机械类外文翻译【FY157】液压支架的最优化设计【中英文WORD】【中文3200字】
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南昌航空大学科技学院学士学位论文 0 中文译文 液压支架的最优化设计 摘要 ： 本文介绍了从两组不同参数的采矿工程所使用的液压支架 （如图 1） 中选优的流程。这种流程建立在一定的数学模型之上。第一步，寻找四连杆机构的最理想的结构参数以便确保支架的理想的运动轨迹有最小的横向位移。第二步，计算出四连杆有最理想的参数时的最大误差，以便得出最理想的、最满意的液压支架。 图 1 液压支架 关键词 ： 四连杆机构； 优化设计； 精确设计； 模糊设计； 误差 1.前言 ： 设计者的目的时寻找机械系统的 最优设计。导致的结果是一个系统所选择的参数是最优的。一个数 学函数伴随着一个合适的系统的数学模型的出现而出现。当然这数学函数建立在这种类型的系统上。有了这种数学函数模型，加上一台好的计算机的支持，一定能找出系统最优的参数。 Harl描述的液压支架是斯洛文尼亚的 Velenje 矿场的采煤设备的一个组成部分，它用来支护采煤工作面的巷道。它由两组四连杆机构组成，如图 2所示 .四连杆机构 AEDB 控制nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 1 绞结点 C 的运动轨迹，四连杆机构 FEDG 通过液压泵来驱动液压支架。 图 2中，支架的运动，确切的说，支架上绞结点 C 点竖向的双纽线的运动轨迹要求横向位移最小。如果不是这种情况，液压支架将不 能很好的工作，因为支架工作在运动的地层上。 实验室测试了一液压支架的原型。支架表现出大的双纽线位移，这种双纽线位移的方式回见少支架的承受能力。因此，重新设计很有必要。如果允许的话，这会减少支架的承受能力。因此，重新设计很有必要。如果允许的话，这种设计还可以在最少的成本上下文章。它能决定去怎样寻找最主要的 图 2 两四连杆机构 四连杆机构数学模型 AEDB 的最有问题的参数 421 , aaa 。否则的话这将有必要在最小的机构 AEDB 改变这种设计方案。 上面所罗列出的所有问题的 解决方案将告诉我们关于最理想的液压支架的答案。真正的答案将是不同的，因为系统有各种不同的参数的误差，那就是为什么在数学模型的帮助下，参数 421 , aaa 允许的最大的误差将被计算出来。 2.液压支架的确定性模型 首先，有必要进一步研究适当的液压支架的机械模型。它有可能建立在下面所列假设nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 2 之上： （ 1）连接体是刚性的， （ 2）单个独立的连接体的运动是相对缓慢的 . 液压支架是只有一个方向自由度的机械装置。它的运动学规律可以通过同步的两个四连杆机构 FEDG 和 AEDB 的运动来模拟。最主要的 四连杆机构对液压支架的运动规律有决定性的影响。机构 2只是被用来通过液压泵来驱动液压支架。绞结点 C 的运动轨迹 L 可以很好地来描述液压支架的运动规律。因此，设计任务就是通过使点 C 的轨迹尽可能地接近轨迹 K来找到机构 1的最理想的连接长度值。四连杆机构 1的综合可以通过 Rao 和 Dukkipati 给出运动的运动学方程式的帮助来完成。 图 3 点 C轨迹 L 图 3描述了一般的情况。 点 C 的轨迹 L 的方程式将在同一框架下被打印出来。点 C 的相对应的坐标 x和 y随着四连杆机构的独有的参数 , 21 aa 6a一起被打印出来。 点 B 和 D 的坐标分别是 xB=x -5acos (1) yB=y -5asin (2) xD=x -6acos( ) (3) yD=y -6asin( ) (4) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 3 参数 , 21 aa 6a也彼此相关 xB2 +yB2= 22a (5) (xD- 1)2+ yD2= 24a (6) 把 (1) (4)代入（ 5）（ 6）即可获得支架的最终方程式 (x-5acos )2+ (y-5a sin )2- 22a =0 (7) x- 6acos( )-1a 2+ y- 6asin( )2- 24a =0 (8) 此方程式描述了计算参数 421 , aaa 的理想值的最基本的数学模型。 2.1 数学模型 Haug和 Arora提议，系统的数学模型可以用下面形式的公式表示 min f(u,v), (9) 约束于 gi(u,v) 0, i=1,2, ,l, (10) 和响应函数 hi(u,v)=0, j=1,2, ,m. (11) 向量 u=u1,u2, ,unT 响应设计时的变量 , v=v1,v2, ,vmT是可变响应向量， (9)式中的 f是目标函数。 为了使设计的主导四连杆机构 AEDB 达到最佳，设计时的变量可被定义为 u=1a 2a 4a T, (12) 可变响应向量可被定义为 v=x yT. (13) 相应复数 3， 5， 6的尺寸是 确定的。 目标函数被定义为理想轨迹 K和实际轨迹 L之间的一些“有差异的尺寸” f(u,v) =maxg0(y)-f0(y)2, (14) 式中 x= g0(y) 是曲线 K的函数， x= f0(y)是曲线 L的函数。 我们将为系统挑选一定局限性。这种系统必须满足众所周知的最一般的情况。 02143 aaaa (15) 04132 aaaa (16) 不等式表达了四连杆机构这样的特性：复数 42,aa 只可能只振荡的。 这种情况： uuu (17) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 4 给出了设计变量的上下约束条件。 用基于梯度的最优化式方法不能直接的解决 (9) (11)的问题。 min un+1 (18) 从属于 gi(u,v) 0, i=1,2, ,l, (19) f(u,v)- un+1 0, (20) 并响应函数 hj(u,v)=0, j=1,2, ,m, (21) 式中： u=u1 un un+1T v=v1 vn vn+1T 因此，主导四 连杆机构 AEDB 的一个非线性设计问题可以被描述为： min 7, (22) 从属于约束 02143 aaaa (23) 04132 aaaa(24) 111 aaa , 222 aaa 444 aaa (25) ),(,0)()( 7200 yyayfyg (26) 并响应函数： 0)s in()c o s( 222525 aayax (27) 0)s i n ()c o s ( 2426216 aayaax (28) 有了上面的公式，使得点 C的横向位移和轨迹 K之间的有最微小的差别变得可能。结果是参数 421 , aaa 有最理想的值。 3.液压支架的随机模型 数学模型可以用来计算比如参数 421 , aaa 确保轨迹 L 和 K 之间的距离保持最小。然而端点 C的计算轨迹 L可能有些偏离，因为在运动中存在一些干扰因数。看 这些偏离到底合时与否关键在于这个偏差是否在参数 421 , aaa 容许的公差范围内。 