高考数学一轮复习 11.8 二项分布与正态分布考点及自测 理 新人教A版.doc

第8讲二项分布与正态分布【2014年高考会这样考】1考查相互独立事件的概率2考查n次独立重复试验的模型及二项分布3利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 考点梳理1相互独立事件(1)对于事件a、b，若a的发生与b的发生互不影响，则称a、b是相互独立事件(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(b|a)p(a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与 也都相互独立(4)若p(ab)p(a)p(b)，则a与b相互独立2独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件a发生的次数为k，在每次试验中事件a发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量x服从二项分布，记作xb(n，p)，并称p为成功概率3正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量x满足p(axb)，(x)dx，则称x的分布为正态分布，记作n(，2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值p(x)0.682 6；p(2x2)0.954 4；p(3x3)0.997 4.(3)正态曲线，(x)e，xr有以下性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴围成的图形的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散【助学微博】一个原则3原则(1)服从正态分布n(，2)的随机变量x只取(3，3)之间的值，简称为3原则(2)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 四个条件二项分布事件发生满足的四个条件(1)每次试验中，事件发生的概率都相同；(2)各次试验中的事件相互独立；(3)每次试验结果只有发生、不发生两种情形；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数考点自测1甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()a0.12 b0.42 c0.46 d0.88解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(10.6)(10.7)0.12.至少有一人被录取的概率为10.120.88.答案d2小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()a. b. c. d.解析所求概率pc131.答案a3(2013深圳调研)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()a. b. c. d.解析记两个零件中恰好有一个一等品的事件为a，则p(a)p(a1)p(a2).答案b4(2013白山联考)设随机变量xn(1,52)，且p(x0)p(xa2)，则实数a的值为()a4 b6 c8 d10解析由题意可知随机变量x的正态曲线关于x1对称，则p(x0)p(x2)，所以a22，a4.答案a5(2012新课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布n(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解析设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为a，b，c，显然p(a)p(b)p(c)，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(abab)c，该部件的使用寿命超过1 000小时的概率p.答案 考向一独立事件的概率【例1】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率审题视点 (1)利用列方程求p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分类讨论甲、乙各命中的次数解(1)方法一设“甲投一次球命中”为事件a，“乙投一次球命中”为事件b.由题意得(1p(b)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为.方法二设“甲投一次球命中”为事件a，“乙投一次球命中”为事件b.由题意得：p()p()，于是p()或p()(舍去)故p1p().所以乙投球的命中率为.(2)方法一由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为1p().方法二由题设知，p(a)，p().故甲投球2次，至少命中1次的概率为cp(a)p()p(a)p(a).(3)由题设和(1)知，p(a)，p()，p(b)，p().甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分别为cp(a)p()cp(b)p()，p(a)p(a)p()p()，p()p()p(b)p(b).所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为. (1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单【训练1】 (2012全国)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望解记ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i0,1,2；a表示事件：第3次发球，甲得1分；b表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)ba0aa1，p(a)0.4，p(a0)0.420.16，p(a1)20.60.40.48，p(b)p(a0aa1)p(a0a)p(a1)p(a0)p(a)p(a1)p()0.160.40.48(10.4)0.352.(2)p(a2)0.620.36.的可能取值为0,1,2,3.p(0)p(a2a)p(a2)p(a)0.360.40.144，p(2)p(b)0.352，p(3)p(a0)p(a0)p()0.160.60.096，p(1)1p(0)p(2)p(3)10.1440.3520.0960.408.所以的分布列为：0123p0.1440.4080.3520.096e()0p(0)1p(1)2p(2)3p(3)0.40820.35230.0961.400. 考向二独立重复试验与二项分布【例2】张先生家住h小区，他工作在c科技园区，从家开车到公司上班路上有l1，l2两条路线，如图所示，l1路线上有a1，a2，a3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；l2路线上有b1，b2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走l1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走l2路线，求遇到红灯次数x的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由审题视点 (1)可看作三次独立重复试验恰好发生零次和一次的概率之和；(2)计算出x的各取值对应的概率，由分布列计算其数学期望，(3)由两条路线遇到的红灯次数的数学期望大小判断最好路线解(1)设走l1路线最多遇到1次红灯为a事件，则p(a)c3c2.所以走l1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，知x的可能取值为0,1,2.p(x0)，p(x1)，p(x2).随机变量x的分布列如下表所示：x012pe(x)012.(3)设选择l1路线遇到红灯次数为y，随机变量y服从二项分布，yb，所以e(y)3.