高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《正弦定理和余弦定理》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津t6，北京t11等2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏t15等.归纳知识整合1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2ra2b2c22bccos a b2a2c22accos_b c2a2b22abcos_c变形形式a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_csin a，sin b，sin c(其中r是abc外接圆半径) abcsin_asin_bsin_casin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin acos a cos b cos c解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角探究1.在三角形abc中，“ab”是“sin asin b”的什么条件？“ab”是“cos acos b”的什么条件？提示：“ab”是“sin asin b”的充要条件，“ab”是“cos acos b”的充要条件2在abc中，已知a、b和a时，解的情况a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin absin aabababab解的个数一解两解一解一解无解探究2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角a为例)提示：cos a与b2c2a2同号，当b2c2a20时，角a为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2c2a20时，角a为直角，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，角a为钝角，三角形为钝角三角形自测牛刀小试1(教材习题改编)在abc中，若a2，c4，b60，则b等于()a2b12c2d28解析：选a由余弦定理得b2a2c22accos b，即b2416812，所以b2.2(教材习题改编)在abc中，a15，b10，a60，则cos b等于()a b. c d.解析：选d，sin b.又ab，a60，b60，cos b.3abc中，a，b，sin b，则符合条件的三角形有()a1个 b2个 c3个 d0个解析：选basin b，asin bba，符合条件的三角形有2个4在abc中，a3，b2，cos c，则abc的面积为_解析：cos c，sin c，sabcabsin c324.答案：45在abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c.若b2asin b，则角a的大小为_解析：由正弦定理得sin b2sin asin b，sin b0，sin a，a30或a150.答案：30或150利用正、余弦定理解三角形例1(2012浙江高考)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b的大小；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值自主解答(1)由bsin aacos b及正弦定理，得sin bcos b，所以tan b，所以b.(2)由sin c2sin a及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos b，得9a2c2ac.所以a，c2.正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化1在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos b，abc的周长为5，求b的长解：(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos a2cos c)sin b(2sin csin a)cos b，化简可得sin(ab)2sin(bc)又因为abc，所以sin c2sin a.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理及cos b得b2a2c22accos ba24a24a24a2.所以b2a.又abc5，从而a1.因此b2.利用正、余弦定理判断三角形的形状例2在abc中，若(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，试判断abc的形状自主解答(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，2sin acos bb22cos asin ba2，即a2cos asin bb2sin acos b.法一：由正弦定理知a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin asin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，02a2，02b2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc为等腰或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.abc为等腰或直角三角形若将条件改为“sin bcos asin c”，试判断abc的形状解：sin bcos asin c，bc，即b2a2c2，abc为直角三角形 1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求角a的大小；(2)若sin bsin c，试判断abc的形状解：2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos a，a60.(2)abc180，bc18060120.由sin bsin c，得sin bsin(120b)，sin bsin 120cos bcos 120sin b.sin bcos b，即sin(b30)1.又0b120，30b30150，b3090，即b60.abc60，abc为正三角形与三角形面积有关的问题例3(2012山东高考)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sin b(tan atan c)tan atan c.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求abc的面积s.自主解答(1)证明：在abc中，由于sin b(tan atan c)tan atan c，所以sin b，因此sin b(sin acos ccos asin c)sin asin c，所以sin bsin(ac)sin asin c.又abc，所以sin(ac)sin b，因此sin2bsin asin c.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos b，因为0b，所以sin b，故abc的面积sacsin b12.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化3(2012新课标全国卷)已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，acos casin cbc0.