【荐】2015年北师大版数学八年级下全册导学稿

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.1 不等关系 学习 目标 （一）知识认知要求 1.理解不等式的意义 . 2.能根据条件列出不等式 . （二）能力训练要求 通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力 . （三）情感与价值观要求 通过不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用 .激发学生学习数学的信心和兴趣 . 学习 重点： 用不等关系解决实际问题 . 学习 难点： 正确理解题意列出不等式 . 学习 过程 一、创设问题情境，引入新课 在现实生活中还存在许多不等关系，利用 不等关系同样可以解决实际问题 .本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用 . 二、 新课学习 1.不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？ 那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题：如图，用两根长度均为 l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆 . （ 1）如果要使正方形的面积不大于 25 cm2， 那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （ 2）如果要使圆的面积不小于 100 cm2,那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ （ 3）当 l=8 时，正方形和圆的面积哪个 大？ l=12 呢？ （ 4）你能得到什么猜想？改变 l 的取值，再试一试 . 本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意 . 圆的面积是 R2，其中 R 是圆的半径 . 两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于 . 2.下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答 . （ 1）因为绳长 l 为正方形的周长，所以正方形的边长为4l，得面积为（4l） 2，要使正方形的面积不大 于 25 cm2，就是162l 25. （ 2）因为圆的周长为 l，所以圆的半径为 R=2l.要使圆的面积不小于 100 cm2， 就是 （2 l） 2 100，即42l 100 （ 3）当 l=8 时，正方形的面积为1682 =4（ cm2） . 圆的面积为482 5.1（ cm2） . 4 5.1 此时圆的面积大 . 当 l=12 时，正方形的面积为16122 =9（ cm2） . 圆的面积为4122 11.5（ cm2） 此时还是圆的面积大 . （ 4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即42l 162l . 因为分子都是 l 2相等、分母 4 16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分 母大的反而小，因此不论 l 取何值，都有42l 162l . 3.做一做 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄 .通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为 5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过 2.4 m？（只列关系式） .请大家互相讨论后列出关系式 . 4.议一议 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ 由162l 25 42l100 42l162l3x+5 240 得，这些关系式都是用不等号连接的式子 .由此可知： 一般地，用符号“”（或“”） ,“”（或“”）连接的式子叫做 不等式（ inequality） . 5.例题 .用不等式表示 （ 1） a 是正数； （ 2） a 是负数； （ 3） a 与 6 的和小于 5； （ 4） x 与 2 的差小于 1； 解：（ 1） a 0;（ 2） a 0; （ 3） a+6 5;（ 4） x 2 1; 三、补充练习 当 x=2 时，不等式 x+3 4 成立吗？ 当 x=1.5 时，成立吗？当 x= 1 呢？ 解：当 x=2 时， x+3=2+3=5 4 成立， 当 x=1.5 时， x+3=1.5+3=4.5 4 成立； 当 x= 1 时， x+3= 1+3=2 4,不成立 . 四、课时小结 能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解 . 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念 . 五、课后作业 习题 1.1 六 .活动与探究 a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示： 用“”或“”号填空： （ 1） a_b;（ 2） |a|_|b|; （ 3） a+b_0;（ 4） a b_0; （ 5） a+b_a b;（ 6） ab_a. 解：由图可知： a 0,b 0,|a| |b|. （ 1） a b;（ 2） |a| |b|; （ 3） a+b 0;（ 4） a b 0; （ 5） a+b a b;（ 6） ab a. 学习 反思： 1.2 不等式的基本性质 学习 目标 （一）知识认知要求 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等 式性质的联系与区别 . （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力 . （三）情感与价值观要求 通过对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流 . 学习 重点： 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握应用 . 学习 难点： 能根据不等式的基本性质进行化简 . 学习 过程 一、引入 我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一组： 1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7. 