响应函数（ 27）（ 28）允许我们考虑响应变量 v的 矢量，这个矢量依赖设计变量 vnts南昌航空大学科技学院学士学位论文 5 的 矢量。这就意味着 v h (v)，函 数 h是 数学模型（ 22）（ 28）的基础，因为它描述出了响应变量 v的矢量和设计变 量 v的 矢量以及和数学模型 中 v的 关系。同样，函数 h用 来考虑参数 421 , aaa 的误差值 421 , aaa 的最大允许值。 在随机模型中， 设计变量的矢量 u=u1, ,unT可以被看作 U=U1, ,UnT的随机矢量，也就是意味着响应变量的矢量 v=v1, ,vnT也是一个随机矢量 V=V1,V2, ,VnT v=h(u) (29) 假设设计变量 U1, ,Un 从概率论的观点以及正常的分类函数 Uk ),(kkN (k=1,2, ,n)中独立出来。主要参数k和k(k=1,2, ,n)可以与如测量这类科学概念和公差联系起来，比如k=k,kk 3。所以只要选择合适的存在概率 kkkk U ， k=1,2, ,n (30) 式（ 30）就计算出结果。 随机矢量 V 的概率分布函数被探求依赖随机矢量 U 概率分布函数及它实际不可计算性。因此，随意矢量 V 被描述借助于数学特性，而这个特性被确定是利用 Taylor的有关点 u=u1, ,unT 的函数 h逼近描述，或者借助被 Oblak和 Harl在论文提出的 Monte Carlo 的方法。 3.1 数学模型 用来计算液压支架最优化的容许误差的数学模型将会以非线性问题的独立的变量 w= 1a 2a 4a T (31) 和目标函数 421111)( aaawf (32) 的型式描述出来。 约束条件 0 EY (33) 111 aaa , 222 aaa 444 aaa (34) 在式（ 33）中， E是是坐标 C点的 x 值的最大允许偏差 Y ，其中 jAj jiY aag 2421 ),(61 A=1,2,4 (35) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 6 非线性工程问题的计算公差定义式如下： )111m in (421 aaa (36) 它服从以下条件： 0 EY (37) 111 aaa , 222 aaa (38) 444 aaa (39) 4.有数字的实列 液压支架的工作阻力为 1600kN。以及四连杆机构 AEDB及 FEDG 必须符合以下要求： 它们必须确保铰接点 C 的横向位移控制在最小的范围内， 它们必须提供充分的运动稳定性 图 2中的液压支架的有关参数列在表 1 中。 支撑四杆机构 FEDG 可以由矢 量 TT dbbbb 1 3 1 0,1 2 5 1),1 3 2 5(,4 0 0, 4321 (mm) (40) 来确定。 四连杆 AEDB 可以通过下面矢量关系来确定。 TTaaaa 1 3 1 0,382,1 3 6 0,674,4321 (mm) 在方程 (39)中，参数 d是液压支架的移动步距，为 925mm .四连杆 AEDA的杆系的有关参数列于表 2中。 表 1 液压支架的参数 表 2 四连杆 AEDA的参数 4.1四连杆 AEDA的优化 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 7 四连杆的数学模型 AEDA 的相关数据在方程 (22)-(28)中都有表述。 (图 3)铰接点 C双纽线的横向最大偏距为 65mm。那就是为什么式 (26)为 0)65( 7 ax (41) 杆 AA与杆 AE之间的角度范围在 76.8o和 94.8o之间，将数 , 21 xx 19x依次导入公式 (41)中所得结果列于表 3中。 这些点所对应的角 ,21 22 192都在角度范围 76.8o,94.8o内而且它们每个角度之差为 1o 设计变量的最小和最大范围是 Tu 0,1280,1330,640 (mm) (42) Tu 30,1 3 4 0,1 3 9 0,7 0 0 (mm) (43) 非线性设计问题以方程 (22)与 (28)的形式表述出来。这个问题通过 Kegl et al(1991)提出的基于近似值逼近的优化方法来解决。通过用直接的区分方法来计算出设计派生数据。 设计变量的初始值为 TTaaaa 30,1 3 1 0,1 3 6 0,674, 70402010 (mm) (44) 优化设计的参数经过 25次反复计算后是 表 3 绞结点 C对应的 x与 y 的值 角度)(2 o x初值(mm) y初值(mm) x终值(mm) y终值(mm) 76.8 66.78 1784.87 69.47 1787.50 77.8 65.91 1817.67 68.74 1820.40 78.8 64.95 1850.09 67.93 1852.92 79.8 63.92 1882.15 67.04 1885.07 80.8 62.84 1913.85 66.12 1916.87 81.8 61.75 1945.20 65.20 1948.32 82.8 60.67 1976.22 64.29 1979.44 83.8 59.65 2006.91 63.46 2010.43 84.8 58.72 2037.28 62.72 2040.70 85.8 57.92 2067.35 62.13 2070.87 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 8 86.8 57.30 2097.11 61.73 2100.74 87.8 56.91 2126.59 61.57 2130.32 88.8 56.81 2155.80 61.72 2159.63 89.8 57.06 2184.74 62.24 2188.67 90.8 57.73 2213.42 63.21 2217.46 91.8 58.91 2241.87 64.71 2246.01 92.8 60.71 2270.08 66.85 2274.33 93.8 63.21 2298.09 69.73 2302.44 94.8 66.56 2325.89 70.50 2330.36 Tu 65.3,88.1 3 0 9,74.1 3 6 0,42.6 7 6* (mm) (45) 在表 3中 C点 x值与 y 值分别对应开始设计变量和优化设计变量 。 图 4 用图表示了端点 C开始的双纽线轨迹 L(虚线 )和垂直的理想轨迹 K(实线 )。 图 4 绞结点 C 的 轨迹 4.2 四连杆机构 AEDA 的最优误差 在非线性问题 (36)-(38),选择的独立变量 421 , aaa 的最小值和最大值为 Tw 0 0 1.0,0 0 1.0,0 0 1.0 (mm) (46) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 9 Tw 0.3,0.3,0.3 (mm) (47) 独立变量的初始值为 Tw 1.0,1.0,1.00 (mm) (48) 轨迹偏离选择了两种情况 E=0.01和 E=0.05。在第一种情况，设计变量 421 , aaa 的理想公差经过 9次反复的计算，已初结果。