的面积来得到/4，从而得到。单位圆的是一个扇形G，它是边长为1的正方形G1的一部分，单位正方形G1的面积S1=1。只要能够求出扇形G的面积在正方形G1的面积G1中所占的比例k=S/S1，就能立刻得到S，从而得到的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中所占的比例？一个办法是在正方形中随机的投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的几率均等，看其中有多少点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投点的总数的比m/n例可以作为k的近似值。然后可以用Mathematia语言实现随机投点。产生两个这样的随机数x,y，则以（x,y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个位置的机会是均等的。p落在扇形内的充要条件是。实验程序：实验结果：实验分析：实验发现，当n=200时的精确度很低，取更大的n，精确度会高一些。但是总的来说，蒙塔卡罗法的精确度比数值积法和泰勒级数法低。计算的值当然可以不用它，但是在一些其他的计算上，该方法却很有用，如求100个已知圆的公共部分。8、实验总结：本实验利用多种不同的方法计算圆周率 的近似值。通过对这个古老问题的进一步研究与实践，综合各种算法，发现：运用不同的方法，计算的精度可能相差甚远，在做近似计算时，收敛速度是一个重要问题，必须给予足够的重视，其中的技巧和方法，都需要在实际应用中不断积累和总结。通过本实验的学习，对今后应用数值积分法、泰勒级数法等有关知识解决实际问题有较大的帮助。实验三：素数1、实验名称：素数2、实验目的:熟练地使用Mathematica软件，编写对应的程序计算 的值。 3、实验内容：(1)用筛法求所有小于n的素数(2)用试除法求所有小于等于n的素数(3)Mersenne数素性的判别4、实验时间：2010年10月19日5、实验用时：1.5小时6、应用软件：Mathematica 4.07、实验过程：(1)用筛法求所有小于n的素数实验原理：筛选法的基本思想是：将自然数列从2开始顺序排列至某一个整数N。首先，从上述数列中划去所有2个倍数（不包括2），在剩下的数中，除2外最小的是3，接着，从数列中划掉所有3的倍数（不包括3）。然后在剩下的数中，再划去5的倍数这里取n=1000实验程序：实验结果：(2)用试除法求所有小于等于n的素数实验原理：试除法是：如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。实际上，为了提高算法的效率，我们不需要用前面的每一个素数去试除N，而只需用不超过的素数去除就可以了。这里取n=1000实验程序：实验结果：(3)Mersenne数素性的判别实验测试数据：判别数:17，315，543，703，949的素数性实验程序：实验结果：8、实验总结：这两种方法是求素数基本的方法，求素数，编制素数表不是件容易的事。首先要先熟悉这两种方法的思想，试除法求素数比Eratoshthenes筛选法更有效，效率更高。理论上来说，试除法求素数、Eratoshthenes筛选法可以求出所有的素数，但N值越大，求法显然不合实际，目前，这两种方法对于求相对数值的素数表三比较好的，简单但工作量大。实验四：迭代（一）方程求解1、实验名称：迭代（一）方程求解2、实验目的: 理解方程求根的过程和算法，学习用计算机；求根的一些科学计算方法和简单的编程技术。 3、实验内容：(1)方程的迭代求解(2)线性方程组的迭代求解4、实验时间：2010年11月2日5、实验用时：2小时6、应用软件：Mathematica 4.07、实验过程：(1)方程的迭代求解实验原理：给定迭代函数以及一个初值利用，迭代到数列，如果数列收敛于某个，则有，即是方程的解。由此启发我们用如下的方法求解方程的近似解。将方程改写为等价的方程，然后选出一个初值利用，做迭代，迭代的数列收敛的极限是方程的解。用上述的对方法方程进行求解。实验程序：实验结果：结果分析：观察结果，发现所得结果并不收敛，且迭代的素的很慢，下面需要对上述方法进行改写，希望能达到使结果收敛且是素的加快的目的。从上述实验的观察中知道，使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程的某一解的条件是迭代函数在解的附近的导数的绝对值尽量小。