第二组： -7 1+4; 2x 6, a+2 0; 34. 1.什么叫做等式？什么叫做不等式？ 2.前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？ 3.(回答 )用小于号 “” 填空。 （ 1） 7 _ 4; （ 2） - 2_6; （ 3） - 3_ -2； （ 4） - 4_-6 二、 新课学习 ： 现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：（同学回答。） 性质 1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。 性质 2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。 性质 3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。 不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来， 1.如果 a b。那么 a+c b+c（或 a-c b-c；如果 a b，那么 a+c b+c（或 a-c b-c）。如果 a0, 那么 acb,且 c0,那么 acbc(或 3.如果 abc(或 )；如果 ab,且 cb,且 c0，那么 acbd; (2)如果 ab,那么 ac2bc2; (3)如果 ac2bc2,那么 ab; (4)如果 ab,那么 a-b0; 三、课堂练习： 练 习 2（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以） -2，看看不等号的方向是否改变： 7 4； -2 6； -3 -2； -4 -6。 四、小结 不等式的基本性质 五、作业 见作业本 六、 学习 反思： 1.3 不等式的解集 学习 目标 1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法； 2.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法； 3.在本节课的 学习 过程 中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题 . 学习 重点 不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法 . 学习 难点 ：不等式的解集的概念 . 学习 过程 一、创设问题情境，引入新课 1.什么叫不等式 ?什么叫方程 ?什么叫方程的解 ?(请学生举例说明 ) 2.用不等式表示： (1)x 的 3 倍大于 1； (2)y 与 5 的差大于零； (3)x 与 3 的和小于 6； (4)x 的小于 2. (3)当 x 取下列数值时，不等式 x+3 6 是否成立 ? -4， 3.5， -2.5， 3， 0， 2.9. (2)、 (3)两题用投影仪打在屏幕上 ) 二、 新课学习 1.引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念 2.不等式的解集及解不等式 不等式 x+3 6，除了上面提到的， -4， -2.5， 0， 2.9 是它的解外，还有没有其它的解 ?若有，解的个数是多少 ?它们的分布是有什么规律 ? (启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究 .具体作法是，在数轴上将是 x+3 6 的解的数值 -4，-2.5， 0， 2.9 用实心圆点画出，将不是 x+3 6 的解的数值 3.5， 4， 3 用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样 .如下图所示 ) 然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式 x+3 6 的解的关键值是“ 3”，用小于 3 的任何数替代 x，不等 式 x+3 6 均成立；用大于或等于 3 的任何数替代 x，不等式 x+3 6 均不成立 .即能使不等式 x+3 6 成立的未知数 x 的值是小于 3 的所有数，用不等式表示为 x 3.把能够使不等式 x+3 6 成立的所有 x 值的集合叫做不等式 x+3 6 的集合 .简称不等式 x+3 6 的解集，记作 x 3. 最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念 .(若学生总结有困难，教师可作适当的启发、补充 ) 一般地说， 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合 .简称为这个不等式的解集 . 不等式一般有无限多个解 . 求不等式的解集的过程，叫做 解不等式 . 3.启发学生如何在数轴上表示不等式的解集 我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集，一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如 x 3.那么如何在数轴上直观地表示不等式 x+3 6的解集 x 3 呢 ?(先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解 ) 在数轴上表示 3 的点的左边部分，表示解集 x 3.如下图所示，由于 x=3 不是不等式 x+3 6的解，所以其中表示 3 的点用空心圆圈标出来 .(表示挖去 x=3 这个点 ) 记号“”读作大于或等于，既不小于；记号“”读作小于或等于，即不大于 . 例如不等式 x+5 3 的解集是 x -2(想一想，为什么 ?并请一名学生回答 )在数轴上表示如下图 . 即用数轴上表示 -2 的点和它的右边部分表示出来 .由于解中包含 x=-2，故其中表示 -2 的点用实心圆点表示 . 此处，应强调，这里特别要注意区别是用空心圆圈“。”还是用实心圆点“ .”，是左边部分，还是右边部分 . 三、应用举例，变式练习 例 1 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x -5； (2)x 0； (3)x -1; (4)1 X 4; (5)-2 X 3； (6)-2 x 3. 解 (1)， (2)， (3)略 . (4)在数轴上表示 1 x 4，如下图 (5)在数轴上表示 -2 x 3，如下图 (此题在讲解时，教师要着重强调：注意所给题目中的解集是否包含分界点，是左边部分还是右边部分 .