数列与不等式30大题有答案.pdf

第 1页 共 23页 数列与数列与不等式不等式综合问题综合问题 30 道道 1 已知数列 an是等差数列 bn a1 a2 an n n 1 2 3 证明 数列 bn是等差数列 2 已知曲线 C xy 1 过 C 上的点 Anxn yn作斜率为 kn 1 xn 2 的直线交曲线 C 于另一点 An 1xn 1 yn 1 点列 An的横坐标构成数列 xn 其中 x1 11 7 1 求 xn与 xn 1的关系式 2 令 bn 1 xn 2 1 3 求证 数列 bn 是等比数列 3 若 cn 3n tbn t 为非零整数 n 试确定 t 的值 使得对任意 n 都有 cn 1 cn 成立 3 设 n xn是曲线 y x2n 2 1 在点 1 2 处的切线与 x 轴交点的横坐标 1 求数列 xn的通项公式 2 记 Tn x1 2x 3 2 x 2n 1 2 证明 Tn 1 4n 4 已知数列 an满足 a1 1 2 2an 1 an 1 1 求数列 an的通项公式 2 证明 a1 a2 an n k 57 对一切 n 都成立 的最大正整数 k 的值 6 已知数列 an是等比数列 首项 a1 1 公比 q 0 其前 n 项和为 Sn 且 S1 a1 S3 a3 S2 a2成等差数列 1 求数列 an的通项公式 2 若数列 bn满足 an 1 1 2 anbn T n为数列 bn 的前 n 项和 若 Tn m 恒成立 求 m 的最 大值 7 已知 an是正整数组成的数列 a1 1 且点 an an 1 n 在函数 y x2 1 的图象上 1 求数列 an的通项公式 2 若数列 bn满足 b1 1 bn 1 bn 2an 求证 bn bn 2 bn 1 2 8 x y 且 x y 若 a x y b 依次成等差数列 c x2 y y2 x d 依次成等差数列 试比较 a b 与 c d 的大小 9 已知数列 an的各项为正数 其前 n 项和 Sn满足 Sn an 1 2 2 1 求 an与 an 1n 2 之间的关系式 并求 an的通项公式 2 求证 1 S1 1 S2 1 Sn 0 a3 b3 0 a1 a3 试比较 a5和 b5的大 小 11 设数列 an的前 n 项和为 Sn 且 a1 1 an 1 1 Snn 1 求数列 an的通项公式 2 若数列 bn为等差数列 且 b1 a1 公差为 a2 a1 当 n 3 时 比较 bn 1 与 1 b1 b2 bn的大小 12 已知数列 an中 a1 1 an 1 an an 3 n 1 求证 1 an 1 2 是等比数列 并求 an的通项公式 2 设 bn 3n 1 n 2n an 记其前 n 项和为 Tn 若不等式 2n 1 2n 1Tn n 对一切 n 恒成立 求 的取值范围 13 已知数列 an的前 n 项和为 Sn a1 1 Sn an 1 3 数列 bn的前 n 项和为 Tn 点 an bn 在函数 y nx 1图象上 1 求数列 an的通项公式 2 求 Tn 3 试比较 Tn和 Bn 5 2 n2 2n 的大小 并证明 14 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn 非常数等比数列 bn的公比是 q 且满足 a1 2 b1 1 S2 3b2 a2 b3 1 求 an与 bn 2 设 cn 2bn 3 an 2 若数列 cn 是递减数列 求实数 的取值范围 15 某种汽车的购车费用是 10 万元 每年使用的保险费 养路费 汽油费约为 0 9 万元 年维修费 用第一年是 0 2 万元 以后逐年递增 0 2 万元 问这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最 小 最小值是多少 16 是否存在一个等差数列 an 使 Sn S2n 是一个与 n 无关的常数 若存在 求此常数 若不存在 请 说明理由 17 函数 f x 3x 2x 3 数列 an 满足 a1 1 an 1 f an n 1 求证 数列 1 an 是等差数列 2 令 bn an 1 ann 2 b1 3 Sn b1 b2 bn 若 Sn m 2003 2 对一切 n 成立 求最小正整数 m 18 已知常数 p 满足 0 p xn对 n 成立 19 设 b 0 数列an满足 a1 b an nban 1 an 1 n 1 n 2 1 求数列an的通项公式 第 3页 