高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的性质和递推关系课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时数列的性质和递推关系 自主学习新知突破 1 了解递推公式是给出数列的一种方法 2 理解递推公式的含义 能够根据递推公式写出数列的前几项 3 掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法 某剧场有30排座位 第一排有20个座位 从第二排起 后一排都比前一排多2个座位 如图 问题1 写出前五排座位数 提示 20 22 24 26 28 问题2 第n排与第n 1排座位数有何关系 提示 第n 1排比第n排多2个座位 问题3 第n排座位数an与第n 1排座位数an 1能用等式表示吗 提示 能 an 1 an 2 如果已知数列 an 的第1项 或前几项 且从第二项 或某一项 开始的任一项an与它的前一项an 1 或前几项 n 2 n n 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 数列的递推公式 数列通项公式和递推公式各有什么作用 1 数列的通项公式是给出数列的主要形式 如果已知数列 an 的通项公式an f n 可求出数列中的各项与指定项 还可以根据函数的性质 进一步探讨数列的增减性 数列中项的最大值或最小值 2 数列的递推公式是给出数列的另一重要形式 一般地 只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系 就可以依次求出数列的各项 拓展 通项公式与递推公式的关系示意图 1 数列1 3 6 10 15 的递推公式是 a an 1 an n n n b an an 1 n n n n 2c an 1 an n 1 n n n 2d an an 1 n 1 n n n 2解析 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n n 2 答案 b 2 已知数列 an 中 an 1 an 3 0 则数列 an 是 a 递增数列b 递减数列c 摆动数列d 常数列解析 an 1 an 3 an n n 数列为递增数列 答案 a 3 数列 an 的通项公式为an n2 6n 则它的最小项的值是 解析 an n2 6n n 3 2 9 当n 3时 an有最小值 9 答案 9 合作探究课堂互动 由递推公式写数列的项并求通项公式 已知数列 an a1 2 an 1 2an 写出数列的前4项 猜想an 并加以证明 1 根据递推公式写出数列的前几项 这类问题要弄清公式中各部分的关系 依次代入计算 2 由形如an f n an 1 n 2 的数列的递推公式求通项公式时 通常用累乘法或迭代法 形成函数的运动变化的观点 不断地变换递推公式中的 下标 直到可以利用首项或前几项是解题的关键 数列的单调性问题 思路点拨 用序号代替通项公式中的n 就可求出相应的项 比较an 1与an的大小来判断数列的单调性 单调性是数列的一个重要性质 判断数列的单调性 通常是运用作差或作商的方法判断an 1与an n n 的大小 若an 1 an恒成立 则 an 为递增数列 若an 1 an恒成立 则 an 为递减数列 用作差法判断数列增减性的步骤为 作差 变形 定号 结论 数列的最大项 最小项问题 1 由于数列是特殊函数 因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质 如单调性 最大值 最小值等 此时要注意数列的定义域为正整数集 或其子集 这一条件 3 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 解析 1 由n2 5n 4 0 解得1 n 4 n n n 2 3 数列中有两项是负数 设数列 an 的通项公式为an n2 n 且 an 满足a1 a2 a3 an an 1 则实数 的取值范围是 错因 错解仅考虑了数列 an 为单调递增数列时的一种情形 事实上 n的值是离散的 当对称轴在 1 2 之间 且满足a1 a2时 也成立 方法二 直接根据定义来处理 数列