2019版高考数学复习函数导数及其应用2.1函数及其表示学案理.docx

21函数及其表示 知识梳理1函数与映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点诊断自测1概念思辨(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(4)f(1)x，则f(x)(x1)2(x1)()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P23T2)下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是()答案C解析由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A，B，D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选C.(2)(必修A1P18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)答案A解析A项，函数g(x)|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B项，函数f(x)|x|，g(x)x(x0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C项，函数f(x)的定义域为x|x1，g(x)x1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D项，由解得x1，即函数f(x)的定义域为x|x1由x210，解得x1或x1，即g(x)的定义域为x|x1或x1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数故选A.3小题热身(1)(2018广东深圳模拟)函数y的定义域为()A(2,1) B2,1 C(0,1) D(0,1答案C解析由题意得解得0x1.故选C.(2)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B10 C2 D2答案C解析因为f(1)2，所以f(2)2.故选C.题型1函数的概念 集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xy用定义法答案C解析依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合故选C.(2018秦都区月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是()y1，y2x5；f(x)x，g(x)；f(x)x，g(x)；f1(x)()2，f2(x)2x5.A B C D用定义法答案C解析对于，y1x5(x3)，与y2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数；对于，f(x)x，与g(x)|x|的对应关系不同，不是同一函数；对于，f(x)x(xR)，与g(x)x(xR)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，f1(x)()22x5，与f2(x)2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数综上，以上是同一函数的是.故选C.方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点见典例1.2两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数见典例2.冲关针对训练1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Nx|0x1为值域的函数的是()答案C解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确故选C.2下列函数中一定是同一函数的是_答案解析yx与yalogax定义域不同；y2x12x2x(21)2x相同；f(u)与f(v)的定义域及对应法则均相同；对应法则不相同.题型2函数的定义域(2015湖北高考)函数f(x)lg 的定义域为()A(2,3) B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6列不等式组求解答案C解析依题意，知即解之得2x3或3x4，即函数的定义域为(2,3)(3,4故选C.已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.已知f(x)，xa，b，求fg(x)的定义域，则ag(x)b.答案B解析由函数f(x)的定义域为(1,0)，则使函数f(2x1)有意义，需满足12x10，解得1x，即所求函数的定义域为.故选B.结论探究典例2中条件不变，求函数g(x)f(2x1)f(3x1)的定义域解函数f(3x1)有意义，需13x10，解得x，又由f(2x1)有意义，解得1x，所以可知g(x)的定义域为.条件探究若典例2中条件变为：“函数f(x1)的定义域为(1,0)”，则结果如何？解因为f(x1)的定义域为(1,0)，即1x0，所以2x11，故f(x)的定义域为(2，1)，则使函数f(2x1)有意义，需满足22x11，解得x1.所以所求函数的定义域为.方法技巧1求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解见典例1.(2)抽象函数(见典例2)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域由ag(x)b求出若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求2求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接冲关针对训练1(2017临川模拟)已知函数yf(x1)的定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()A3,7 B1,4 C5,5 D.答案D解析由yf(x1)定义域2,3得yf(x)定义域为1,4，所以12x14，解得0x.故选D.2(2018石河子月考)已知函数yf(x)的定义域是(，1)，则yf(x1)的定义域是()A.B.C(，1)D(，2)答案A解析函数yf(x)的定义域是(，1)，yf(x1)中，自变量x应满足解得即x1，得x，所以f(t)lg ，即f(x)lg (x1)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)待定系数法解设f(x)ax2bxc，由f(0)0，得c0，由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，得ab.所以f(x)x2x(xR)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，求f(x)方程组法解由f(x)2f1，得f2f(x)1，消掉f，可得f(x).方法技巧函数解析式的常见求法1配凑法已知fh(x)g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换见典例1.2待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，见典例3.3换元法已知fh(x)g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范围见典例2.4方程组法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f，f(x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)见典例4.