静电场、稳恒磁场及电磁感应习题及解答.pdf

大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Created by XCH Page 35 3 18 2010 7 计算题 结合后系统的动能 2222 2 r2 m4 2 1 2 1 mr 2 1 2 1 E 2 1 2 2 mr 17 1 4 1 E 2 1 2 21 mr 17 4 EEE 7 一轮绳绕过一半径为R 质量为4 M的滑轮 质量为M的人 抓住绳的一端 而绳的另一端系一质量为2 M重物 求当人相对于 绳匀速上爬时重物上升的加速度为多少 研究对象为滑轮 人和物体 受力分析如图所示 根据刚体绕 固定轴的转动定理和牛顿定律 列出运动方程 MaTMg 1 2 Ma2 MgT2 2 21 R 4 M 2 1 RTRT 将滑轮看作是均质圆盘 因为人相对于绳子是匀速运动 所以 R a aa 将MaMgT1 g 2 M a 2 M T2 代入 2 21 R 4 M 2 1 RTRT 得到 g 13 4 a 单元六 库仓定律 电场 电场强度 一 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 下列几种说法中哪一个是正确的 C A 电场中某点场强的方向 就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 B 在以点电荷为中心的球面上 由该点电荷所产生的场强处处相同 C 场强方向可由 q F E 定义给出 其中q为试验电荷的电量 q可正 可负 F 为试验电荷 所受的电场力 D 以上说法都不正确 2 一带电体可作为点电荷处理的条件是 C A 电荷必须呈球形分布 B 带电体的线度很小 C 带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计 D 电量很小 3 在坐标原点放一正电荷Q 它在P点 X 1 Y 0 产生的电场强度为E 现在 另外有一 个负电荷 2Q 试问应将它放在什么位置才能使 P 点的电场强度等于零 C A X轴上x 1 B X轴上0 x 1 C X轴上x0 E Y轴上y 0 3 选择题 4 选择题 5 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 36 3 18 2010 8 选择题 1 计算题 4 在一个带有正电荷的均匀带电球面外 放置一个电偶极子 其电矩p 的方向如图所示 当释放 后 该电偶极子的运动主要是 D A 沿逆时针方向旋转 直至电矩p 沿径向指向球面而停止 B 沿顺时针方向旋转 直至电矩p 沿径向朝外而停止 C 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外 同时沿电力线方向远离球面移动 D 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外 同时逆电力线方向向着球面移动 5 图中所示为一沿X轴放置的 无限长 分段均匀带电直线 电荷线密度分别为 0 x 和 0 x 则OXY坐标平面上点 0 a 处的场强E 为 B A 0 B i a2 0 C i a4 0 D ji a4 0 6 真空中两平行带电平板相距为d 面积为S 且有d2 L 作一球面 如图所示 则通过该球面的电场 强度通量为 0 l 带电直线延长线与球面交点P处的电场强度 的大小为 22 0 lR4 1l 沿着矢径OP方向 二 计算题二 计算题 4 选择题 6 选择题 5 选择题 7 选择题 8 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 41 3 18 2010 1 计算题 4 计算题 1 如图所示 在点电荷q的电场中 取半径为R的圆平面 q在该平面的轴线上的A点处 试计算通过这圆平面的 电通量 在圆平面上选取一个半径为r 宽度为dr 的环形面积 元 通过该面积元的电通量为 SdEd cos xr rdr2 4 q d 22 0 通过圆平面的电通量 222 0 R 0 xr xrdr2 4 q xR x 1 2 q 22 0 2 两个均匀带电的同心球面 分别带有净电荷qq 12 和 其中q1为内球的电荷 两球之间的电场为 2 r 3000牛顿 库仑 且方向沿半径向内 球外的场强为 2 r 2000牛顿 库仑 方向沿半径向外 试求 21 qq 和各等于多少 根据题意 21 RrR 22 0 1 r 3000 r4 q 01 