本题应分别让 6 名学生板演，其余学生自行完成，教师巡视遇到问题，及时纠正 ) 例 2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来： (1)x 小于 -1； (2)x 不小于 -1； (3)a 是正数； (4)b 是非负数 . 解： (1)x 小于 -1 表示为 x -1； (用数轴表示略 ) (2)x 不小于 -1 表示为 x -1； (用数轴表示略 ) (3)a 是正数表示为 a 0； (用数轴表示略 ) (4)b 是非负数表示为 b 0.(用数轴表示略 ) (以上各小题分别请四名学生回答，教师板书，最后，请学生在笔记本上画数轴表示 ) 例 3 用不等式的解集表示出下列各数轴所表示的数的范围 .(投影，请学生口答，教师板演 ) 解： (1)x 2； (2)x -1.5； (3)-2 x 1. 练习 (1)用简明语言叙述下列不等式表示什么数： x 0; x 0; x -1; x -1. (2)在数轴上表示下列不等式的解集： x 3; x -1; x -1.5; 0 x 5; -2 x 2； -2 x 3. (3)用观察法求不等式 1 的解集，并用不等式和数轴分别表示出来 . （ 4）观察不等式 1 的解集，并用不等式和数轴分别表示出来，它的正数解是什么 ? 自然数解是什么 ?(*表示选作题 ) 四、小结 1.如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念 ? 2.找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点 . 3.记号“”、“”各表示什么含义 ? 4.在数轴上表示不 等式解集时应注意什么 ? 结合学生的回答，教师再强调指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式这三者的定义是区别它们的唯一标准；在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“。”和实心圆点“” . 五、作业 见作业本 六、 学习 反思： 1.4.1 一元一次不等式（一） 学习 目标 1.归纳一元一次不等式的定义 . 2.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤 . 学习 重点 1.一元一次不等式的概念及判断 . 2.会解一元一次不等式 . 学习 难点 当不等式的两边都乘以或除以同 一个负数时，不等号的方向要改变 . 学习 过程 一、创设问题情境，引入新课 在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容 .并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“ x a”或“ x a”的形式 .那么，什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成“ x a”或“ x a”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究 . 二、 新课学习 1.一元一次不等式的定义 . 大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？ 一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此 大家可以类推出一元一次不等式的定义，可以吗？ 只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式 . 下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式 .请大家讨论 . 下列不等式是一元一次不等式吗？ （ 1） 2x 2.5 15;（ 2） 5+3x 240; （ 3） x 4;（ 4）x1 1. （ 1）、（ 2）、（ 3）中的不等式是一元一次不等式，（ 4）不是 . 从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两 边都是整式 .请大家总结出一元一次不等式的定义 . 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（ linear inequality with one unknown） . 2.一元一次不等式的解法 . 在前面我们接触过的不等式中，如 2x 2.5 15,5+3x 240 都可以通过不等式的基本性质化成“ x a”或“ x a”的形式，大家来试一试 . 例 1解不等式 3 x 2x+6，并把它的解集表示在数轴上 . 分析要化成“ x a”或“ x a”的形式，首先要把不等式 两边的 x 或常数项转移到同一侧，变成“ ax b”或“ ax b”的形式，再根据不等式的基本性质求得 . 解两边都加上 x，得 3 x+x 2x+6+x 合并同类项，得 3 3x+6 两边都加上 6,得 3 6 3x+6 6 合并同类项，得 3 3x 两边都除以 3，得 1 x 即 x 1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上 x，就相当于把左边的 x 改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？ 由此可知，移项法则在解不等式中同样适用 ，同理可知两边都加上 6，可以看作把 6 改变符号后从右边移到了左边 .因此，可以把这两步合起来，通过移项求得 .两边都除以 3，就是把 x 的系数化成 1. 现在请大家按刚才分析的过程写出步骤 . 移项，得 3 6 2x+x 合并同类项，得 3 3x 两边都除以 3，得 1 x 即 x 1. 从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？ 例 2 解不等式22x37 x，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解：去分母 ，得 3（ x 2） 2（ 7 x） 去括号，得 3x 6 14 2x 移项，合并同类项，得 5x 20 两边都除以 5，得 x 4. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 请大家判断以下解法是否正确 .若不正确，请改正 . 解不等式：3 12 x 5 解：去分母，得 2x+1 15 移项、合并同类项，得 2x 16 两边同时除以 2，得 x 8. 有两处错误 .第一，在去分母时，两边同时乘以 3，根据不等式的基本性质 3，不等号的方向要改变，第 二，在最后一步，两边同时除以 2 时，不等号的方向也应改变 . 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 .