共 23页 2 证明 对于一切正整数 n 2an bn 1 1 20 已知常数 p 满足 0 p xn对 n 成立 21 设 M 10a2 81a 207 P a 2 Q 26 2a 若将 lgM lgQ lgP 适当排序后可构成公差为 1 的等差数列 an的前三项 1 求 a 的值及 an的通项公式 2 记函数 f x anx2 2an 1x an 2n 的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn 设 Tn 1 4 b1b2 b2b3 bn 1bnn 2 求 Tn 22 已知数列 an的首项 a1 3 5 an 1 3an 2an 1 n 1 2 3 1 求证 1 an 1 是等比数列 并求出 an的通项公式 2 证明 对任意的 x 0 an 1 1 x 1 1 x 2 2 3n x n 1 2 3 3 证明 n 2 5 a1 a2 an n2 n 1 23 在数列 an中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 证明数列 1 an 是等差数列 2 求数列 an的通项 3 若 an 1 an 1 对任意 n 2 的整数恒成立 求实数 的取值范围 24 在数列 an中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 证明 数列 1 an 是等差数列 2 求数列 an的通项 3 若 an 1 an 1 对任意的整数恒成立 求实数 的取值范围 25 已知数列 an中 a1 1 a2 1 4 且 an 1 n 1 an n an n 2 3 4 1 求数列 an的通项公式 2 求证 对一切 n 有 a1 2 a2 2 an 2 7 6 26 已知数列 an满足 a1 1 an 1 1 2an 1 n 1 证明 数列an 1 2 为单调递减数列 2 记 Sn为数列an 1 an的前 n 项和 证明 Sn 0 函数 f x aexcosx x 0 记 xn为 f x 的从小到大的第 n n 个极值 点 1 证明 数列 f xn是等比数列 2 若对一切 n xn f xn恒成立 求 a 的取值范围 28 设数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn 1 a2Sn a1 其中 a2 0 第 4页 共 23页 1 求证 an是首项为 1 的等比数列 2 若 a2 1 求证 Sn n 2 a1 an 并给出等号成立的充要条件 29 设数列 an定义为 a1 a an 1 1 1 a1 a2 an 1 n 1 1 证明 存在正实数 a 使得 a1 a2 a3成等差数列 2 求实数 a 的取值范围 使得当 n 2 时 0 an 1 30 已知数列 an满足 a1 1 an 1 3n 3 an 4n 6 n n 1 证明 数列 an n 2 n 是等比数列 2 令 bn 3n 1 an 2 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 证明 bn 1 bn 2 b2n 2 S2 2 S3 3 Sn n 第 5页 共 23页 数列与不等式数列与不等式 30 大题大题答案答案 1 设 an公差为 d 则 bn a1 a2 an n 1 n na1 n n 1 2 d a1 n 1 2 d 所以 bn 1 bn a1 n 2 d a1 n 1 2 d d 2 b1 a1 根据等差数列的定义 得 bn是首项为 a1 公差为 d 2 的等差数列 2 1 依题意得 yn 1 yn xn 1 xn 1 xn 2 又 Anxn yn和 An 1xn 1 yn 1在曲线 C xy 1 上 所以 1 xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn 2 所以 xnxn 1 xn 2 即 xn 1 xn 2 xn 2 bn 1 xn 2 1 3 xn 1 3 xn 2 所以 bn 1 bn xn 1 1 3 xn 1 2 xn 1 3 xn 2 将 1 中的结论代入整理得 bn 1 bn 2 所以数列 bn是首项为 b1 1 x1 2 1 3 2 公比 q 2 的等比数列 3 由 2 知 bn 2 n 要使 cn 1 cn恒成立 即 cn 1 cn 3n 1 t 2 n 1 3n t 2 n 2 