12000q C10 3 1 q 16 1 2 Rr 22 0 21 r 2000 r4 qq 021 8000qq 02 20000q C10 9 5 q 16 2 3 两个无限长同轴圆柱面 半径分别为 RR R R 1221 带有等值异号电荷 每单位长度的电量 为 试分别求出当 1 rR 1 2 rR 2 3 R rR 12 时离轴线为r处的电场强度 设内圆柱面带正电 外圆柱面带负电 选取半径为r 长度为l的圆柱面为高斯面 穿过高斯 面的电通量 SdESdESdESdE S e 下底上底侧面 因为 0SdESdE 下底上底 所以 当0E Rr 1 当0E Rr 2 当 21 RrR 根据高斯定理得到 0 l lEr2 r2 E 0 4 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷 若保持电 荷分布不变 在该球体内挖去半径为r的一个小球体 球心 为O 两球心间距离d OO 如图所示 求 1 在球形空腔内 球心O 处的电场强度 o E 2 在球体内P点处的电场强度E 设O O P三点在 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 42 3 18 2010 同一直径上 且dOP O 的电场是电荷体密度为 的球体和电荷体密度为 半径为r的球体共同产生的 小球心O rR EEE 根据高斯定理 3 0 R 2 d 3 41 Ed4 3 2 0 R d 3 4 d4 1 E 0 R 3 d E 方向沿 OO 电荷体密度为 半径为r的球体在O 产生的电场 0Er RrR EEEE 0 3 d E 方向沿 OO P点的电场强度可以看作是电荷体密度为 的球体和电荷体密度为 半径为r的球体共 同产生的 rRP EEE 根据高斯定理可以得到 0 R 3 d E 方向沿OP 2 0 3 r d12 r E 方向沿P O d4 r d 3 EEE 2 3 0 rRP 方向沿OP 单元七 静电场环路定理 电势能 电势和电势差 一 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 静电场中某点电势的数值等于 C A 试验电荷 0 q置于该点时具有的电势能 B 单位试验电荷置于该点时具有的电势能 B 单位正电荷置于该点时具有的电势能 D 把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功 2 如图所示 CDEF是一矩形 边长分别为l和2l 在DC延长线上CA l处的A点有点电荷 q 在CF的中点B点有点电荷 q 若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点 则电场力所作 的功等于 D A l5 15 l4 q o B 5 51 l4 q o C 3 13 l4 q o D 5 15 l4 q o 2 选择题 3 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 43 3 18 2010 5 选择题 1 计算题 3 如图所示 边长为a的等边三角形的三个顶点上 放置着三个正的点电荷 电量分别为q 2q 3q 若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处 外力所作的功为 C A a4 qQ32 o B a4 qQ34 o C a4 qQ36 o D a4 qQ38 o 4 一电量为Q的点电荷固定在空间某点上 将另一电量为q的点电荷放在与Q相距r处 若设两 点电荷相距无限远时电势能为零 则此时的电势能 r 1 4 qQ W 0 e 5 如图所示 在带电量为q的点电荷的静电场中 将一带电量 为qo的试验电荷从a点经任意路径移动到b点 外力所作的功 r 1 r 1 4 qq A ab0 0 1 电场力所作的功 r 1 r 1 4 qq A ba0 0 2 6 真空中电量分别为q1和q2的两个点电荷 当它们相距为r 时 该电荷系统的相互作用电势能 r 1 4 qq W 0 21 设当两个点 电荷相距无穷远时电势能为零 7 一偶极矩为p 的电偶极子放在场强为E 的均匀外电场中 p 与E 的夹角为 角 在此电偶极子 绕垂直于 p E 平面的轴沿 角增加的方向转过180 的过程中 电场力做的功为 cospE2A 8 一电子和一质子相距m102 10 两者静止 将此两粒子分开到无穷远距离时 两者仍静止 需要 的最小能量是eV2 7 J106 