请大家讨论后发表小组的意见 . 联系：两种解法的步骤相似 . 区别：（ 1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变 . （ 2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解 . 三、课堂练习 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （ 1） 5x 10;（ 2） 3x+12 0; （ 3）21x3 54 x;（ 4）27x 12 23 x. 解：（ 1）两边同时除以 5，得 x 2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： （ 2）移项，得 3x 12, 两边都除以 3，得 x 4, 这个不等式的解集在数轴上表示为： （ 3）去分母，得 3（ x 1） 2（ 4x 5） , 去括号，得 3x 3 8x 10, 移项 、合并同类项，得 5x 7, 两边都除以 5，得 x57, 不等式的解集在数轴上表示为： （ 4）去分母，得 x+7 2 3x+2, 移项、合并同类项，得 2x 3, 两边都除以 2，得 x23, 不等式的解集在数轴上表示如下： 四、时小结 1.一元一次不等式的定义及解法 . 2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 . 五、课后作业 习题 1.4 六、活动与探究 求下列不等式的正整数解： （ 1） 4x 12;（ 2） 3x 9 0. 解：（ 1）解不等式 4x 12,得 x 3, 因为小于 3 的正整数有 1， 2 两个，所以不等式 4x 12 的正整数解是 1， 2. （ 2）解不等式 3x 9 0,得 x 3. 因为不大于 3 的正整数有 1， 2， 3 三个，所以不等式 3x 9 0 的正整数解是 1， 2， 3. 七、 学习 反思 ： 1.4.2 一元一次不等式（二） 学习 目标 （一）知识认知要求 1.进一步巩固求一元一次不等式的解集 . 2.能利用一元一次不等式解决一些简 单的实际问题 . （二）能力训练要求 通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力 . （三）情感与价值观要求 通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心 . 学习 重点 1.求一元一次不等式的解集 . 2.用数学知识去解决简单的实际问题 . 学习 难点 能结合具体问题发现并提出数学问题 . 学习 过程 一、提出问题，引入新课 上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不等式，下面大家先回忆一下 . 不等式的两边都是整式，只 含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式 . 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似，大致有：（ 1）去分母；（ 2）去括号；（ 3）移项、合并同类项；（ 4）系数化成 1. 下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何 . 1.解不等式：51（ x+15）2131（ x 7） 解：去分母，得 6（ x+15） 15 10（ x 7） , 去括号，得 6x+90 15 10x+70, 移项、合并同类项，得 16x 15， 两边同除以 16，得 x1615. 2.判断下面解法的对错 . 解不等式：3 12 x6 15 x 2 解：去分母，得 2（ 2x+1） 5x 1 2, 去括号，得 4x+2 5x 1 2 移项、合并同类项，得 x 1 两边都乘以 1，得 x 1. 请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来 . 第一，在去分母时，分子应 作为一个整体，应加括号，是（ 5x 1） ,而非 5x 1，第二，整数2 也应乘以公分母 . 解：去分母，得 2（ 2x+1）（ 5x 1） 12 去括号，得 4x+2 5x+1 12, 移项、合并同类项，得 x 9, 两边都乘以 1，得 x 9. 刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固 . 二、 新课学习 例 1解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （ 1）2x3x 1;（ 2）5x 3+22x. 解：（ 1）去分母，得 3x 2x 6, 合并同类项，得 x 6, 不等式的解集在数轴上表示如下： （ 2）去分母，得 2x 30+5（ x 2） , 去括号，得 2x 30+5x 10, 移项、合并同类项，得 3x 20, 两边都除以 3，得 x320. 不等式的解集在数轴上表示如下： 这 类题型我们掌握得好了，下面来学习有关不等式的应用题 . 例 2一次环保知识竞赛共有 25 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题扣 1 分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（ 85 分或 85 分以上），小明至少答对了几道题？ 例 3小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 .已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.2 元，她买了 2 本笔记本 .请你帮她算一算，她还可以买几支笔？ 分析：解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行 . 先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最 后写出答案 . 总的题量有 25 题 .答对一题得 4 分，答错或不答扣 1 分，最后得分在 85 分或 85 分以上，所以关系式应为： 4答对题数 1答错题数 85 请大家自己写步骤 . 解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有（ 25 x）道题，根据题意，得 4x 1（ 25 x） 85 解这个不等式，得 x 22. 所以，小明至少答对了 22 道题，他可能答对了 22， 23， 24， 25 道题 . 大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流 . 