第二种情况也在 7次的反复 计算 后得到了理想值。这些结果列在表 4和表 5 中。 图 5和图 6的标准偏差已经由 Monte Carlo 方法计算出来并表示在图中 (图中双点划线示 )同时比较泰勒近似法的曲线 (实线 )。 图 5 E=0.01时的标准误差 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 10 图 6 E=0.05时的标准误差 5.结论 通过选用系统的合适的数学模型以及采用数学函数，让液压支架的设计得到改良，而且产品的性能更加可靠。然而，由于理想误差的结果的出现，将有理由再考虑一个新的问题。这个问题在四连杆的问题上表现的尤为突出，因为一个公差变化稍微都能导致产品成本的升高。 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 1 Optimal design of hydraulic support m. oblak. Harl and b. butinar Abstract :This paper describes a procedure for optimal determination of two groups of parameters of a hydraulic support employed in the mining industry. The procedure is based on mathematical programming methods . In the first step, the optimal values of some parameters of the leading four-bar mechanism are found in order to ensure the desired motion of the support with minimal transversal displacements. In the second step, maximal tolerances of the optimal values of the response of hydraulic support wil be satisfying. Keywords: four-bar mechanism, optimal design, mathematical programming , approximation method, tolerance 1 Introduction The designer aims to find the best design for the mechanical system considered. Part of thie effort is the optimal choice of some selected parameters of a system. Methods of mathematical programming can be used, Of course, it depends on the type of the systemWith this foemulation, good computer support is assured to look for optimal parameters of the system. The hydraulic support (Fig.1) described by Harl (1998) is a part of the mining industry equipmenr port in the mine Velenje-Slovenia, used for protection of working environment in the gallery. It consists of four-bar mechanisms FEDG and AEDB as shown in Fig.2. The mechanism AEDB defines the path of coupler point C and the mechanism FEDG is used to drive the support by a hydraulic actuator。 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 2 Fig. 1 Hydraulic support It is required that the motion of the support,more precisely, the motion of the point C in Fig.2, is vertical with minimal transversal displacements. If this is not the case, the hydraulic support will not work properly because it is stranded on removal of the earth machine. A prototype of the hydraulic support was tested in a laboratory (Grm 1992). The support exhibited large transversal displacements, which reduce its employability. Thetefore, a redesign was necessary. The project should be improved with minimal cost if possible. It was decided to find the best values for the most problematic nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 3 Fig.2 Two four-bar mechanisms Parameters 421 , aaa of the leading four-bar me AEDB with methods of mathematical programming. Otherwise it chanisms would be necessary to change the project, at least mechanism AEDB. The solution of above problem will give us the response of hydranlic support for the ideal system. Real response will be different because of tolerances of various parmeters of the system, which is why the maximal allowed tolerances of paramentsa1,a2,a3,a4 will be calculated support. ,with help of mathematical programming. 