1eV1 C mN109 4 1 19229 o 二 计算题二 计算题 1 如图 OCD l 2AB 是以B为中心 l为半径的半圆 A B处分别有正负电荷q q 试问 1 把单位正电 荷从O沿OCD移动到D 电场力对它作了多少功 2 把单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远 电场力 对它作了多少功 无穷远处为电势零点 两个电荷构成的电荷系在O点 和D点的电势为 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 44 3 18 2010 1 选择题 0 L4 q L4 q U 00 O L6 q L4 q L3 1 4 q U 000 P 1 单位正电荷从O沿OCD移动到D 电场力做的功 UU 1 A PO L6 q A 0 2 单位负电荷从D沿AB延长线移动到无穷远 电场力做的功 UU 1 A P 0 L6 q A 0 L6 q A 0 2 在氢原子中 正常状态下电子到质子的距离为5 29 10 11 m 已知氢原子核 质子 和电子带 电量各为 e和 e e 1 6 10 19C 把原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处 所需的能量叫做氢原子的电离能 求此电离能是多少电子伏特 在正常状态下电子的速度满足 r v m r 1 4 e 2 2 o 2 电子的动能 2 k mv 2 1 E r 1 8 e E o 2 k 电子的电势能 r 2 o 2 P dr r 1 4 e E r 1 4 e E o 2 P 电子的总能量 r 1 8 e EEE o 2 Pk 氢原子的电离能 EEW 0E eV6 13 r 1 8 e W o 2 单元七 电势和电势差 电势与电场强度的微分关系 二 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 在点电荷 q的电场中 若取图中P点处为电势零点 则M点的电势为 D A a4 q o B a8 q o C a4 q o D a8 q o 2 半径为r的均匀带电球面1 带电量为q 其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2 带电量 为Q 则此两球面之间的电势差UU 12 为 A 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 45 3 18 2010 A R 1 r 1 4 q o B r 1 R 1 4 Q o C R Q r q 4 1 o D r4 q o 3 平行板电容器两极板 看作很大的平板 间的相互作用力F与两极板间的电压U的关系是 D A UF B U 1F C 2 U 1F D 2 UF 4 在静电场中 有关静电场的电场强度与电势之间的关系 下列说法中正确的是 C A 场强大的地方电势一定高 B 场强相等的各点电势一定相等 C 场强为零的点电势不一定为零 D 场强为零的点电势必定是零 5 在电量为q的点电荷的静电场中 若选取与点电荷距离为 0 r的一点为电势零点 则与点电荷距离 为r处的电势 r 1 r 1 4 q U 00 6 一半径为R的均匀带电圆盘 电荷面密度为 设无穷远处为电势零点 则圆盘中心O点的电 势 0 O 2 R U 7 电量分别为q qq 123 的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上 如图所示 设无穷远处为电势 零点 圆半径为R 则b点处的电势 q2qq2 R8 1 U 321 0 8 AC为一根长为l 2的带电细棒 左半部均匀带有负电荷 右半部均匀带有正电荷 电荷线密度分 别为 和 如图所示 O点在棒的延长线上 距A端的距离为lP 点在棒的垂直平分线上 到棒的垂直距离为l 以棒的中心B为电势的零点 则O点电势 4 3 ln 4 U 0 O P点电势0UP 9 一 无限长 均匀带电直线沿Z轴放置 线外某区域的电势表达式为 yxln AU 22 式中A 7 选择题 8 选择题 10 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 46 3 18 2010 为常数 该区域的场强的两个分量为 22 x yx Ax2 E 0Ez 10 如图所示 在一个点电荷的电场中分别作三个电势不同的等势面A B C 已知UUU ABC 且UUUU ABBC 