冲关针对训练1(2018衢州期末)已知f(x)是(0，)上的增函数，若ff(x)ln x1，则f(e)()A2 B1 C0 De答案A解析根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且ff(x)ln x1，则f(x)ln x为定值设f(x)ln xt，t为常数，则f(x)ln xt且f(t)1，即有ln tt1，解得t1，则f(x)ln x1，则f(e)ln e12.故选A.2已知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)解解法一：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)解法二：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)解法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)3已知f(x)满足2f(x)f3x1，求f(x)解(消元法)已知2f(x)f3x1，以代替式中的x(x0)，得2ff(x)1，2得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0).题型4求函数的值域角度1分式型求f(x)，x3，1的值域分离常数法解由y可得y.3x1，y3，即y.角度2根式型求函数的值域(1)y2x；(2)yx4.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法解(1)令t，则x.yt2t12(t0)当t，即x时，y取最大值，ymax，且y无最小值，函数的值域为.(2)令x3cos，0，则y3cos43sin3sin4.0，sin1，1y34，函数的值域为1,34角度3对勾型函数求ylog3xlogx31的值域用分类讨论法解ylog3xlogx31，变形得ylog3x1.当log3x0，即x1时，ylog3x1211，当且仅当log3x1，即x3时取“”当log3x0，即0x0恒成立，解得xR.因此，该函数的定义域为R，原函数f(x)log2(3x1)是由对数函数ylog2t和t3x1复合的复合函数，由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的根据指数函数的性质可知，3x0，所以，3x11，所以f(x)log2(3x1)log210，故选A.角度5有界性型求函数y的值域本题用转化法解由y可得2x.由指数函数y2x的有界性可知2x0，0，解得1y1.所以函数的值域为(1,1)角度6数形结合型求函数y，x的值域本题用数形结合法解函数y的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，1)两点决定的斜率，B(1，1)是定点，A(x，sinx)在曲线ysinx，x上，如图，kBPykBQ，即y.方法技巧求函数值域的常用方法1分离常数法(见角度1典例)2配方法3换元法(见角度2典例)(1)代数换元；(2)三角换元4有界性法(见角度5典例)5数形结合法(见角度6典例)6基本不等式法(见角度3典例)7利用函数的单调性(见角度4典例)冲关针对训练求下列函数的值域：解(2)(数形结合法)如图，函数y的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(3,4)和点B(5,2)的距离之和由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)，连接AB交x轴于一点P，此时距离之和最小，ymin|AB|10，又y无最大值，所以y10，).题型5分段函数角度1求分段函数的函数值(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12确定自变量所在区间，代入相应解析式答案C解析21，f(2)1log22(2)3；f(log212)2log21212log266.f(2)f(log212)9.故选C.角度2求参数的值(2018襄阳联考)已知函数f(x)且f(a)3，则ff(14a)_.本题用方程思想求a，再根据区间分类讨论，由内到外逐步求解答案解析当a1时，f(a)2a23无解；当a1时，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以ff(14a)ff(7)f(3)232.角度3分段函数与不等式的交汇已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0本题用数形结合思想方法、分离常数法答案D解析由题意作出y|f(x)|的图象：由图象易知，当a0时，yax与yln (x1)的图象在x0时必有交点，所以当a0，x0时，|f(x)|ax显然成立；当x0时，要使|f(x)|x22xax恒成立，则ax2恒成立，又x20，即(log2x)21，log2x1或log2x2或0x1的x的取值范围是_答案解析由题意知，可对不等式分x0,0x，x三段讨论当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当0x时，原不等式为2xx1，显然成立当x时，原不等式为2x21，显然成立综上可知，x. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的个数是()A2 B3 C4 D5答案C解析对于，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确故选C.2(2018吉安四校联考)已知函数f(x)则f的值为()A. B. C D18答案A解析f(2)4，ff12.故选A.3已知f(x5)lg x，则f(2)等于()Alg 2 Blg 32 Clg D.lg 2答案D解析令x5t，则xt (t0)，f(t)lg tlg tf(2)lg 2.故选D.4(2017山西名校联考)设函数f(x)lg (1x)，则函数ff(x)的定义域为()A(9，) B(9,1)C9，) D9,1)答案B解析ff(x)flg (1x)lg 1lg (1x)，则9x1.故选B.5若函数yf(x)的定义域是0,1，则函数F(x)f(xa)f(2xa)(0a1)的定义域是()A. B.Ca,1a D.答案A解析x.故选A.6函数y的值域为()A. B.C. D.答案C解析由于x20，所以x211，所以0x2，符合题意故选C.10(2017山东模拟)设函数f(x)则满足ff(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)答案C解析当a时，f(a)3a11，ff(a)3(3a1)19a4,2f(a)23a1，显然ff(a)2f(a)当a1，ff(a)22a，2f(a)22a，故ff(a)2f(a)综合知a.故选C.二、填空题11已知xN*，f(x)其值域设为D.给出下列数值：26，1,9,14,27,65，则其中属于集合D的元素是_(写出所有可能的数值)答案26,14,65解析注意函数的定义域是N*，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3)93526，f(4)163519，f(5)253510，f(6)36351，f(7)493514，f(8)643529，f(9)813546，f(10)1003565.故正确答案应填26,14,65.12(2018厦门一模)已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_答案解析当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为R，当x1时，(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则解得0a.13定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1,2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的