因为e(x)e(y)，所以选择l2路线上班最好 二项分布模型也称为n次独立重复试验模型，这个概率模型在本质上是某个随机事件在n次重复发生的过程中，每次发生的概率都相同，其发生的次数就服从二项分布，在n次试验中，事件a恰好发生k(0kn)次的概率为pn(k)cpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n的二项展开式中的第k1项若xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)【训练2】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设x为这名学生在途中遇到红灯的次数，求x的分布列；(2)设y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故xb.所以x的分布列为p(xk)ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算p(yk)k(k0,1,2,3,4,5)，而y6表示一路没有遇上红灯故其概率为p(y6)6，因此y的分布列为：y0123456p(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为x1x1或x2或或x6，所以其概率为p(x1)(xk)1p(x0)16. 考向三正态分布【例3】设xn(，2)，且总体密度曲线对应的函数表达式为f(x)e，xr.(1)求，的值；(2)求p(|x1|)及p(1x12)的值审题视点 由已知函数对照正态曲线的结构特征求出和的值，然后利用、求出相应的概率解(1)由于f(x)ee，根据一般正态分布的函数表达形式，可知1，.(2)由(1)可知，1，故xn(1,2)，所以p(|x1|)p(1x1)0.682 6，所以p(x1)(10.682 6)0.158 7.又因为p(12x12)0.954 4，所以p(x12)11p(12x12)1(10.954 4)0.977 2，所以p(1x12)p(x12)p(x1)0.977 20.158 70.818 5. 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上要熟记正态变量的取值位于区间(，)、(2，2)、(3，3)上的概率的值【训练3】 随机变量服从正态分布n(1，2)，已知p(0)0.3，则p(2)_.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以p(2)p(0)0.3，p(2)10.30.7.答案0.7 方法优化19利用正态曲线的性质求概率 【命题研究】 对正态分布的考查已在近几年的新课程高考中出现，主要考查利用正态曲线的对称性求概率题型为选择题或填空题，难度不大，属容易题【真题探究】 (2011湖北)已知随机变量服从正态分布n(2，2)，且p(4)0.8，则p(02)()a0.6 b0.4 c0.3 d0.2教你审题 由服从正态分布n(2，2)可得出正态曲线关于直线x2对称，于是得到p(0)与p(4)的关系，进而求出解一般解法 p(4)0.2，因为随机变量服从正态分布n(2，2)所以正态曲线关于直线x2对称，p(4)0.2，p(04)1p(4)0.6，p(02)p(04)0.3.答案c优美解法画出正态曲线如图，结合图象知：p(4)1p(4)10.80.2，p(02)p(04)1p(4)(10.20.2)0.3.备考 解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用【试一试】 (2013厦门质检)已知随机变量服从正态分布n(0，2)，若p(2)0.023，则p(22)()a0.477 b0.954 c0.628 d0.977解析画出正态曲线如图所示，结合图象知：p(22)1p(2)p(c1)p(xc1)，则c等于()a1 b2 c3 d4解析2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x2对称，于是2，c2.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013台州二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_解析由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为a，则p(a)0.8，pp(1p(a) p(a) p(a)0.128.答案0.1286设随机变量x服从正态分布n(0,1)，如果p(x1)0.8413，则p(1x1)1p(x1)10.841 30.158 7.xn(0,1)，0.p(x1)0.158 7，p(1x1)1p(x1)0.682 6.p(1x0)p(1x1)0.341 3.答案0.341 3三、解答题(共25分)7(12分)设在一次数学考试中，某班学生的分数xn(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数解由题意得110，20，p(x90)p(x11020)p(x)，p(x)2p(x)0.682 61，p(x)0.158 7，p(x90)1p(x)0.682 62p(x)1，p(x)0.158 7.540.158 79(人)，即130分以上的人数约为9人8(13分)(2012重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望解设ak，bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则p(ak)，p(bk)(k1,2,3)(1)记“甲获胜”为事件c，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知p(c)p(a1)p(a2)p(a3)p(a1)p()p()p(a2)p()p()p()p()p(a3)22.(2)的所有可能值为1,2,3由独立性，知p(1)p(a1)p( b1)，p(2)p(a2)p(b2)22，p(3)p22.综上知，的分布列为123p从而e()123(次)b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013金华模拟)已知三个正态分布密度函数i(x)e(xr，i1,2,3)的图象如图所示，则()a123，123b123，123c123，123d123，123解析正态分布密度函数2(x)和3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故23，又2(x)的对称轴的横坐标值比1(x)的对称轴的横坐标值大，故有123.又越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数1(x)和2(x)的图象一样“瘦高”，3(x)明显“矮胖”，从而可知123.答案d2位于坐标原点的一个质点p按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点p移动五次后位于点(2,3)的概率是()a.5 bc5cc3 dcc5解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点p必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为c32c5c5，故选b.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013湘潭二模)如果xb(20，p)，当p且p(xk)取得最大值时，k_.解析当p时，p(xk)ck20kc20，显然当k10时，p(xk)取得最大值答案104(2013九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小1球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入a袋或b袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入a袋中的概率为_解析记“小球落入a袋中”为事件a，“小球落入b袋中”为事件b，则事件a的对立事件为b，若小球落入b袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故p(b)33，从而p(a)1p(b)1.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2012湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 %.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样