则相邻两等势面之间的距离的关系是 BCAB RRRR 11 一均匀静电场 电场强度 mV j600i400 E 1 则点a 3 2 和点b 1 0 之间的电势 差V2000Uab x y以米计 二 计算题二 计算题 1 电荷q均匀分布在长为l 2的细直线上 试求 1 带电直线延长线上离中心O为z处的电势和电强 无穷远处为电势零点 2 中垂面上离带电直线中心O为r处的电势和场强 1 带电直线上离中心O为z 处的电荷元dq dz 在P点产生的电势 zz dz 4 1 zz dq 4 1 dU 00 带电直线在P点的电势 zz dz 4 1 dUU 0 l lL P lz lz ln l8 q U 0 P P点的电场强度 z U E lz 4 q E 22 0 k lz 4 q E 22 0 2 带电直线上离中心O为z处的电荷元dq dz在P点产生的电势 22 0 22 0rz dz 4 1 rz dq 4 1 dU 带电直线在P点的电势 l l 22 0 L P rz dz 4 1 dUU 1 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 47 3 18 2010 r rll ln l4 q U 22 0 P P点的电场强度 r U E lr r4 q E 22 0 0 22 0 r lr r4 q E 2 电荷面密度分别为 和 的两块 无限大 均匀带电平行平面 分别与X轴垂直相交于 xa xa 12 两点 设坐标原点O处电势为零 试求空间的电势分布表示式并画出曲线 空间电场强度的分布 ax 0E axa iE 0 xa 0E 根据电势的定义 l dEU 0 r ax l dEl dEU 0 a a r l dEU 0 a dxU 0 0 a aU 0 axa l dEU 0 x dxU 0 0 x xU 0 xa l dEl dEU 0 a a r l dEU 0 a dxU 0 0 a aU 0 3 如图所示 两个电量分别为 9 1 1020q C和C1012q 9 2 的点电荷 相距5m 在它们 2 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 48 3 18 2010 3 计算题 的连线上距q2为1m处的A点从静止释放一电子 则 该电子沿连线运动到距q1为1m处的B点时 其速度 多 大 电 子 质 量 kg1011 9m 31 e 基 本 电 荷 C106 1e 19 229 o c mN1000 9 4 1 根据动能定理 静电力对电子做的功等于电子动能 的增量 UU emv 2 1 BA 2 1 1 4 q 4 1 4 q U o 2 o 1 A V63UA 4 1 4 q 1 1 4 q U o 2 o 1 B V153UB m UU e2 v BA s m107 8v 6 单元八 静电场中的导体 电容 电场能量 一 一一 选择 填空题选择 填空题 1 三块互相平行的导体板 相互之间的距离dd 12 和 且比板面积线度小得多 外面二板用导线连 接 中间板上带电 设左右两面上电荷面密度分别为 12 和 如图所示 则比值 12 B A 21 d d B 12 d d C 1 D 1 2 2 2 d d 2 两个同心簿金属球壳 半径分别为RRRR 1221 和 若分别带上电量为qq 12 和的电荷 则两者 的电势分别为UU 12 和 选无穷远处为电势零点 现用导线将两球壳相连接 则它们的电势为 B A 1 U B 2 U C 21 UU D UU 2 1 21 3 如图所示 两块很大的导体平板平行放置 面积都是S 有一定厚度 带电量分别为QQ 12 和 如 不计边缘效应 则A B C D四个表面上的电荷面密度分别为 S2 QQ 21 1 S2 QQ 21 2 S2 QQ 21 3 S2 QQ 21 4 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 49 3 18 2010 4 如图所示 把一块原来不带电的金属板B 向一块已带有正电荷Q的金属板A移近 平行放置 设两板面积都是S 板间距离是d 忽略边缘效应 当B板不接地时 两板间电势差 s d 2 Q U 0 AB B板接地时 s dQ U 0 AB 5 如图所示 两同心导体球壳 内球壳带电量 q 外球壳带电量 2q 静电平衡时 外球壳的电荷 分布为 内表面q 外表面q 6 一带电量为q 半径为rA的金属球A 与一原先不带电 内外半径分别为 B r和 C r的金属球壳B 同心放置 如图 则图中P点的电场强度r