3n 3t 2 n 0 恒成立 所以 1 nt 3 2 n 1 恒成立 当 n 为奇数时 t 3 2 n 1 恒成立 所以 t 3 2 n 1 恒成立 所以 t 3 2 所以 3 2 t 2n 1 2 1 2n 2 2n 2 2n n 1 n 所以 Tn 1 2 2 1 2 2 3 n 1 n 1 4n 综上可得 对任意的 n 均有 Tn 1 4n 4 1 由已知可得 2an 1 an 1 2 1 所以 2an 1 2 an 1 即 2 an 1 1 an 1 所以 an 1 1 an 1 1 2 又 a1 1 2 所以 a1 1 1 2 1 1 2 所以数列 an 1 是以 1 2 为首项 1 2 为公比的等比数列 所以 an 1 1 2 1 2 n 1 所以 a n 1 1 2 n 2 证明 因为 a1 a2 an n 1 2 1 2 2 1 2 n n 1 2 1 2 1 2 n 1 1 2 n 1 1 2 n 所以 a1 a2 an n 1 1 1 2 n n 因为 n 是正整数 所以 0 1 2 n 1 所以 0 1 1 2 n 0 所以 a1 a2 an n k 57 对一切 n 都成立 只要 T1 1 3 k 57 即可 解得 k 0 所以 q 1 2 因为 a1 1 所以 an 1 2 n 1 2 因为 an 1 1 2 anbn 所以 1 2 n 1 2 anbn 所以 b n n 2n 1 所以 Tn 1 1 2 2 3 22 n 2n 1 所以 2Tn 1 2 2 22 3 23 n 2n 所以 得 Tn 1 2 22 2n 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 n 2n 1 所以 Tn 1 n 1 2n 因为 Tn m 恒成立 只需 Tn min m 因为 Tn 1 Tn n 2n 1 n 1 2n n 1 2n 0 所以 Tn为递增数列 所以当 n 1 时 Tn min 1 所以 m 1 所以 m 的最大值为 1 7 1 由已知得 an 1 an 1 又 a1 1 所以数列 an是以 1 为首项 公差为 1 的等差数列 故 an 1 n 1 1 n 2 证法一 由 1 知 an n 从而 bn 1 bn 2n bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 2 2 1 1 2n 1 2 2n 1 因为 bn bn 2 bn 1 2 2n 12n 2 1 2n 1 1 2 22n 2 2n 2 2n 1 22n 2 2 2n 1 1 5 2n 4 2n 2n 0 所以 bn bn 2 bn 1 2 证法二 因为 b2 1 bn 1 2n 1 bn 2n 第 8页 共 23页 bn bn 2 bn 1 2 bn 1 2nbn 1 2n 1 bn 1 2 2n 1 bn 1 2n bn 1 2n 2n 1 2nbn 1 2n 1 2nbn 2n 2nb1 2 2n 0 所以 bn bn 2 0 xy 0 x y 2 0 所以 x yx y 2 xy 0 所以 a b 0 an an 1 2 n 2 an是公差 d 2 的等差数列 而 4a1 a1 1 2 a1 1 an 2n 1 2 由 1 知 Sn 1 2n 1 n 2 n2 1 S1 1 S2 1 Sn 1 12 1 22 1 n2 1 n2 1 n n 1 1 n 1 1 n n 2 1 S1 1 S2 1 Sn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n 2 1 n 0 得 a1q2 b1 2d q2 1 2d a1 由 a1 a3 q2 1 从而 d 0 a5 b5 a1q4 b1 4d b1 2d1 2d a1 b1 4d 4d2 a1 0 所以 a5 b5 11 1 因为 an 1 1 Sn 第 9页 共 23页 所以当 n 2 时 an 1 Sn 1 由 两式相减 得 an 1 an an 即 an 1 2ann 2 因为当 n 1 时 a2 1 a1 2 所以 a2 a1 2 所以 an 1 an 2 n 所以数列 an是首项为 1 公比为 2 的等比数列 所以 an 2n 1 2 因为 bn 1 n 1 2 2n 1 所以 bn 1 2n 1 1 b1 b2 bn 1 n 1 2n 1 2 n2 1 因为 n2 1 2n 1 n n 2 由 n 3 