四元数与旋转.doc

Computer Graphics: 四元數與旋轉在討論四元數之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having pitched up 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.簡單的說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自主性。四元數（Quaternions）為數學家Hamilton於1843年所創造的，您可能學過的是複數，例如：a + b i 這樣的數，其中i * i = -1，Hamilton創造了三維的複數，其形式為 w + x i + y j + z k，其中i、j、k的關係如下：i2 = j2 = k2 = -1i * j = k = -j * ij * k = i = -k * jk * i = j = -i * k假設有兩個四元數：q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 kq2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k四元數的加法定義如下：q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：q1 * q2 =(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1其中V1.V2表示向量內積，V1XV2表示向量外積。定義四元數q = w + x i + y j + k 的norm為：N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2滿足N(q) = 1的四元數集合，稱之為單位四元數（Unit quaternions）。定義四元數定義四元數q = w + x i + y j +k的共軛（Conjugate）為：q* = 定義四元數q = w - x i - y j - k = S - V定義四元數的倒數為：1/ q = q* / N(q)說明了一些數學，您所關心的或許是，四元數與旋轉究竟有何關係，假設有一任意旋轉軸的向量A(Xa, Ya, Za)與一旋轉角度，如下圖所示：可以將之轉換為四元數：x = s * Xay = s * Xbz = s * Xcw = cos(/2)s = sin(/2)所以使用四元數來表示的好處是：我們可以簡單的取出旋轉軸與旋轉角度。在这里，我将自己加一个上面公式的反推导，我们将根据四元数求我们用于旋转它的向量A(Xa, Ya, Za)。公式如下： =acos(w)*2s=sin(/2)Xa=x/sXb=y/sXc=c/s这个公式在编程当中也很有用，至于有什么用，偶现在还不清楚。那麼四元數如何表示三維空間的任意軸旋轉？假設有一向量P(X, Y, Z)對著一單位四元數q作旋轉，則將P視為無純量的四元數X i + Y j + Z k，則向量的旋轉經導證如下：Rot(P) = q p q*四元數具有純量與向量，為了計算方便，將之以矩陣的方式來表現四元數的乘法，假設將四元數表示如下：q = w, x, y, z = S, V兩個四元數相乘q = q * q的矩陣表示法如下所示：若令q = S, V = cos, u*sin，其中u為單位向量，而令q= S, V為一四元數，則經過導證，可以得出q * q * q(-1)會使得q繞著u軸旋轉2。由四元數的矩陣乘法與四元數的旋轉，可以導證出上面的旋轉公式可以使用以下的矩陣乘法來達成：講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x, y, z)（w為0）對某個單位向量軸u(x, y, z)旋轉角度2，則w = cos，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉後的(x, y