第一 步：审题，找不等关系； 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根据实际情况写出答案 . 请大家按照刚才的步骤解答例 3. 解：设她还可以买 n 支笔，根据题意得 3n+2.2 2 21 解这个不等式，得 n36.16因为在这一问题中 n 只能取正整数， 所以，小颖还可以买 1 支， 2 支， 3 支， 4 支或 5 支笔 . 三、课堂练习 请五位同学板演，教师订正 四、课时小结 根据前面我们做的练习和例题，我们来总结一下解不等式的一般步骤，理论 依据及注意事项，和解一元一次不等式应用题的一般步骤 . 1.解一元一次不等式的一般步骤： （ 1）去分母 根据 等式性质 2 或 3 注意：勿漏乘不含分母的项； 分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； 若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变 . （ 1）去括号 根据 去括号法则和分配律 注意：勿漏乘括号内每一项； 括号前面是“”号，括号内各项要变号 . （ 2）移项 根据 移项法则（不等式 性质 1） 注意：移项要变号 . （ 4）合并同类项 根据 合并同类项法则 . （ 5）系数化成 1根据 不等式基本性质 2 或性质 3. 注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变 . 2.解一元一次不等式应用题的步骤： （ 1）审题，找不等关系；（ 2）设未知数； （ 3）列不等关系；（ 4）解不等式； （ 5）根据实际情况，写出全部答案 . 五 .课后作业 P17 习题 1.5 学习 反思： 1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一 ） 学习 目标 （一）知识认知要求 1.一元一次不等式与一次函数的关系 . 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较 . （二）能力训练要求 1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识 . 2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力 . （三）情感与价值观要求 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用 . 学习 重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系 . 学习 难点 自 己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答 . 学习 过程 一、创设问题情境，引入新课 上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？ .二、新课讲授 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系 . 大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式 . 在一次函数 y=2x 5 中， 当 y=0 时，有方程 2x 5=0; 当 y 0 时，有不等式 2x 5 0; 当 y 0 时，有不等式 2x 5 0. 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于 0 时即为方程 ，当函数值大于或小于 0 时即为不等式 . 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系 . 2.做一做 作出函数 y=2x 5 的图象，观察图象回答下列问题 . （ 1） x 取哪些值时， 2x 5=0? （ 2） x 取哪些值时， 2x 5 0? （ 3） x 取哪些值时， 2x 5 0? （ 4） x 取哪些值时， 2x 5 3? 请大家讨论后回答： （ 1）当 y=0 时， 2x 5=0, x=25, 当 x=25时， 2x 5=0. （ 2）要找 2x 5 0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0 时所对应的 x 的值，从图象上可知， y 0 时，图象在 x 轴上方，图象上任一点所对应的 x 值都满足条件，当 y=0 时，则有 2x 5=0,解得 x=25.当x25时，由 y=2x 5 可知 y 0.因此当 x25时， 2x 5 0; （ 3）同理可知，当 x25时，有 2x 5 0; （ 4）要使 2x 5 3,也就是 y=2x 5 中的 y 大于 3，那么过纵坐标为 3 的点作一条直线平行于 x 轴，这条直线与 y=2x 5 相交于一点 B（ 4， 3），则当 x 4 时，有 2x 5 3. 3.试一试 如果 y= 2x 5,那么当 x 取何值时， y 0? 由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧 .请大家试一试 . 首先要画出函数 y= 2x 5 的图象，如图： 从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点所对应的 y 的值都大于 0，而每一个 y 的值所对应的 x 的值都在 A 点的左侧，即为小于 2.5 的数，由 2x 5=0,得 x= 2.5,所以当 x 取小于2.5 的值时， y 0. 4.议一议 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （ 1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （ 2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （ 3）谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？ （ 4）你是怎样求解的？与同伴交流 . 大家应先画出图象，然后讨论回答： 解设兄弟俩赛跑的时间为 x 秒 .哥哥跑过的路程为 y1，弟弟跑过的路程为 y2，根据题意，得 y1=4x y2=3x+9 函数图象如图： 从图象上来看： （ 1）当 0 x 9 时，弟弟跑在哥哥前面； （ 2）当 x 9 时，哥哥跑在弟弟前面； （ 3）弟弟先跑过 20m，哥哥先跑过 100m; （ 4）从图象上直接可以观察出（ 1）、（ 2）小题，在回答第（ 3）题时，过 y 轴上 20 这一点作 x 轴的平行线，它与 y1=4x,y2=3x+9 分别有两个交点，每一交点都对应一个 x 值，哪个 x 的值小，说明用的时间就短 .