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文档简介

矩阵知识点复习 1 1 矩阵的定义 简记为 实矩阵 元素是实数 复矩阵 元素是复数 2 一些特殊的矩阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 对角阵 数量阵 单位阵 2 矩阵的基本运算 矩阵相等 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等 两个矩阵同型 且对应元素相等 矩阵加 减 法 两个同型矩阵 对应元素相加 减 加法满足 3 数乘满足 数与矩阵相乘 数与矩阵的乘积记作或 规定为 矩阵与矩阵相乘 设 规定 其中 4 乘法满足 矩阵乘法不满足 交换律 消去律 5 A是n阶方阵 方阵的幂 方阵的多项式 方阵的行列式 满足 6 转置矩阵 3一些特殊的矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 满足 对称矩阵和反对称矩阵 7 伴随矩阵 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 8 3 逆矩阵 定义 唯一性 若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 判定定理 n阶方阵A可逆 且 推论 设A B为同阶方阵 若 则A B都可逆 且 9 满足规律 逆矩阵求法 1 伴随矩阵法 2 初等变换法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 4 分块矩阵 10 5 初等变换 对换变换 倍乘变换 倍加变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 11 矩阵的等价 初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与矩阵B等价 记作 三种初等变换对应着三种初等方阵 初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵 6 初等矩阵 初等矩阵是可逆的 逆矩阵仍为初等矩阵 12 7 初等矩阵与初等变换的关系 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理 13 即 8 用初等变换法求矩阵的逆矩阵 14 注意 用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 15 9矩阵方程 注意 解矩阵方程时 要注意已知矩阵与X的位置关系 例如解AX B 需先考察A是否可逆 只有A可逆才可以解此矩阵方程 在方程两边同时左乘A的逆 而不能右乘 因为矩阵乘法不满足交换律 矩阵方程 解 16 在一个m n矩阵A中 位于这些行和列的交叉点上的 个元素按原来 的次序组成一个k阶行列式 称为A的一个k阶 定义1 任取k行k列 10矩阵的秩 子式 这里 矩阵A中不等于零的子式的最高阶数 称为矩阵A的秩 记为R A 定义2 17 1 秩为r的矩阵可能有等于零的r r 1阶子式 注意 初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 3 初等变换不改变矩阵的秩 4 则A B等价 的充要条
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