r4 q E 2 0 如果用导线将A B连接起来 则A球 的电势 C0r 4 q U 设无穷远处电势为零 7 一平板电容器充电后切断电源 若改变两极板间的距离 则下述物理量中哪个保持不变 B A 电容器的电容量 B 两极板间的场强 C 两极板间的电势差 D 电容器储存的能量 8 两个半径相同的孤立导体球 其中一个是实心的 电容为C1 另一个是空心的 电容为C2 1 选择题 3 选择题 4 选择题 10 选择题 6 选择题 5 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 50 3 18 2010 1 计算题 则 21 CC 填 9 两电容器的电容之比为C1 C2 1 2 1 把它们串联后接到电压一定的电源上充电 它们的 电能之比是 1 2 W W 2 1 2 如果是并联充电 电能之比是 2 1 W W 2 1 3 在上述两种情况下电容器系 统的总电能之比又是 9 2 W W 10 两只电容器 F2C F8C 21 分别把它们充电到1000V 然后将它们反接 如图所示 此时两极板间的电势差为 C A 0V B 200V C 600V D 1000V 二 计算题二 计算题 1 一电容器由两个同轴圆筒组成 内筒半径为a 外筒半 径为b 筒长都是L 两圆筒之间是真空 内 外筒分别 带有等量异号电荷 Q和 Q 设b a b 可 以忽略边缘效应 求 1 圆柱形电容器的电容 2 电容器贮存的能量 忽略边缘效应 将两同轴圆筒导体看作是无限长带电 体 根据高斯定理可以得到两同轴圆筒导体之间的电 场强度为 Lr2 Q E 0 同轴圆筒之间的电势差 a b ln L2 Q l dEUU 0 21 根据电容的定义 a b ln L2 UU Q C 0 21 静电场能量密度 DE 2 1 w 将 Lr2 Q D 和 Lr2 Q E 0 代入 得到 2 0 Lr2 Q 2 1 w 半径为r 厚度为dr的薄圆柱壳的体积 Lrdr2dV 该体积元存贮的静电能 Lrdr2 Lr2 Q 2 1 dW 2 0 电容器贮存的能量 Lrdr2 Lr2 Q 2 1 W b a 2 0 a b ln L4 Q W 0 2 2 两根平行 无限长 均匀带电直导线 相距为d 导线半径都是R R d 导线上电荷线密度分 别为 和 试求该导体组单位长度的电容 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 51 3 18 2010 3 计算题 2 计算题 假设直导线A B上单位长度分别带电 导线表面的 电荷可以看作是均匀分布 根据导体静电平衡的条件 导线内 部的场强为零 两轴线在平面内任意一点产生的电场分别为 x2 E 0 1 xd 2 E 0 2 平面内一点的电场强度 21 EEE xd 1 x 1 2 E 0 导线之间的电势差 B A AB l dEU dx xd 1 x 1 2 U 0 Rd R AB R Rd lnU 0 AB 单位长度的分布电容 AB U C R Rd ln C 0 考虑到R a b 所以两个球可以看作是孤立导体球 设两球到达静电平衡后 表面的面电荷密 度为 1和 2 两个球的电势相等 21 UU b q 4 1 a q 4 1 2 0 1 0 aqbq 21 根据电荷守恒定律 Qqq 21 Q ba a q1 Q ba b q2 a q 4 1 U 0 ba Q 4 1 U 0 根据电容的定义 ba 4 U Q U 0 4 一电容为C的空气平行板电容器 接上端电压U为定值的电源充电 在电源保持连接的情况下 试求把两个极板间距离增大至n倍时外力所作的功 设原来两极板的距离为d 此时电容器的储能 2 1 CU 2 1 W 把两个极板间距离增大至nd时 此时电容器的储能 2 2 U C 2 1 W nd S C 0 C n 1 C 2 2 CU n2 1 W 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 52 3 18 2010 1 选择题 在此过程中外力和电源做的功等于电容器电场能的变化 1221 WWAA 电源做的功 t 0 1 UIdtA QUIdtUA t 0 1 UC UCQ QQ n n1 UC C C UQ 2 1 CU n n1 A 外力做的功 1122 A WW A 22 2 CU n n1 CU n2 n1 A 2 2 CU n2 1n A 0CU n2 1n A 2 2 外力做的功为正 5 若把电子想象为一个相对介电常数1 r 的球体 它的电荷 