中考数学二轮精品复习 数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数型结合思想）.doc

数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数形结合思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。例4 （2013温州）如图，ab为o的直径，点c在o上，延长bc至点d，使dc=cb，延长da与o的另一个交点为e，连接ac，ce（1）求证：b=d；（2）若ab=4，bc-ac=2，求ce的长思路分析：（1）由ab为o的直径，易证得acbd，又由dc=cb，根据线段垂直平分线的性质，可证得ad=ab，即可得：b=d；（2）首先设bc=x，则ac=x-2，由在rtabc中，ac2+bc2=ab2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得cb的长，继而求得ce的长解答：（1）证明：ab为o的直径，acb=90，acbc，dc=cb，ad=ab，b=d；（2）解：设bc=x，则ac=x-2，在rtabc中，ac2+bc2=ab2，（x-2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1-（舍去），b=e，b=d，d=e，cd=ce，cd=cb，ce=cb=1+点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用对应训练4（2013娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面a、b两个探测点探测到c处有生命迹象已知a、b两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点c的深度（精确到0.1米，参考数据：1.41， 1.73）4解：如图，过点c作cdab于点d，设cd=x，在rtacd中，cad=30，则ad=cd=x，在rtbcd中，cbd=45，则bd=cd=x，由题意得，x-x=4，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在点c的深度为5.5米考点五：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。例5 （2013凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数思路分析：（1）根据每天运量天数=总运量即可列出函数关系式；（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可解：（1）每天运量天数=总运量nt=4000n=；（2）设原计划x天完成，根据题意得： (1-20%)=。解得：x=4经检验：x=4是原方程的根，答：原计划4天完成点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系对应训练5（2013济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？2解：（1）由题意得，y=，把y=120代入y=，得x=3，把y=180代入y=，得x=2，自变量的取值范围为：2x3，y=（2x3）；（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，根据题意得：-=24解得：x=2.5或x=-3经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去，答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 例6 （2013玉林）如图，在直角坐标系中，o是原点，已知a（4，3），p是坐标轴上的一点，若以o，a，p三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点p共有 6个，写出其中一个点p的坐标是 （5，0）思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点p的坐标即可解：如图所示，满足条件的点p有6个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便对应训练6（2013南充）如图，函数y1=与y2=k2x的图象相交于点a（1，2）和点b，当y1y2时，自变量x的取值范围是（）ax1b-1x0c-1x0或x1dx-1或0x16c四、中考真题训练一、选择题1（2013六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（）abcd1d2（2013南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）a4b3c2d12c3（2013娄底）一次函数y=kx+b（k0）的图象如图所示，当y0时，x的取值范围是（）ax0bx0cx2dx24c5（2013常州）已知o的半径是6，点o到直线l的距离为5，则直线l与o的位置关系是（）a相离b相切c相交d无法判断5c6（2013鞍山）已知：如图，oa，ob是o的两条半径，且oaob，点c在o上，则acb的度数为（）a45b35c25d206a7（2013黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）aa0，b0，c0，b2-4ac0 ba0，b0，c0，b2-4ac0ca0，b0，c0，b2-4ac0 da0，b0，c0，b2-4ac07d8（2013衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度她站在b处仰望树顶，测得仰角为30，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60，已知小敏同学身高（ab）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m， 1.73）a3.5mb3.6mc4.3md5.1m8d9（2013娄底）如图，o1，o2、相交于a、b两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线o1o2的长为10cm，则弦ab的长为（）a4.8cmb9.6cmc5.6cmd9.4cm9b10（2013曲靖）某地资源总量q一定，该地人均资源享有量与人口数n的函数关系图象是（）abcd10b11（2013凉山州）如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点e（-1，2），若y1y20，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）a bc d11a12（2013遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若m=a+b-c，n=4a-2b+c，p=2a-b则m，n，p中，值小于0的数有（）a3个b2个c1个d0个12a13（2013杭州）在abcd中，下列结论一定正确的是（）aacbdba+b=180cab=addac13b14（2013乌鲁木齐）如图，半圆o与等腰直角三角形两腰ca、cb分别切于d、e两点，直径fg在ab上，若bg=-1，则abc的周长为（）a4+2b6c2+2d414a15（2013德阳）如图，在abcd中，ab=6，ad=9，bad的平分线交bc于点e，交dc的延长线于点f，bgae，垂足为g，若bg=4，则cef的面积是（）a2bc3d415a16（2013绍兴）小敏在作o的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：（1）作o的两条互相垂直的直径，再作oa的垂直平分线交oa于点m，如图1；（2）以m为圆心，bm长为半径作圆弧，交ca于点d，连结bd，如图2若o的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长bd的等式是（）abd2= odbbd2=odcbd2=oddbd2=od16c17（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=，如果aa2，那么0a1；如果a2a，那么a1；如果a2a，那么-1a0；如果a2a时，那么a-1则（）a正确的命题是 b错误的命题是c正确的命题是 d错误的命题只有17a二、填空题18（2013岳阳）如图，点p（-3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为 （2，2）18（2，2）19（2013平凉）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点o）20米的a处，则小明的影子am长为 5米19520（2013安顺）如图，在平面直角坐标系中，将线段ab绕点a按逆时针方向旋转90后，得到线段ab，则点b的坐标为 （4，2）20（4，2）21（2013昆明）在平面直角坐标系xoy中，已知点a（2，3），在坐标轴上找一点p，使得aop是等腰三角形，则这样的点p共有 8个21822（2013杭州）四边形abcd是直角梯形，abcd，abbc，且bc=cd=2，ab=3，把梯形abcd分别绕直线ab，cd旋转一周，所得几何体的表面积分别为s1，s2，则|s1-s2|= 4（平方单位）22423（2013自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，o的圆心在格点上，则aed的余弦值是 2324（2013广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 3cm24325（2013江西）如图，矩形abcd中，点e、f分别是ab、cd的中点，连接de和bf，分别取de、bf的中点m、n，连接am，cn，mn，若ab=2，bc=2，则图中阴影部分的面积为 2627（2013包头）如图，在三角形纸片abc中，c=90，ac=6，折叠该纸片，使点c落在ab边上的d点处，折痕be与ac交于点e，若ad=bd，则折痕be的长为 4274三、解答题28（2013齐齐哈尔）如图所示，在oab中，点b的坐标是（0，4），点a的坐标是（3，1）（1）画出oab向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的o1a1b1（2）画出oab绕点o逆时针旋转90后的oa2b2，并求出点a旋转到a2所经过的路径长（结果保留）28解：（1）如图所示：o1a1b1，即为所求；（2）如图所示：oa2b2，即为所求，ao=，点a旋转到a2所经过的路径长为：29（2013齐齐哈尔）甲乙两车分别从a、b两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离s（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中d点表示甲车到达b地，停止行驶（1）a、b两地的距离 560千米；乙车速度是 100km/h；a表示 （2）乙出发多长时间后两车相距330千米？29解：（1）t=0时，s=560，所以，a、b两地的距离为560千米；甲车的速度为：（560-440）1=120km/h，设乙车的速度为xkm/h，则（120+x）（3-1）=440，解得x=100；相遇后甲车到达b地的时间为：（3-1）100120=小时，所以，a=（120+100）=千米；（2）设直线bc的解析式为s=k1t+b1（k10），将b（1，440），c（3，0）代入得，解得，所以，s=-220t+660，当-220t+660=330时，解得t=1.5，所以，t-1=1.5-1=0.5；直线cd的解析式为s=k2t+b2（k20），点d的横坐标为+3=，将c（3，0），d（，）代入得，解得，所以，s=220t-660，当220t-660=330时，解得t=4.5，所以，t-1=4.5-1=3.5，答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米30（2013南宁）在一条笔直的公路上有a、b两地，甲骑自行车从a地到b地；乙骑自行车从b地到a地，到达a地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离b地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出a、b两地直接的距离；（2）求出点m的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围30解：（1）x=0时，甲距离b地30千米，所以，a、b两地的距离为30千米；（2）由图可知，甲的速度：302=15千米/时，乙的速度：301=30千米/时，30（15+30）=，30=20千米，所以，点m的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离b地20千米；（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，若是相遇前，则15x+30x=30-3，解得x=，若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=，若是到达b地前，则15x-30（x-1）=3，解得x=，所以，当x或x2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系31（2013天门）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于a，b两点，点a的坐标为（-3，2），bcy轴于点c，且oc=6bc（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式kx+b的解集31解：（1）点a（-3，2）在双曲线y=上，2=，即m=-6，双曲线的解析式为y=-，点b在双曲线y=-上，且oc=6bc，设点b的坐标为（a，-6a），-6a=-，解得：a=1（负值舍去），点b的坐标为（1，-6），直线y=kx+b过点a，b，解得：直线的解析式为y=-2x-4；32（2013衢州）如图，函数y1=-x+4的图象与函数y2=（x0）的图象交于a（a，1）、b（1，b）两点（1）求函数y2的表达式；（2）观察图象，比较当x0时，y1与y2的大小32解：（1）把点a坐标代入y1=-x+4，得-a+4=1，解得：a=3，（1分）a（3，1），把点a坐标代入y2=，k2=3，函数y2的表达式为：y2=；（2）由图象可知，当0x1或x3时，y1y2， 当x=1或x=3时，y1=y2， 当1x3时，y1y2（2）根据图象得：不等式kx+b的解集为-3x0或x133 （2013鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选a、b两点，测量数据如图，其中矩形cdef表示楼体，ab=150米，cd=10米，a=30，b=45，（a、c、d、b四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由（参考数据：1.73， 1.41， 2.24）33解：（1）设楼高为x米，则cf=de=x米，a=30，b=45，acf=bde=90，ac=x米，bd=x米，x+x=150-10，解得x=70（-1）（米），楼高70（-1）米（2）x=70（-1）70（1.73-1）=700.73=51.1米320米，我支持小华的观点，这楼不到20层34（2013十堰）某商场计划购进a，b两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）a型3045b型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定b型台灯的进货数量不超过a型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？34解：（1）设商场应购进a型台灯x盏，则b型台灯为（100-x）盏，根据题意得，30x+50（100-x）=3500，解得x=75，所以，100-75=25，答：应购进a型台灯75盏，b型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45-30）x+（70-50）（100-x），=15x+2000-20x，=-5x+2000，b型台灯的进货数量不超过a型台灯数量的3倍，100-x3x，x25，k=-50，x=25时，y取得最大值，为-525+2000=1875（元）答：商场购进a型台灯25盏，b型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元35（2013衢州）“五一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人已知检票的前a分钟只开放了两个检票口某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示（1）求a的值（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？35解：（1）由图象知，640+16a-214a=520，a=10；（2）设当10x30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，y=-26x+780，当x=2时，y=260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人（3）设需同时开放n个检票口，则由题意知14n15640+1615解得：n4，n为整数，n=5答：至少需要同时开放5个检票口36（2013南充）如图，在平行四边形abcd中，对角线ac，bd交于点o，经过点o的直线交ab于e，交cd于f求证：oe=of36证明：四边形abcd是平行四边形，oa=oc，abcd，oae=ocf，在oae和ocf中，oaeocf（asa），oe=of37（2013营口）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，