(1)求a；(2)若a2，abc的面积为，求b，c.解：(1)由acos casin cbc0及正弦定理得sin acos csin asin csin bsin c0.因为bac，所以sin asin ccos asin csin c0.由于sin c0，所以sin.又0a，故a.(2)abc的面积sbcsin a，故bc4.而a2b2c22bccos a，故b2c28.解得bc2.1条规律三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在abc中，ababsin asin b.2个原则选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2种途径判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换2个防范解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 答题模板利用正、余弦定理解三角形典例(2012江西高考)(本小题满分12分)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知a，bsincsina.(1)求证：bc；(2)若a，求abc的面积快速规范审题第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件：a，bsincsinasin bsinsin csinsin a.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求证：bcsin(bc)1或cos(bc)0.3建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有b，c，因此应消掉sin bsinsin csinsin a中的角asin bsinsin csinsin(bc)1由0b，c，解得bc.第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件：a，a，bcb，c.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求abc的面积由，得b2sin，c2sin.3建联系，找解题突破口abc的边角都具备sbcsin a sinsincossin.准确规范答题(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin bsinsin csinsin a，sin bsin csin bcos b，(3分)易忽视角bc的范围，直接由sin(bc)1，求得结论.整理得sin bcos ccos bsin c1，即sin(bc)1，(5分)由于0b，c，从而bc.(6分)(2)bca，因此b，c.(8分)由a，a，得b2sin ，c2sin ，(10分)所以abc的面积sbcsin asinsincossin.(12分)答题模板速成解决解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步边角互化利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步三角变换三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化第三步由值求角代入求值第四步反思回顾查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012上海高考)在abc中，若sin2asin2bsin2c，则abc的形状是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形 d不能确定解析：选a由正弦定理得a2b2c2，故cos c0，所以c为钝角2(2012广东高考)在abc中，若a60，b45，bc3，则ac()a4 b2c. d.解析：选b由正弦定理得：，即，所以ac2.3在abc中，ac，bc2，b60，则bc边上的高等于()a. b.c. d.解析：选b由余弦定理得：()222ab222abcos 60，即ab22ab30，得ab3，故bc边上的高是absin 60.4在abc中 ，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos c的最小值为()a. b.c. d解析：选c由余弦定理得a2b2c22abcos c，又c2(a2b2)，得2abcos c(a2b2)，即cos c.5在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知8b5c，c2b，则cos c()a. bc d.解析：选a由c2b得sin csin 2b2sin bcos b，由正弦定理及8b5c得cos b，所以cos ccos 2b2cos2 b1221.6在abc中，ab，ac1，b30，则abc的面积等于()a. b.c.或 d.或解析：选d依题意与正弦定理得，sin c，c60或c120.当c60时，a90，abc的面积等于abac；当c120时，a30，abc的面积等于abacsin a.因此，abc的面积等于或.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012福建高考)已知abc的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_解析：依题意得，abc的三边长分别为a，a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为.答案：8(2013佛山模拟)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos a，cos b，b3，则c_.解析：由题意知sin a，sin b，则sin csin(ab)sin acos bcos asinb，所以c.答案：9在abc中，d为边bc的中点，ab2，ac1，bad30，则ad的长度为_解析：延长ad到m，使得dmad，连接bm、mc，则四边形abmc是平行四边形在abm中，由余弦定理得bm2ab2am22abamcosbam，即1222am222amcos 30，解得am，所以ad.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知cos(ac)cos b1，a2c，求c.解：由b(ac)，得cos bcos(ac)于是cos(ac)cos bcos(ac)cos(ac)2sin asin c，由已知得sin asinc.由a2c及正弦定理得sin a2sin c由得sin2c，于是sin c(舍去)，或sin c.又a2c，所以c.11(2012江苏高考)在abc中，已知3.(1)求证：tan b3tan a；(2)若cos c，求a的值解：(1)因为3，所以abaccos a3babccos b，即accos a3bccos b，由正弦定理知，从而sin bcos a3sin acos b，又因为0ab，所以cos a0，cos b0，所以tan b3tan a.(2)因为cos c，0c，所以sin c，从而tan c2，于是tan(ab)2，即tan(ab)2，亦即2.由(1)得2，解得tan a1或，因为cos a0，故tan a1，所以a.12(2012浙江高考)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知cos a，sin bcos c.(1)求tan c的值；(2)若a，求abc的面积解：(1)因为0a，cos a，得sin a.又cos csin bsi