必修4-3.1.1两角和与差的余弦-(学案).doc

第三章 三角恒等变换-3.1两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦 一中学习目标:1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.学习重点:余弦的差角公式的推导.学习难点:余弦的差角公式的推导.自主学习：1.已知,则(1)利用可得到什么?(2)利用可得到什么?思考由(1)(2)得到的式子有何关系?2.能否用的三角函数与的三角函数来表示?如何表示? 在直角坐标系中,以轴为始边分别作角,其终边分别与单位圆交于,则 , 设向量 ; , 则= ; = .学习探究：1.两角差的余弦公式 思考在直角坐标系中,单位圆与轴交于,以为始边分别作出角,其终边分别和单位圆交于,由,你能否导出两角差的余弦公式?2.两角和的余弦公式 思考”用代替”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义?你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?说明:(1)两角和(差)的余弦公式体现的是角与角之间的关系; (2)公式中的角具有任意性;1.利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:(1) (2) 课堂练习：1.利用两角和(差)的余弦公式,求.2.已知,求的值.自主练习 1. 已知 2. 3. 自我总结：3.1.2两角和与差的正弦(一)学习目标:1.能用余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式,并从推导的过程中体会到化归思想的作用; 2.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的求值.学习过程:自主学习1.两角和(差)的余弦公式2.(1)化简:= ; (2)化简:= ; (3)求值:= ; (4)求值:= .3.对于上题(4)中的求值,能否不将其转化成两角和的余弦公式来计算?有没有两角和(差)的正弦公式?4.两角和正弦公式的推导: 学习探究：1.已知,求的值.2.已知均为锐角,求的值.3.求函数的最大值.练习:1.函数的最小值为 ;此时的集合为 ;2.函数的周期为 ;最大值为 ;单调减区间为 ;3.函数的最大值为 ;最小值 ;4.函数(均为正数)的最小值为 .5.化简 选作.已知 ，求 的值自我总结3.1.2两角和与差的正弦(二)学习目标:1.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求值,及恒等式证明; 2.进一步体会转化与变换的数学思想.学习过程:自主学习：1.两角和(差)的余弦公式2.两角和(差)的正弦公式学习探究1.求证: 2.求值:3.已知求的值4.已知都为锐角,求和的值5.已知,求的值两角和与差的正切（1）学习目标：会由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用。 能用正切的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。学习过程：自主学习：回顾课本95页例2中求tan15o的过程，我们先分别求出sin15o和cos15o，再由同角三角函数的关系求出tan15o。问：能否由tan45o和tan30o直接求出tan15o？1 回答上述问题2 利用S(+)和C(+)，推导两角和与差的正切公式tan(+)和tan(-)。tan(+)= ，（T(+)）； tan(-)= ，（T(-)）。两角和与差的正切公式在结构上有什么特点？学习探究：例1 已知tan,tan是方程x2+5x-6=0的两根，求tan(+)的值。例2 求证：例3 如图：三个相同的正方形相接，求证：+=。例4 在斜三角形ABC中，求证：tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC思考：一般的，当角A，B，C满足什么条件时，能使等式tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC成立？五 练习1已知 ， ，则 的值是（ ）A B C D 2. 练习：求证 3.已知 求 的值 4已知 求 的值如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD=45o，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD。二倍角的三角函数（1）学习目标：能从和角公式推导出倍角公式，理解化归思想在公式推导中的作用。学习过程：自主学习：1 函数y=sinx与y=sin2x图象之间的位置关系。2 角的三角函数与角2的三角函数之间有怎样的关系？二 学生活动：由S(+)，C(+)，T(+)公式中，令=可以得到的结果：sin2= ;cos2= ;tan2=三 数学建构：倍角公式：sin2= （S2）；cos2= = = （C2）；tan2= （T2）。学习探究：例1 已知sin=，求sin2，cos2，tan2的值。例2 求证：例3 化简cos20ocos40ocos60ocos80o;练习：1. _.2. _.3. _.4. =_.5. =_6. =_.7. =_.8. =_.9. 12sin2735=_.10. =_.11. =_.12. =_.二、 计算：1. 已知sin=，且，求sin2、cos2、tan22. 已知cos=，且,求sin2、cos2、tan2已知tan=-2，求tan2,cot24已知求的值二倍角的三角函数（2）学习目标：灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。学习过程：一 回顾：二倍角公式学习探究例1 化简例2 求证：例3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？自主练习：1、已知，则 A、 B、 C、 D、2、若，则= A、3 B、 C、3 D、 3、已知，化简： A、 B、 C、- D、- 4、不用计算器求值： 。5、化简： 几个三角恒等式学习目标：1.通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发数学发现的欲望和信心2提高三角变换的能3了解积化和差、和差化积公式，以及万能公式、半角公式自主学习问题1：在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如 = 同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如 你能探索出来么？