同理可知谁先跑过 100 m. 三、课堂练习 1.已知 y1= x+3,y2=3x 4,当 x 取何值时， y1 y2？你是怎样做的？与同伴交流 . 解：如图所示： 当 x 取小于47的值时，有 y1 y2. 四、课时小结 本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式 . 五、课后作业 习题 1.6 六、活动与探究 作出函数 y1=2x 4 与 y2= 2x+8 的图象，并观察图象回答下列问题： （ 1） x 取何值时， 2x 4 0？ （ 2） x 取何值时， 2x+8 0? （ 3） x 取何值时， 2x 4 0 与 2x+8 0 同时成立？ （ 4）你能求出函数 y1=2x 4， y2= 2x+8 的图象与 x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程 . 解：图象如下： 分析：要使 2x 4 0 成立，就是 y1=2x 4 的图象在 x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使 2x+8 0 成立的 x，即为函数 y2= 2x+8 的图象在 x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的 x，根据函数图象与 x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求 出底边上的高，从而求出三角形的面积 . 解（ 1）当 x 2 时， 2x 4 0; （ 2）当 x 4 时， 2x+8 0; （ 3）当 2 x 4 时， 2x 4 0 与 2x+8 0 同时成立 . （ 4）由 2x 4=0,得 x=2; 由 2x+8=0,得 x=4 所以 AB=4 2=2 由8242xyxy 得交点 C（ 3， 2） 所以三角形 ABC 中 AB 边上的高为 2. 所以 S=21 2 2=2. 1.5 一元一次不等式与一次函数（二） 学习 目标： 1.掌握一元一次不等 式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。 2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。 3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。 学习 重点 ：初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数图象求一元一次不等式的解集。 学习 难点 ：理解一元一次不等式与一次函数的关系。 学习 过程 ： 一、提出问题，导入新课 放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠政策来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？人们犹 豫了，有时感觉到上当了 .如果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了 .下面我们一起来探究这里的奥妙 . 二、新课讲授 1.例 1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 1025 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 200 元 .经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠 .该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 请大家先计划一下，你选哪家旅行社？ 分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才 能比较 .而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于 . 解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需费用为 y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y2元，则 y1=200 0.75x=150x y2=200 0.8（ x 1） =160x 160 当 y1=y2 时， 150x=160x 160,解得 x=16; 当 y1 y2 时， 150x 160x 160,解得 x 16; 当 y1 y2 时， 150x 160x 160,解得 x 16. 因为参加旅游的人数为 1025 人，所以当 x=16 时，甲乙两家旅行社的收费相同；当 17 x 25 时，选择甲旅行社费用较少，当 10 x 15 时，选择乙旅行社费用较少 . 由此看来，选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？ 2.下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？ 例 2某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为 6000元，并且多买都有一定的优惠 .甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠 25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠 20%. （ 1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式 . （ 2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ （ 3）什么情况下到乙商场购买更优惠？ （ 4）什么情况下两家商场的收费相同？ 有了刚才的经验，大家应该很轻松地完成任务了吧 . 解：设要买 x 台电脑，购买甲商场的电脑所需费用 y1 元，购买乙商场的电脑所需费用为 y2元 .则有 （ 1） y1=6000+（ 1 25%）（ x 1） 6000=4500x+1500 y2=80% 6000x=4800x （ 2）当 y1 y2 时，有 4500x+1500 4800x 解得， x 5 即当所购买电脑超过 5 台时，到甲商场购买更优惠； （ 3）当 y1 y2 时，有 4500x+1500 4800x. 解得 x 5. 即当所购买电脑少于 5 台时，到乙商场买更优惠； （ 4）当 y1=y2 时，即 4500x+1500=4800x 解得 x=5. 