2 The deterministic model of the hydraulic support At fist it is necessary to develop an appropriate metical model of the hydraulic support.It could be based on the following assumptions: - the links are rigid bodies, - the motion of individual is relatively slow. The hydraulic support is a mechanism with one degree of freedom. Its kinematics can be model consists of four-bar mechanisms FEDG and AEDB (Oblak et al. 1998).The leading four-bar mechanisms AEDB with methods of mathematical programming. Otherwise it would be nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 4 necessary to change the project, at least mechanism AEDB. It is required that the motion of the support,more precisely, the motion of the poit C. Therefore, the path of coupler point C is as near as possible to the desired trajectory k. The synthesis of the four-bar mechanism 1 has been performed with help of motion given by Rao Dukkipati(1989). The general situation is depicted in Fig,3. Fig.3 Trajectory L of the point C Equations of trajectory L of the point C will be written in the coordinate frame considered. Coordinates x and y of the point C will be written with the typical parameters of a four-bar mechanism a1,a2, .a6.The coordinates of points B and D are xB5acos (1) yB=5asin (2) xD=6acos( ) (3) yD=6asin( ) (4) The parameters , 21 aa 6aare related to each other by xB2+ 22a (5) 1)2+ yD2= 24a (6) By substituting (1) (4) into （ 5）（ 6） the response equations of the support are obtained as (x5acos )2+ (y-5a sin )2- 22a =0 (7) x- 6acos( )- 1a 2+ y- 6asin( )2- 24a =0 (8) This equation represents the mathematical model for calculating the optimal values of paramerters a1,a2,a4. 2.1 Mathematical model nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 5 The mathemtial model of the system will be formulated in the from proposed by Haug and Arora (1979): gi(u,v) 0, i=1,2, ,l, (10) and response equations hi(u,v)=0, j=1,2, ,m. (11) The vector u=u1,u2, ,unT is called the vector of design variables, v=v1,v2, ,vmTis the vector of response variables and f in(9)is the objective function. Tobperform the optimal design of the leading four-bar mechanism AEDB,the vector of design variables is defined as u= 1a 2a 4a T, (12) and the vector of response variables as v=xyT. (13) The dimensions 3， 5， 6 of the corresponding links are kept fixed. The f(u,v) =maxg0(y)-f0(y)2, (14) where x= g0(y) is the equation of the curve K and x= f0(y) is the equation of the curve L. Suitable limitations for our system will be chosen.The system must satisfy the well-known Grasshoff conditions 02143 aaaa (15) 04132 aaaa (16) Inequalities (15) and (16) express the property of a four-bar mechanism, where the links 42,aa may only oscillate. The condition： uuu (17) Prescribes the lower upper bounds of the design variables. The problem (9)(11)is not dirrctly solvable with the usual gradient-based optimization methods. This could be cirumvented by int express the property