得 n n 2 0 所以当 n 3 时 bn 1 1 b1 b2 bn 12 1 证明 因为数列 an中 a1 1 an 1 an an 3 n 所以 1 an 1 1 2 3 1 an 1 2 又 1 a1 1 2 3 2 所以 1 an 1 2 是以 3 2 为首项 3 为公比的等比数列 所以 1 an 1 2 3 2 3n 1 3n 2 所以 an 2 3n 1 2 因为 bn 3n 1 n 2n an n 2n 1 所以 Tn 1 1 20 2 1 2 3 1 22 n 1 2n 1 1 2 Tn 1 1 2 2 1 22 3 1 23 n 1 2n 得 1 2 Tn 1 20 1 2 1 22 1 2n 1 n 2n 1 1 2n 1 1 2 n 2n 2 n 2 2n 所以 Tn 4 n 2 2n 1 因为不等式 2n 1 2n 1Tn n 对一切 n 恒成立 所以 Tn n 2n 1 对一切 n 恒成立 所以 4 1 2n 2 对一切 n 恒成立 设 g n 4 1 2n 2 则 g n 是递增函数 所以 g 1 2 所以 2 13 1 当 n 1 时 S1 a2 3 所以 a2 4 第 10页 共 23页 当 n 2 时 由 Sn an 1 3 得 Sn 1 an 3 两式作差 得 an an 1 an 即 an 1 2an 所以数列 an从第二项起是等比数列 所以 an 1 n 1 4 2n 2 n 2 an 1 n 1 2n n 2 2 因为点 an bn在直线 y nx 1上 所以 bn n an 1 n 1 n 2n n 2 n 1 时 T1 1 n 2 时 因为 Tn 1 2 22 3 23 4 24 n 2n 所以 1 2 Tn 1 2 2 23 3 24 n 2n 1 由 得 1 2 Tn 1 2 2 22 1 23 1 2n n 2n 1 1 22 1 2 1 22 1 2n n 2n 1 1 22 1 1 2 n n 2n 1 5 4 n 2 2n 1 所以 n 2 时 Tn 5 2 n 2 2n 经检验 n 1 时也成立 综上 Tn 5 2 n 2 2n 3 Tn Bn n 2 2n n2 2n n2 n 2 2n n 2n 1 2n 所以 n 1 时 T1 B1 0 所以 T1 0 所以 Tn Bn 14 1 设等差数列 an的公差为 d 则 2 a2 3q 且 a2 q2 即有 q2 3q 2 0 解得 q 2 或 1 舍去 即有 a2 4 d 2 则 an 2n bn 2n 1 2 cn 2bn 3 an 2 2n 3n 由题意可得 cn 1 cn对 n 恒成立 即有 2n 1 3n 1 2n 即 2 2 3 n 对 n 恒成立 由 f n 2 3 n 为递减数列 即有 f n 的最大值为 f 1 2 3 则有 2 2 3 解得 1 3 故实数 的取值范围为 1 3 15 设这种汽车使用 x 年时 它的年平均费用为 y 万元 则 y 10 0 9x 0 2 0 4 0 6 0 2x x 10 0 9x 0 2 0 2x x 2 x 0 1x2 x 10 x 0 1x 10 x 1 3 当且仅当 0 1x 10 x 即 x 10 时 ymin 3 因此 使用 10 年时 年平均费用最小 最小值是 3 万元 16 假设存在一个等差数列 an 使 Sn S2n k 且 a1为首项 d 为公差 由 Sn S2n k 得 a1n n n 1 2 d 2a1n 2n 2n 1 2 d k 整理 得 d 1 4k n 2a1 d2k 1 0 式是关于 n 的一元一次方程 且对 n 都成立 只需 d 1 4k 0 2a1 d2k 1 0 即 d 0 k 1 2 或 d 2a1 k 1 4 i 当 d 0 时 Sn S2n 1 2 ii 当 d 2a1时 Sn S2n 1 4 17 1 证明 由已知得 an 1 3an 2an 3 两边取倒数得 1 an 1 1 an 2 3 又 1 a1 1 所以 1 an 是首项为 1 公 差为 2 3 的 等差数列 2 由 1 得 1 an 1 2 3 n 1 所以 an 3 2n 1 所以 bn anan 1 9 2n 12n 1 9 2 1 2n 1 1 2n 1 n 2 所以 第 12页 共 23页 Sn b1 b2 bn 3 9 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n 1 1 2n 1 3 