即当所购买电脑为 5 台时，两家商场的收费相同 . 三、课堂练习 某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需 8 元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需 120 元外，每张还需成本 4 元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省 ，还是自刻费用省？请说明理由 . 解：设需刻录 x 张光盘，则 到电脑公司刻录需 y1=8x（元） 自刻录需 y2=120+4x 当 y1=y2 时， 8x=120+4x， 解得 x=30; 当 y1 y2 时， 8x 120+4x, 解得 x 30; 当 y1 y2 时， 8x 120+4x, 解得 x 30. 所以，当需刻录 30 张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等； 当需刻录超过 30 张光盘时，自刻费用省； 当需刻录不超过 30 张光盘时，到电脑公司刻录费用省 . 某单位要制作一批宣传材料 .甲公司提出每份材料收费 20 元，另收 3000 元设计费； 乙公司提出：每份材料收费 30 元，不收设计费 . （ 1）什么情况下选择甲公司比较合算？ （ 2）什么情况下选择乙公司比较合算？ （ 3）什么情况下两公司的收费相同？ 解：略 . 四、课时小结 本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所用 . 五、课后作业 习题 1.7 第 2 题 . 六、活动与探究 某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产 品运输业务，已知运输路程为 120 千米，汽车和火车的速度分别为 60 千米 /时， 100 千米 /时，两 货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 运输费单价 （元 /吨千米） 冷藏费单价 （元 /吨小时） 过桥费 （元） 装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注：“元 /吨千米”表示每吨货物每千米的运费；“元 /吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费 . （ 1）设该批发商待运的海产品有 x 吨 ,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为 y1元和 y2 元，试求 y1和 y2与 x 的函数关系式； （ 2）若该批发商待运的海产品不少于 30 吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承 担运输业务？ 分析（ 1）仔细观察，根据题目中二维表格给出的收费项目和收费标准，以及已知的路程和速度，不难求得函数关系，但应注意从表格中准确提取信息，并细心计算； （ 2）究竟选择哪家货运公司承担运输业务，可使运费最省，由题目条件看，应由批发商海产品的数量来确定，我们可以把问题转化为不等式，当 y1 y2 时，有 250x+200 222x+1600;当 y1 y2时，有 250x+200 222x+1600,然后通过解不等式，使得问题迎刃而解 .当然，也可以讨论 y1=y2 的情况，求得 x=50 后，再分析求解 . 解（ 1）根据题意，得 y1=200+2 120x+560120x=250x+200; y2=1600+1.8 120x+510120x=222x+1600 （ 2）分三种情况 若 y1 y2,250x+200 222x+1600, 解得 x 50; 若 y1=y2,250x+200=222x+1600， 解得 x=50; 若 y1 y2,250x+200 222x+1600, 解得 x 50. 综上所述，当所运海产品不少于 30 吨且不足 50 吨时， 应选择汽车货运公司承担运输业务； 当所运海产品刚好 50 吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运输业务； 当所运海产品多于 50 吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务 . 评注此题是一道方案决策最优化问题，虽然题目中信息很多，但由于批发商的待运海产品的数量不确定，使得方案决策不确定，这就需要准确提取信息，通过列出数式，找函数关系，解不等式等数学手段，解决实际问题 .应用不等式的知识解决日常生产问题是我们常见的题型 . 七、 学习 反思 ： 1.6 一元一次不等式组（一） 学习 目标： 1.理解一 元一次不等式组及其解的意义， 加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性； 2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的 方法。 3.能运用不等式组解决简单的实际问题，培养学生独立思考的习惯和合作交流意识； 4.初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用。 学习 重点 :解一元一次不等式组 学习 难点 :运用一元一次不等式组解决实际问题 学习 过程 一、前提测评 解下列不等式，并在数轴上表示 2X-1-X 0.5X4X+1 二、导入新课，讨论探究 将上 面内容进行组合 2X-1-X 0.5X4X+1 关键： 1、 分别解出不等式； 2、 将结果在数轴上表示出来； 3、 取公共部分 思考： 1、 你能为它取个名字吗？ 2、 你能将它们的解集在数轴上表示出来吗？ 3、 哪一部分是它的最后解集呢？ 独立思考； 小组讨论； 小组交流； 归纳总结。 三、课堂练习 1、解下列不等式组 X-51/3 X 2X3 4X-3 1 2X-50 3X-15 3-X-1 3X+5 0 3X+1 2, 1 3. 你能把你的结论归纳成语言吗？ 三角形的一个外角等于两个内角的和 .它也大于三角形的一个内 角 . 不对，如图 （ 1） （ 2） 图（ 1）中， ACD 是 ABC 的外角，从图中可知： ACB 是钝角三角形 . ACB ACD.所以 ACD 不可能等于 ABC 内的任两个内角的和 . 图（ 2）中的 ABC 是直角三角形， ACD 是它的一个外角，它与 ACB 相等 . 由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的 .应该说：三角形的一个外角等于 和它不相邻 的两个内角的和；三角形的一个外角大于 和它不相邻 的任一个内角 . .由此我们得到了三角形的外角的性质 三角形的一