of the objective function be written with the typical parameters be written as minun+1 (18) sobject to gi(u,v) 0, i=1,2, ,l, (19) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 6 f(u,v)- un+1 0, (20) and response equations hj(u,v)=0, j=1,2, ,m, (21) where： u=u1 un un+1T v=v1 vn vn+1T A nonlinear programming problem of the leading four-bar mechanism AEDB can therefore be difined as mina7, (22) sobject to constraints 02143 aaaa (23) 04132 aaaa(24) 111 aaa , 222 aaa 444 aaa (25) ),(,0)()( 7200 yyayfyg (26) And respose equationt 0)s in()c o s( 222525 aayax (27) 0)s i n ()c o s ( 2426216 aayaax (28) 3.The stochastic model of the hydraulic support The mathematical model can be used to calculate the parameters of L and K to ensure that the track such as to maintain the distance between the minimum. However the endpoint C calculation L may deviate from the track, because of the movements in the presence of some interference factor. Look at these deviations from what should or not lies in the deviation is in the parametric tolerance tolerance range.Response function (27) - (28) allows us to consider the response variable V vector, the vector of dependent variable V vector design. This means that v = H ( V, H ) function is a mathematical model (22) - (28) foundation, because it describes a response variable V vector and V vector as well as design variables and the mathematical model of the relationship between v. Similarly, the function H used to consider the parameter errors in the value of the maximum permissible value.In the stochastic model, design variable vector u=u1, . , unT can be viewed in U=U1, . , UnT random vector, which means the response nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 7 variable vector v=v1, . , vnT is a random vector V=V1, V2, . , VnTV=h ( U ) (29)Suppose design variable U1, . , Un from probability theory and the classification of normal function of Uk ( k=1,2, . , n ) of independence. The main parameters and ( k=1,2, . , n ) can be associated with such as the measurement of this kind of scientific concepts and tolerance to link, such as a =,. So as long as the choice of suitable existence probability, k=1,2, . , n (30)Type (30) is calculated the results of.Random vector V probability distribution function is search for dependent random vector U probability distribution function and its actual computability. Therefore, random vector V is described by mathematical properties, and the properties were identified using Taylor on u=u1, . , unT h approximation function description, or with the aid of Oblak and Harl in the Monte Carlo method. 