广东省东莞市松山湖莞美学校高二数学下学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

广东省东莞市松山湖莞美学 校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在曲线y=x2+x上取点p（2，6）及邻近点q（2+x，6+y），那么为 ( )ax+2b2x+（x）2cx+5d3x+（x）2考点：变化的快慢与变化率 专题：导数的概念及应用分析：转化成函数值的变化量与自变量的变化量的比值进行求解，化简变形即可求出所求，求解时需细心解答：解：y=f（2+x）f（2）=（2+x）2+（2+x）42=x2+5x，=x+5，故选：c点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可，同时考查了计算能力，属于基础题2函数y=x2cosx的导数为( )ay=2xcosxx2sinxby=2xcosx+x2sinxcy=x2cosx2xsinxdy=xcosxx2sinx考点：导数的乘法与除法法则 专题：计算题分析：利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数解答：解：y=（x2）cosx+x2（cosx）=2xcosxx2sinx故选a点评：求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则3已知曲线y=2x2上一点a（1，2），则a处的切线斜率为( )a16b8c4d2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求出函数的导数，将x换成1，即可得到所求a处的切线的斜率解答：解：y=2x2的导数为y=4x，则在a处的切线斜率为k=41=4故选：c点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，属于基础题4已知，则f（1）等于( )a0b1c2d1考点：导数的运算 专题：计算题分析：求出f（x）导函数，令导函数中的x=0得到关于f（0）的方程求出f（0），将其值代入f（x），令其中的x=1求出f（1）解答：解：f（x）=x2+3f（0）f（0）=3f（0）f（0）=0f（x）=x2f（1）=1故选d点评：求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再令导函数中的x取自变量的值即得到导函数值5函数f（x）=x3x2+1是减函数的区间为( )a（2，+）b（，2）c（，0）d（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间解答：解：f（x）=x22x=x（x2），令f（x）0，解得：0x2，故选：d点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题6设p为曲线c：y=x2+2x+3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围是，则点p横坐标的取值范围是( )ab1，0c0，1d，1考点：导数的几何意义 专题：压轴题分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线c在点p处斜率的取值范围，进而得到点p横坐标的取值范围解答：解：设点p的横坐标为x0，y=x2+2x+3，y=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tan（为点p处切线的倾斜角），又，02x0+21，故选：a点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题7若f（n）为n2+1（nn*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n），fk+1（n）=f（fk（n）kn*则f2012（8）=( )a3b5c8d11考点：函数的值 专题：计算题分析：通过计算f1（8）、f2（8）和f3（8），得到fn+2（8）=fn（8）对任意nn*成立，由此可得f2012（8）=f2（8）=5，得到本题答案解答：解：根据题意，可得82+1=64+1=65，f1（8）=6+5=11又112+1=122，f2（8）=f（f1（8）f2（8）=f（11）=1+2+2=552+1=26，f3（8）=f（f2（8）f3（8）=f（5）=2+6=8=f1（8）因此，可得fn+2（8）=fn（8）对任意nn*成立，f2012（8）=f2+10052（8）=f2（8）=5故选b点评：本题给出“f（n）为n2+1（nn*）的各位数字之和”的模型，求f2012（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题8曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是( )aee1be+e1cee12de+e12考点：定积分在求面积中的应用 分析：由题意可知曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积是exex积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可解答：解：曲线y=ex，y=ex和直线x=1围成的图形面积，就是：01（exex）dx=（ex+ex）|01=e+e12故选d点评：本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分9设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是( )abcd考点：函数的单调性与导数的关系 专题：压轴题；数形结合分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间解答：解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选c点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减10设f（x），g（x）在a，b上可导，且f（x）g（x），则当axb时有( )af（x）+g（a）g（x）+f（a）bf（x）g（x）cf（x）g（x）df（x）+g（b）g（x）+f（b）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：证明题分析：比较大小常用方法就是作差，构造函数f（x）=f（x）g（x），研究f（x）在给定的区间a，b上的单调性，f（x）在给定的区间a，b上是增函数从而f（x）f（a），整理后得到答案解答：解：设f（x）=f（x）g（x），在a，b上f（x）g（x），f（x）=f（x）g（x）0，f（x）在给定的区间a，b上是增函数当xa时，f（x）f（a），即f（x）g（x）f（a）g（a）即f（x）+g（a）g（x）+f（a）故选a点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数f（x）=f（x）g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键二填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11已知函数f（x）=x4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题解答：解：函数f（x）=x4lnx，所以函数f（x）=1，切线的斜率为：3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y4=0故答案为：3x+y4=0点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导12计算：=考点：定积分 