9 2 2n 2 3 2n 1 3 3 n 1 2n 1 9 2 9 2 2n 1 n 2 显然当 n 2 时 Sn单调递增且 Sn 9 2 又 S1 3 S2 18 5 所以 3 Sn 9 2 若 Sn 0 所以 xn 1 xn的符号与 xn xn 1的符号相同 依次类推 我们只需要证明 x2 x1 0 因为 x2 x1 p2 1 p2 p 1 p p 1p 1 p2 而 0 p 1 所以 p 1 1 p2 所以 p 1 0 p 1 p2 0 所以 xn 1 xn 0 即 xn 1 xn 19 1 因为an nban 1 an 1 n 1 所以 an n ban 1 an 1 n 1 所以 n an 1 b n 1 an 1 1 b 当b 1 时 n an n 1 an 1 1 则 n an 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 所以 n an 1 n 1 1 n 第 13页 共 23页 即 an 1 当b 0 且 b 1 时 n an 1 1 b 1 b n 1 an 1 1 1 b 当 n 1 时 1 a1 1 1 b 1 b 1 b 所以 n an 1 1 b 是以 1 b 1 b 为首项 1 b 为公比的等比数列 所以 n an 1 1 b 1 1 b 1 b n 所以 n an 1 1 b bn 1 1 b 1 bn 1 b bn 所以 an n 1 b bn 1 bn 综上所述 an n 1 b bn 1 bn b 0 且 b 1 1 b 1 2 当b 1 时 2an bn 1 1 2 当b 0 且 b 1 时 1 bn 1 b1 b bn 2 bn 1 要证 2an bn 1 1 只需证 2n 1 b bn 1 bn bn 1 1 即证 2n 1 b 1 bn b 1 bn 即证 2n 1 b bn 2 bn 1 b 1 bn 即证 b 1 bn 1 b bn 2 bn 1 2n 即证 b b2 bn 1 bn 1 bn 1 bn 1 1 b2 1 b 2n 因为 第 14页 共 23页 b b2 bn 1 bn 1 bn 1 bn 1 1 b2 1 b b 1 b b2 1 b2 bn 1 1 bn 1 bn 1 bn 2 b 1 b 2 b2 1 b2 2 bn 1 1 bn 1 2 bn 1 bn 2n 所以 原不等式成立 所以对于一切正整数 n 2an bn 1 1 20 1 x2 x1 2 2 p 1 p 2 2 p2 1 p2 x3 x2 2 2 p2 1 p2 2 2 p4 1 p4 x4 x2 2 2 p4 1 p4 2 2 p8 1 p8 2 猜想 xn p2 n 1 1 p2n 1 下面用数学归纳法证明 当 n 1 时 x1 p 1 p 结论成立 假设当 n k 时 结论成立 即 xk p2 k 1 1 p2k 1 当 n k 1 时 因为 xk 1 xk 2 2 所以 xk 1 p2 k 1 1 p2k 1 2 2 p2 k 1 p2k 即 n k 1 时 结论成立 所以 xn p2 n 1 1 p2n 1 对 n 成立 3 因为 xn 1 xn 2 2 xn xn 1 2 2 所以 xn 1 xn xn 2 xn 1 2 xn xn 1xn xn 1 而由 2 知道 xn p2 n 1 1 p2n 1 0 所以 xn 1 xn的符号与 xn xn 1的符号相同 依次类推 我们只需要证明 x2 x1 0 因为 x2 x1 p2 1 p2 p 1 p p 1p 1 p2 而 0 p 1 所以 p 1 1 p2 所以 p 1 0 p 1 p2 0 所以 xn 1 xn 0 即 xn 1 xn 21 1 依题意有 2 a 0 M Q 10a2 83a 181 0 所以 M 最大 又 P Q 24 3a 第 15页 共 23页 当 2 a 8 时 P Q lgP 1 lgQ 解得 a 1 2 满足 lgM 1 lgQ 当 8 a Q lgP 1 lgQ 解得 a 86 7 不满足 lgM 1 lgP 所以 an的前三项为 lgP lgQ lgM 此时 a 1 2 因此 an lgP n 1 1 n 2lg2 2 因为 2an 1 an an 2 所以 f x 0 时 anx2 an an 2x an 2 0 即 x 1anx an 2 0 所以 bn x1 x2 an 2 an 1 2 an 又因为 an n 2lg2 0 所以 bn 