3.1 The mathematical model Used to calculate the allowable error of hydraulic support optimization mathematical model will be nonlinear problem of independent variable w= 1a 2a 4a T (31) and objective function 421111)( aaawf (32) With conditions 0 EY (33) 111 aaa , 222 aaa 444 aaa (34) In（ 33）， E is the maximal allowed standard deviation of coordinate x of the point C and jAj jiY aag 2421 ),(61 A=1,2,4 (35) The nonlinear programming problem for calculating the optmal tolerances could be therefore defined as ： )111m in (421 aaa (36) Subject to constraints 0 EY (37) 111 aaa , 222 aaa 444 aaa (38) nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 8 4.Numerical examply The carrying of the hydraulic support is 1600kN. Both four-bar AEDB andFEDG must fulfill the following demand： they must allow minimal transversal displacements of the point C, and， they must provide sufficient side stability. The parameters of the hydraulic support (Fig.2) are given in Table 1. The drive mechanism FEDG is specified by the vector TT dbbbb 1 3 1 0,1 2 5 1),1 3 2 5(,4 0 0, 4321 (mm) (39) And the mechanism AEDB by TTaaaa 1 3 1 0,382,1 3 6 0,674,4321 (mm) In(39),the parameter d is a walk of the support with maximal value of 925 mm. Parameters for the shaft of the mechanism AEDB are given in Table 2. 4.1Four connecting rod AEDA optimization Four link model AEDA related data in equation (22) - (28) are expressed. ( Fig 3). C lemniscate of maximum horizontal offset for65mm. That is why type (26) for the 0)65( 7 ax (41) Rod and bar between AE AA angle in the range of 76.8o and 94.8o, will be a number , 21 xx 19xsuccessively introduced formula (41) obtained results are listed in table 3. These points corresponding to the angle of ,21 22 192in the range of 76.8o,94.8o and they each angle difference of1 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 9 The design variables of the minimum and maximum range is Tu 0,1280,1330,640 (mm) (42) Tu 30,1 3 4 0,1 3 9 0,7 0 0 (mm) (43) Nonlinear design problems in equation (22) and (28) in the form of. This problem by Kegl et al (1991) based on the approximation of the optimal approximation solution. By using the direct method of distinguishing to calculate design derived data. Design variables for the initial value TTaaaa 30,1 3 1 0,1 3 6 0,674, 70402010 (mm) (44) Optimization of design parameters through calculation is repeated 25 times Table3 node C corresponding to the X and Y values 角度)(2 o x初值 (mm) y初值 (mm) x终值 (mm) y终值 (mm) 76.8 66.78 1784.87 69.47 1787.50 77.8 65.91 1817.67 68.74 1820.40 78.8 64.95 1850.09 67.93 1852.92 79.8 63.92 1882.15 67.04 1885.07 80.8 62.84 1913.85 66.12 1916.87 81.8 61.75 1945.20 65.20 1948.32 82.8 60.67 1976.22 64.29 1979.44 83.8 59.65 2006.91 63.46 2010.43 84.8 58.72 2037.28 62.72 2040.70 85.8 57.92 2067.35 62.13 2070.87 86.8 57.30 2097.11 61.73 2100.74 87.8 56.91 2126.59 61.57 2130.32 88.8 56.81 2155.80 61.72 2159.63 89.8 57.06 2184.74 62.24 2188.67 90.8 57.73 2213.42 63.21 2217.46 91.8 58.91 2241.87 64.71 2246.01 nts南昌航空大学科技学院学士学位论文 10 92.8 60.71 2270.08 66.85 2274.33 93.8 63.21 2298.09 69.73 2302.44 94.8 66.56 2325.89 70.50 2330.36 Tu 65.3,88.1 3 0 9,74.1 3 6 0,42.6 7 6* (mm) In Table 3 of C x values and Y values respectively corresponding to the design variables and the variables of optimization design line )。 Fig 4diagram represents the endpoint C started the lemniscate locus L ( dotted line) and perpendi
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