思考并解决上述问题注意证明过程中的代换与转化思想问题2：你还能发现其他类似的恒等式么 ？这组公式我们称为和差化积公式问题3：你能证明它们么？（可以选择其中的2个证明）问题4：前面我们探索并证明了和差化积公式，那么由它们你能发现并证明另外一组与之相对应的公式么？如还有其他的么？（可以选择其中的2个证明）和差化积公式：（1）（2）（3）（4）积化和差公式：（1）（2）（3）（4）学习探究例1（1）化简 例2已知函数y=，xR（1） 求函数的最小正周期（2） 求函数的最大值例3.探求例4如图，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的AOP的值.课堂练习：1.2.已知，且， 求3.证明：4.在ABC中，求证： 已知，求C的度数。5.求值：自我总结第三章 三角恒等变换综合练习班级 姓名 学号 得分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知sin=,cos=,则角所在的的象限是 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知tan(+)=,tan(-)=，则tan(+)等于 （）A B C D3已知sin=,则cos4的值是 （ ）A B C D4已知sin(-)=,sin(+)=，且-(,), +(,2),则cos2的值是 （）A B C1 D-15ABC三内角满足2cosBsinA=sinC，则ABC的形状为 （ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形6的值是 （ ）A1 B2 C4 D7函数y=sinx+cosx(0x)的值域是 ( )A B C D8 的值是 （ ）A2 B-2 C D-9 sin150sin300sin750的值等于 （ ）A B C D10tan700+tan500-tan700tan500的等于 （ ）A B C- D-11函数y=sin2(x)-cos2(x)的周期T=4，那么常数等于 （ ）A B2 C D412函数y=cos()-sin()的单调递增区间是 （ ）A4k-, 4k- (kZ) B4k-, 4k+ (kZ) C2k-, 2k+ (kZ) D2k, 2k+ (kZ)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13已知sin120=a,则sin660= .14已知，cos(-)=,sin(+)= ,那么sin2= .15化简：cos(-)cos(+)= .16设f(x)=2cos2x+sin2x+a(aR),当x0, 时, f(x)的最大值是4，则a= .三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知tan=2,求的值.18求y=sinxcosx-cos2x的最大值.19已知sin(2+)=3sin，求的值.20已知sin(-)= -,0,则所在的的象限是 ( )A二、四 B一、二 C一、四 D二、三2如果cos=有意义，那么m的取值范围是 （）Am4 Dm43函数y=2-sin2x是 （ ）A周期为的奇函数 B周期为的偶函数 C周期为2的奇函数 D周期为2的偶函数4函数y=3sinx +2cosx的最小值是 （）A0 B-3 C-5 D-5设kZ，函数y=sin(+)sin(-)的单调递增区间为 （ ）A(2k+1),2(k+1) B(k+),(k+1) Ck,(k+) D2k, (2k+1) 6已知tan,tan是方程x2+3x+4=0的两根,且,|b|与 ab=0 是一致的 Dab= -|a|b|10如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，则等于( )A B- C D11设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若ab，则实数k的值为 （ ）A-6 B-3 C3 D612.已知ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1),则BC边上的中点坐标为 （ ）A(2,-9) B(2,-5) C(2,-3) D(2,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13函数y=的定义域为 .14已知sin=,20, C 0,| |)在同一周期中最高点的坐标为(2,2)，最底点的坐标为(8,-4).（1）求A，C，的值；（2）作出函数的一个周期的简图，并由图象指出这个函数的单调递增区间.20设e1,e2是两个不共线的非零向量.（1）若= e1+e2，=2 e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线；（2）试求实数k的值，使向量ke1+e2和e1+ke2共线.21在ABC中，设=a, =b, =c.（1）若ABC为正三角形，求证：ab=bc=ca；（2）若ab=bc=ca成立，ABC是否为正三角形？22设函数f(x)=ab,其中a=(2cosx,1), b=(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)=1-,且x,求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|)平移后得到函数y= f(x)的图象,求实数m、n的值.第三章 三角恒等变换综合练习一、CCBDA；CBBCD；CA二、131-2a2; 14; 15cos2; 161三、17 18y=sin(2x-)-，ymax=192+=(+)+ , =(+)- ，答案为220sin=sin-(-)=，故cos2=21cosA = .(提示：若cos C,则sinA0)22-=(cos+ sin(+),sin- cos(+) |-|=.由已知得：|=1，又|-|，2+-20，1或 -2.数学必修（4）综合练习一、CBBDA；ABDAB；DC二、13xR且x, x(kZ); 14; 1512; 16y=sinx+1.三、17提示：切化弦. 18.提示：=(-)-().ABODCabc19（1）A=3，C=-1，=，=；（2）图略.增区间12k-4,12k+2 (kZ)20(1)提示：=+=5(e1+e2);(2)k=1.21(1)提示：a、b、c模相等，两两夹角均为1200；(2)若ab=bc=ca，则由