2 an 所以 bn 1bn 2 an 1 2 an 4 1 an 1 1 an n 2 所以 Tn 1 4 b1b2 b2b3 bn 1bn 1 4 4 1 a1 1 a2 1 a2 1 a3 1 an 1 1 an 1 a1 1 an 1 1 2lg2 1 n 2lg2 n 1 1 2lg2n 2lg2 n 2 22 1 an 1 3an 2an 1 1 an 1 2 3 1 3an 即 1 an 1 1 1 3 1 an 1 又 1 a1 1 2 3 0 1 an 1 是以 2 3 为首项 1 3 为公比的等比数列 1 an 1 2 3 1 3n 1 2 3n an 3n 3n 2 2 an 1 1 x 1 1 x 2 2 3n x 3n 3n 2 1 1 x 1 1 x 2 2 3n x 3n 2 x2 4 3n x 4 3n 2 3n 1 x 2 3n x 2 2 3n 2 3n 1 x 2 0 第 16页 共 23页 3 由 an 3n 3n 2 1 2 3n 2 知 a1 a2 an n 2 1 5 1 11 1 3n 2 n 2 5 当 n 1 时等号成立 n 2 5 a1 a2 an 由 2 知 对于任意 x 0 有 a1 a2 an n 1 x 1 1 x 2 2 3 2 32 2 3n nx 取 x 2 3 2 32 2 3n n 2 3 1 1 3n n 1 1 3 1 n 1 1 3n 则 a1 a2 an n 1 1 n 1 1 3n n2 n 1 1 3n n2 n 1 故 n 2 5 a1 a2 an n2 n 1 23 1 由 3anan 1 an an 1 0 n 2 得 1 an 1 an 1 3 n 2 所以数列 1 an 是以 1 为首项 3 为公差的等差数列 2 由 1 可得 1 an 1 3 n 1 3n 2 所以 an 1 3n 2 3 由 an 1 an 1 对 n 2 的整数恒成立 即 3n 2 3n 1 对 n 2 n 恒成立 整理得 3n 13n 2 3 n 1 n 2 n 令 Cn 3n 13n 2 3 n 1 Cn 1 Cn 3n 43n 1 3n 3n 13n 2 3 n 1 3n 13n 4 3n n 1 因为 n 2 所以 Cn 1 Cn 0 所以 Cn为单调递增数列 C2最小 且 C2 28 3 故 的取值范围为 28 3 24 1 将 3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 1 an 1 an 1 3 n 2 所以数列 1 an 是以 1 为首项 3 为公差的等差数列 2 由 1 可得 1 an 1 3 n 1 3n 2 所以 an 1 3n 2 3 an 1 an 1 对任意 n 2 的整数恒成立 即 3n 2 3n 1 对任意 n 2 的整数恒成立 整理得 3n 13n 2 3 n 1 令 cn 3n 13n 2 3 n 1 则 cn 1 cn 3n 43n 1 3n 3n 13n 2 3 n 1 3n 13n 4 3n n 1 因为 n 2 所以 cn 1 cn 0 所以数列 cn为单调递增数列 所以 c2最小 c2 28 3 第 17页 共 23页 所以 的取值范围为 28 3 25 1 由已知 对 n 2 有 1 an 1 n an n 1 an n n 1 an 1 n 1 两边同除以 n 得 1 nan 1 1 n 1 an 1 n n 1 即 1 nan 1 1 n 1 an 1 n 1 1 n 于是 k 2 n 1 1 kak 1 1 k 1 ak k 2 n 1 1 k 1 1 k 1 1 n 1 即 1 n 1 an 1 a2 1 1 n 1 n 2 所以 1 n 1 an 1 a2 1 1 n 1 3n 2 n 1 所以 an 1 3n 2 n 2 又 n 1 时也成立 故 an 1 3n 2 n 2 当 k 2 有 ak 2 1 3k 2 2 1 3k 43k 1 1 3 1 3k 4 1 3k 1 所以 n 2 时 有 k 1 n ak 2 1 k 2 n ak 2 1 1 3 1 2 1 5 1 5 1 8 1 3n 4 1 3n 1 1 1 3 1 2 1 3n 1 1 1 6 7 6 又 n 1 时 a1 2 1 7 6 故对一切 n 有 k 1 n ak 2 0 故 an 1 1 2 an 1 2 1 2an 1 1 所以数列an 1 2 为单调递减数列 