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第七章弹性薄板弯曲问题 要点 利用小挠度理论建立薄板弯曲问题的基本方程 边界条件及其基本解 主要内容 1 薄板的基本概念和基本假设2 小挠度弯曲问题基本方程3 薄板横截面内力4 薄板边界条件 7 1薄板基本概念和基本假设 工程构件中板的形式多样根据几何形状和变形分类板 中面为平面壳 曲面小挠度的弯曲薄板薄板 宽度与厚度比值在15以上 板壳理论 小挠度薄板几何特征载荷形式变形特点基尔霍夫假设uz 0 0 vz 0 0 w w x y 7 1基本概念 1 80 d b 0 5 垂直于薄板中面的横向载荷挠度小于厚度的五分之一 挠度函数w x y 7 1基本概念 薄板问题基本假设 1 形变分量都可以不计 由该假设可得 2 应力分量引起的形变可以不计 由此可得物理方程 3 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移 9 1 9 2 9 3 7 2薄板小挠度弯曲问题的基本方程 对方程 9 1 进行积分 并利用方程 9 3 可得 于是可以将形变分量用w表示如下 a 薄板应力 7 2基本方程 将应力分量表示成w的方程为 b 将式 a 代入 b 得应力表达式 9 4 薄板弯曲内力 广义力 广义应变 曲率扭率 7 2基本方程 薄板弯曲刚度 薄板平衡方程 7 2基本方程 该式为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程 它是薄板弯曲问题的基本微分方程 7 3薄板横截面上的内力 如右图 在该横截面的每单位宽度上 应力分量合成为弯矩 与上式类似可以得到 9 5 7 3薄板横截面上的内力 利用各应力分量与弯矩 扭矩 横向剪力和荷载之间的关系得 9 6 满足基本方程和给定的边界条件基本方程为四阶偏微分方程矩形薄板 每个边界必须给出两个边界条件 7 4薄板边界条件 1 几何边界条件在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角 固定边界 7 4边界条件 薄板弯曲问题的典型边界条件 2 混合边界条件边界同时给出广义力和广义位移简支边界 7 4边界条件 薄板弯
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