e在球体内均匀分布 假设电子的 静电能量等于它的静止能量m0c2时 m0为电子的静止质量 c为真空中的光速 求电子半径R 设电子的半径为R 根据高斯定理得到电子产生的电场和电场能量分布为 Rr0 3 0 1 R r 4 e E 2 3 0 01 R r 4 e 2 1 w Rr 2 0 2 r 1 4 e E 2 2 0 02 r4 e 2 1 w 半径为r 厚度为dr的薄球层壳的体积 drr4dV 2 电子的静电能 dVwW V R 22 2 0 0 R 0 22 3 0 0 drr4 r4 e 2 1 drr4 R r 4 e 2 1 W R 1 20 e3 R 1 8 e R 1 40 e W 0 2 0 2 0 2 令 2 0c mW 2 0 0 2 cm R 1 20 e3 电子的半径 2 00 2 cm 1 20 e3 R 单元八 电介质中的电场 二 一一 选择 填空题选择 填空题 1 一电量为 q的点电荷放在有一定厚度的各向同性 均匀电介 质球壳的中心 如图所示 则图中带箭头的线全部是电力线 A A 全部是电力线 B 全部是电位移线 C 短的是电力线 长的是电位移线 D 短的是电位移线 长的是电力线 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 53 3 18 2010 2 两个点电荷在真空中相距dcm 1 7 时的相互作用力与在煤油中相距dcm 2 5 时的相互作用力 相等 则煤油的相对介电常数96 1 r 3 在相对介电常数为 r的各向同性的电介质中 电位移矢量与场强之间的关系是ED 0r 4 分子的正负电荷中心重合的电介质叫做无极分子电介质 在外电场作用下 分子的正负电荷中心 发生相对位移 形成电偶极子 5 一平行板电容器 充电后与电源保持联接 然后使两极板间充满相对介电常数为 r的各向同性均 匀电介质 这时两极板上的电量是原来的 r 倍 电场强度是原来的 1 倍 6 一个平行板电容器的电容值C 100 pF 有介质时的电容 面积 2 cm100S 两板间充以相对介 电 常 数 为6 r 的 云 母 片 当 把 它 接 到50V的 电 源 上 时 云 母 中 电 场 强 度 的 大 小 C N1042 9E 3 金属板上的自由电荷电量C105q 9 mN C1085 8 2212 0 7 一平行板电容器 两板间充满各向同性均匀电介质 已知相对介电常数为 r 若极板上的自由电 荷面密度为 则介质中电位移的大小 D 电场强度的大小 0r E 8 用力F把电容器中的电介质板拉出 在图 A 和 B 的两种情况下 电容器中储存的静电能量将 D A 都增加 B 都减少 C a 增加 b 减少 D a 减少 b 增加 9 电容为C0的平板电容器 接在电路中 如图所示 若将相对介电常数为 r的各向同性均匀电介 质插入电容器中 填满空间 则此时电容器的电容为原来的 r 倍 电场能量是原来的 r 倍 10 平行板电容器两极板间为d 极板面积为s 在真空时的电容 自由电荷面密度 电势差 电场 强度和电位移矢量的大小分别用C0 0 U0 E0 D0表示 8 选择题 9 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 54 3 18 2010 2 计算题 a 维持其电量不变 如充电后与电源断开 将 r的均匀介质充满电容 则 0rC C 0 r 0 U U r 0 E E 0 DD b 维持电压不变 与电源连接不断开 将 r的均匀介质充满电容 则 0rC C 0r 0 UU 0 EE 0rD D 二二 计算题计算题 1 简述有极分子电介质和无极分子电介质的极化机制在微观上的不同点和宏观效果的共同点 极化机制在微观上有极分子电介质是取向极化 无极分子电介质是位移极化 宏观效果上 对于 各向同性的介质 如果是均匀极化 体内无剩余电荷 在介质的表面上出现极化电荷 即束缚 电荷 外电场越强 介质表面的束缚电荷愈多 束缚电荷同自由电荷一样能够产生电场 2 半径为R的导体球 带有电荷Q 球外有一均匀电介 质的同心球壳 球壳的内外半径分别为a和b 相对介电 系数为 r如图 求 1 介质内外的电场强度E 电位 移D 2 离球心O为r处的电势 3 图示D r E r U r 的图线 1 根据介质中的高斯定理可以得到空间各点的电 位移矢量大小 Rr0 0D 0E arR 0 2 r r4 q D 0 2 0 r r4 q E bra 0 2 r r4 q D 0 2 0r r r4 q E rb 0 2 r r4 q D 0 