专题：计算题分析：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y0）的面积据此可算出答案解答：解：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y0）的面积所以=故答案为点评：本题不是直接计算，而是利用该该定积分的几何意义计算是解决此问题的捷径，否则直接计算有一定的难度13一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v（t）=t2+4，（0t2）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的路程是km考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据积分的物理意义求函数的积分即可解答：解：由积分的物理意义得这辆车行驶的路程s=（t2+4）dt=（）|=，故答案为：点评：本题主要考查积分的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础14直线y=kx（ko）与曲线y=x2围成图形的面积为，则k的值为2考点：定积分在求面积中的应用；定积分 专题：计算题分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为k，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为k，积分下限为0直线y=kx与曲线y=x2所围图形的面积s=0k（kxx2）dx而0k（kxx2）dx=（）|0k=k3k3=k3=解得k=2故答案为：2点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题15将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍类比上述性质，直角三棱锥具有性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一考点：类比推理 专题：推理和证明分析：故对于“直角三棱锥”，类比直角三角形的性质，可得斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一解答：解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，故对于“直角三棱锥”，具有以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一故答案为：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一点评：本题主要考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，属于基础题三解答题：本大题共6小题，满分75分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=x3+3x29x+11（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间4，3上的最值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的极值点和端点的函数值，从而求出函数闭区间上的最值解答：解：（1）因为f（x）=x3+3x29x+11，所以f（x）=3x2+6x9，令f（x）=0得x=3和1当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下：x（，3）3（3，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大极小由上表可知，f（x）在（，3）和（1，+）上单调递增，在（3，1）上单调递减；（2）因为f（4）=31，f（3）=38，f（1）=6，f（3）=38，所以最大值为38，最小值为6点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题17已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1时取得极值，且f（1）=1（1）求函数f（x）的解析式，并判断f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点a（3，9）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆分析：（1）求出f（x）的导数，由极值的定义可得x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根运用韦达定理，可得a，b，c的关系，结合条件f（1）=1，可得方程，解方程可得a，b，c的值，进而得到函数的解析式，求出单调区间，可得极值点；（2）设出切点，求得切线的斜率和切线方程，代入点（3，9），解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx+c，x=1是函数的极值点，x=1是方程3ax2+2bx+c=0的两根由根与系数的关系知，又f（1）=1，a+b+c=1解得a=，b=0，c=即有f（x）=x3x，f（x）= x2=（x1）（x+1）当x1或x1时，f（x）0；当1x1时，f（x）0x=1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值（2）曲线方程为f（x）=x3x，点a（3，9）在曲线上设切点为（m，n），则切线的斜率为k=（m21），切线的方程为yn=（m21）（xm），代入（3，9）和n=m3m，可得9m3+m=（m21）（3m），化简可得2m39m2+27=0，解得m=3或m=，则切线方程为y9=12（x3）或y9=（x3），即为12xy27=0或15x8y+27=0点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，属于中档题和易错题18（1）设f（x）=试求f（x）dx（2）求函数y=x与y=xx2围成封闭图形的面积考点：定积分；定积分在求面积中的应用 专题：导数的概念及应用分析：（1）分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成dx=，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可（2）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出函数y=x与y=xx2围成封闭图形的面积即可求得结论解答：解：（1）f（x）dx=+=+1=（2）由x=xx2得x=0，x=，则=，故函数y=x与y=xx2围成封闭图形的面积为点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、利用定积分求封闭图形的面积是求面积的通法，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题19一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用解答：解：设船速度为x（x0）时，燃料费用为q元，则q=kx3，由6=k103可得，k=，q=，总费用y=，令y=0得x=20，当x（0，20）时，y0，此时函数单调递减，当x时，y0，此时函数单调递增，当x=20时，y取得最小值答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想20设a0，函数（i）若f（x）在区间（0，1上是增函数，求a的取值范围；（）求f（x）在区间（0，1上的最大值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题分析：（1）要使f（x）在区间（0，1上是增函数，只要上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；（2）欲求f（x）在区间（0，1上的最大值，即研究函数f（x）在区间（0，1上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值解答：解：（i）对函数要使f（x）在区间（0，1上是增函数，只要上恒成立，即上恒成立因为上单调递减，所以上的最小值是，注意到a0，所以a的取值范围是（ii）解：当时，由（i）知，f（x）在区间（0，1上是增函数，此时f（x）在区间（0，1上的最大值是当，解得因为，所以上单调递减，此时f（x）在区间（0，1上的最大值是综上，当时，f（x）在区间（0，1上的最大值是；当时，f（x）在区间（0，1上的最