2 证明 因为 a1 1 a2 1 3 所以 当 n 3 时 an 1 2 1 6 得 1 3 an 2 3 故 an 1 3 n 因为 第 18页 共 23页 an 2 an 1 an 1 an 2 2an 3 6 11 故 an 1 an a2 a1 6 11 n 1 所以 Sn a2 a1 1 6 11 n 1 6 11 22 15 5 3 n 27 1 f x aexcosx aexsinx 2aexcos x 4 令 f x 0 由 x 0 得 x 4 m 2 即 x m 3 4 m 而对于 cos x 4 当 k 时 若 2k 2 x 4 2k 2 即 2k 3 4 x 0 若 2k 2 x 4 2k 3 2 即 2k 4 x 2k 5 4 则 cos x 4 0 设 g t et t t 0 则 g t ett 1 t2 由 g t 0 得 t 1 当 0 t 1 时 g t 1 时 g t 0 所以 g t 在 1 上单调递增 因为 x1 0 1 且当 n 2 时 xn 1 xn 1 且 a2 0 由 1 知 a1 1 an a2 n 1 所以要证的不等式化为 1 a2 a2 2 a2 n 1 n 2 1 a2 n 1 n 3 即证 1 a2 a2 2 a2 n n 1 2 1 a2 n n 2 当 a2 1 时 上面不等式的等号成立 当 1 a2 1 时 a2 r 1 与 a2 n r 1 r 1 2 n 1 同为正 因此当 a2 1 且 a2 1 时 总有 a2 r 1a2 n r 1 0 即 a2 r a2 n r 1 a2 n r 1 2 n 1 上面不等式对 r 从 1 到 n 1 求和得 2 a2 a2 2 a2 n 1 n 11 a2 n 由此得 第 20页 共 23页 1 a2 a2 2 a2 n 1 且 a2 0 时 有 Sn n 2 a1 an 当且仅当 n 1 2 或 a2 1 时等号成立 证法二 当 n 1 或 2 时 显然 Sn n 2 a1 an 等号成立 当 a2 1 时 Sn n n 2 a1 an 等号也成立 当 a2 1 时 由 1 知 Sn 1 a2 n 1 a2 an a2 n 1 下证 1 a2 n 1 a2 1 且a2 1 当 1 a2 1 时 上面不等式化为 n 2 a2 n na2 na2 n 1 n 2 n 3 令 f a2 n 2 a2 n na2 na2 n 1 当 1 a2 0 故 f a2 n 2 a2 n na21 a2 n 2 n 2 a2 n n 2 即所要证的不等式成立 当 0 a2 1 时 求导得 f a2 n n 2 a2 n 1 n 1 a2 n 2 1 ng a2 其中 g a2 n 2 a2 n 1 n 1 a2 n 2 1 则 g a2 n 2n 1a2 1 a2 n 3 g 1 0 从而 f a2 ng a2 0 进而 f a2是 0 1 上的增函数 因此 f a2 1 时 令 b 1 a2 则 0 b 1 由已证的结论知 1 1 a2 n 1 1 a2 1 且 a2 0 时 有 Sn n 2 a1 an 当且仅当 n 1 2 或 a2 1 时等号成立 29 1 a1 a a2 1 1 a1 1 a a 1 a3 1 1 a1 a2 1 a2 a2 a 1 当 a1 a2 a3成等差数列时 2a2 a1 a3 即 2a a 1 a a2 a2 a 1 当 a 0 时 有 2 a 1 a2 1 a2 a 1 则 a 3 3a2 3a 3 0 第 21页 共 23页 设 f a a3 3a2 3a 3 则 f 2 1 0 f a a3 3a2 3a 3 在 2 3 上有 零点 所以存在正实数 a 2 3 使得 a1 a2 a3成等差数列 2 由题意 有 an 1 1 a1 a2 an 1 1 则 1 an 1 a1 a2 an 1 1 显然 an 1 所以 a1 a2 an 1 1 1 an 1 an an 1 n 2 当 n 2 时 an 1 1 1 a1 a2 an 1 an 1 1 1 an an 1 an 1 an 2 an 2 an 1 0 因为当 n 2 时 0 an 1 所以 a2 a a 1 0 1 解得 a 0 下面证明当 a 0 时 对任意整数 n 2 有 0 an 1 an 1 an an 2 an 2 an 1 an anan 1 2 an 2 an 1 0 所以 an 1 an 故当 n 2 时 数列 an递减 因此