2 0 r r4 q E 根据电势的定义 计算得到空间各点的电势分布 当r R l dEl dEl dEl dEU b b a a R R r l dEl dEl dEU b b a a R b 1 a 1 1 1 R 1 4 q U r0 arR b 1 a 1 1 1 r 1 4 q U r0 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 55 3 18 2010 3 计算题 bra b 1 r 1 4 q U r 0r rb r4 q U 0 3 A B C是三块平行金属板 面积均为 2 cm200S A B相距dAB 4 0mm A C相距 dAC 2 0mm B C两板都接地 设A板带正电C100 3q 7 不计边缘效应 求B板和C板 上的感应电荷 以及A板电势 若在A B间充以相 对介电系数5 r 的均匀电介质 再求B板和C板 上的感应电荷 设三个平行金属板的面电荷密度分别为 q1 q2 q3 q4 q5 q6 如图所示 B和C两板接地 0q1 0q6 根据静电平衡条件可以得到 32 qq 54 qq B和C两板接地 电势均为零 因此有0d S q d S q AC 0 3 AB 0 4 AB4AC3 dqdq 因为 qqq 43 所以 q dd d q ABAC AB 3 q dd d q ABAC AC 4 B板上的感应电荷 q dd d q ABAC AC B C100 1q 7 B C板上的感应电荷 q dd d q ABAC AB C C100 2q 7 C A板电势 S q dd dd U 0ABAC ACAB A V103 2U 3 A 若在A B间充以相对介电系数 r 5 的均匀电介质 2 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 56 3 18 2010 C板和B板之间的电势为零 0d S q d S q AC 0 3 AB 0r 4 0dqdq AC3rAB4 q dd d q ABACr AB 2 q dd d q ABACr ACr 5 B板上的感应电荷 q dd d q ABACr ACr B C1014 2q 7 B C板上的感应电荷 q dd d q ABACr AB C C1086 0q 7 B A板电势 AB 0r 4 A dU S q dd dd U 0ABACr ACAB A V107 9U 2 A 4 一平行板电容器的极板面积为 2 m1S 两极板夹着一块d 5 mm厚的同样面积的玻璃板 已 知玻璃的相对介电常数为5 r 电容器充电到电压U 12 V以后切断电源 求把玻璃板从电容器 中抽出来外力需做多少功 mNC1085 8 21212 0 抽出玻璃板前后平行板电容器的电量保持不变 未抽出玻璃时电容器的静电能 C Q 2 1 W 2 d S C 0r 2 0r Q S d 2 1 W 抽出玻璃后电容器的静电能 C Q 2 1 W 2 d S C 0 2 0 Q S d 2 1 W 根据题目给出的条件 CUQ U d S Q 0r 所以 20r U d S 2 1 W 2 0 2 r U d S 2 1 W 外力做的功等于电容器电场能的变化 W WA 2 r0r U d S 1 2 1 A J1055 2A 6 单元九 真空中静电场习题课 一 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 一电量为C105 9 的试验电荷放在电场中某点时 受到N1020 9 向下的力 则该点的电 场强度大小为C N4 方向向上 根据电场强度的定义 0 q F E 电场中一点的电场强度为单位电荷所受到的电场力 方 向为正电荷在该点受力的方向 2 带电量分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为 1 E 和 2 E 空间各点 的总的电场强度为 21 EEE 现在作一封闭曲面S 如图所示 则以下两式可分别求出通过S 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 57 3 18 2010 的电通量 0 1 1 S q SdE 0 21 S qq SdE SdE1 S 的意义是q1产生的电场穿过S的电通量 所以 0 1 1 S q SdE SdE S 的意义是空间所有的电荷产生的电场穿过S的电通量 所以 0 21 S qq SdE 3 点电荷q1 q2 q3 q4在真空中的分布如图所示 