所以我们可以将迭代方程进行如下修改：我们需要选取使得在解的附近尽量小。为此，我们可以令，得，于是。特别的，如果取，则我们得到迭代公式改进程序：实验结果：结果分析：经过改进后的方法，使得结果收敛，且运算的速度加快，达到了其的目的。(2)线性方程组的迭代求解实验原理：给定一个n元线性方程组或写成矩阵的形式，其中是n阶方阵，及均为n维列向量。熟知，当矩阵的行列式非零时方程组有唯一解。如何有效、快速地寻求大型方程组的数值解是科学工程计算中非常重要的任务。迭代法常常是解决这些问题的有效方法之一。用迭代法求解线性方程组的思想与上面求解方程的方法是类似的，假设我们可以将方程组改写成，其中是n阶矩阵，是n维列向量。任意给定初始向量，由迭代确定序列。如果收敛到向量，则有，即是方程组的解。用上述方法对矩阵为的方程组进行求解。实验程序：实验结果：结果分析：观察结果，与方程求解一样，结果都没有收敛，且运行速度过长，所以需要对方法进行改进，是结果能够收敛且运行速度加快。下面是改进的方法：假设矩阵的对角元素，令则我们可以将上述方程组改写成或，由上式即可确定一种迭代格式。改进程序：实验结果：结果分析：通过改进，使得结果收敛，且速度加快达到目的。8、实验总结：通过本次实验，我了解了一些简单的迭代方法，有助于对方程及方程组的求解，这些方法与常规解法不同，它们都遵循的是一种极限的思想。同时，让我对迭代的Mathematica的相关语言在实践中进一步了解。但是在做实验的时候也有不足之处，首先是自己Mathematica软件的的运行还有待加强，在有些计算的时候，相关的程序还不能写出来。其次是对数学这些常用函数的相关算法还没有很好的掌握，特别是推理用的思想，使我明白不能单单记住那些公式，还要掌握其具体的演算方法，那样才能更好的将数学知识运用实际生活中去。实验五：迭代（二）分形1、实验名称：迭代（二）分形2、实验目的: 以迭代的观点介绍分形的基本特性以及分形图形的基本方法，使我们在欣赏美丽的分形图案的是同时对分形几何这门学科有一个直接的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然。 3、实验内容：(1)绘制koch雪花曲线(2)julia集以及它的局部放大(3)Mandelbrot集以及它的局部放大4、实验时间：2010年11月9日5、实验用时：3.5小时6、应用软件：Mathematica 4.07、实验过程：(1)绘制koch雪花曲线实验原理：给定一条直线段F0，将该直线三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形F1.然后再对图形F1中的每一小段都按上述方式修改，以至无穷。实验程序：实验结果：改进：令结果：(2)julia集以及它的局部放大实验原理：设定初值p,q,一个最大的迭代次数N，图形的分辨率的大小a,b和使用的颜色数K。设定一个上界值。 将矩形区域分成的网格，分别以每个网格点 作为初值利用riter做迭代。实验程序：实验结果：(3)Mandelbrot集以及它的局部放大实验原理：固定初值，对不同的参数，迭代序列有界的所有参数值构成的集合，即，称在复平面商构成的集合为Mandelbrot集。实验程序：实验结果：8、实验总结：通过本次实验，我学会了利用Mathematica软件描绘一些简单的分形图形，如绘制koch雪花曲线；julia集以及它的局部放大；Mandelbrot集以及它的局部放大。但是在绘制图形的过程中也有一些不足，对数据的掌握和尝试不够，一直无法绘出更精美的图画。实验六：二维三维作图1、实验名称：二维三维作图2、实验目的: 用Mathematica软件做二维三维图形图像 3、实验内容：(1)二维：三叶草(2)二维：作画“中华人民共和国国旗”(3)三维：马鞍面4、实验时间：2010年11月23日5、实验用时：3.5小时6、应用软件：Mathematica 7.07、实验过程：(1)二维：三叶草实验程序：实验结果：(2)二维：作画“中华人民共和国国旗”实验程序：（本实验要求Mathematica 6.0以上）guoqi:=Moduler,d,x1,x2,x3,x4,star,zhuanjiao,zhuanjiaoa_,b_,c_,d_:=AbsArcCos(c,d-a,b).1,0Sqrta2+b2*S