图中S为闭合曲面 则通过该闭合曲面的电通量 0 42 S qq SdE E 是点电荷 4321 q q q q在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和 高斯定理表达式中的场强E 为空间所有电荷共同产生的和电场 通过封闭曲面的电通量只和包 围的电荷的代数和有关 0 41 S qq SdE 4 半径为R的不均匀带电球体 电荷体密度分布为Ar 式中r为离球心的距离 Rr A 为一常数 则球体上的总电量 4 ARQ 电荷分布虽然不均匀 但具有点对称性 距离球心为r 厚度为dr的体积元drr4dV 2 中的电量为drr4ArdQ 2 球体上的总电量drr4ArQ 2 R 0 4 ARQ 5 图中所示为静电场的等势 位 线图 已知U1 U2EB EC UA UB UC B EA EB EC UA UBEB EC UA UB UC D EA EBUB UC 根据电力线密集的地方电场强度越强 电场方向沿着电势降低方向 所以答案为EA EBUB UC 6 选择题 5 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 59 3 18 2010 8 一空气平行板电容器 接电源充电后电容器中储存的能量为W0 在保持电源接通的条件下 在 两极板间充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质 则该电容器中储存的能量 W 为 A A 0rW W B r 0 W W C 0r W 1 W D 0 WW 充满介质前后电容器极板的电势差保持不变 根据电容器存储的能量 2 CU 2 1 W 又根据给出的条件 2 00 UC 2 1 W 0rC C 所以 0rW W 9 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后 在保持与电源连接的情况下 把一块与极 板面积相同的各向同性均匀介质板平行地插入两极板之间 如图所示 介质板的插入及其所处位置 的不同 对电容器储存电能的影响为 C A 储能减少 但与介质板位置无关 B 储能减少 且与介质板位置有关 C 储能增加 但与介质板位置无关 D 储能增加 但与介质极位置有关 在介质插入的过程中 电容器极板的电势差保持不变 电容器存储的能量 2 CU 2 1 W 极板的电势差 Ed dd EU 0 S Q E 0 0 0 S Q E 0r 0 d S Q dd S Q U 0r 0 0 0 根据电容的定义 U Q C 0 d dd S C r 0r 1 1 d d 1 1 d S C r 0 1 1 d d 1 1 CC r 0 电容的大小与介质板的位置无关 所以答案为 储能增加 但与介质板位置无关 二 计算题二 计算题 1 真空中高为h 20 cm 底面半径R 10 cm的圆锥体 在顶点和底面中心连线的中点有一点电荷 q 10 6 C 求通过圆锥体侧面的电通量 7 选择题 8 选择题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 60 3 18 2010 1 计算题 以O为球心 22 2 h Rr 为半径作一个球面 q在球面各处产生的电场强度大小为 2 0 r q 4 1 E 穿过球冠CAB的面积元 dsinr2dS 2 的电 通量 dsinr2Ed 2 CAB 穿过球冠CAB的电通量为 2 2 1 2 q dsinr2ESdE 0 4 0 2 CAB 穿过圆锥体侧面的电通量为 2 2 1 2 q 2 2 1 2 qq 000 CAB 214 0 mCN1064 9 q 4 22 2 厚度为b的 无限大 带电平板 电荷体密度 bx0 kx k为正常数 求 1 平板外侧任意一点p1和p2的电场强度大小 2 平板内任意一点p处的电场强度 2 电场强度为零的点在何处 方法一 解 1 将厚度为b的 无限大 带电平板分为无限多带电平面 面积为S 厚度为dx的薄面带电量 Skxdxdq 面密度kxdx S dq 在p1产生的电场强度大小为 00 2 kxdx 2 dE 无限大 带电平板在p1产生的电场 0 b 0V 2 kxdx dEE 2 计算题 2 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 61 3 18 2010 0 2 4 kb E 方向沿X负方向 同理平板右侧任意一点p2处电场强度大小也为 0 2 4 kb E 方向沿X正方向 2 板内任意一点p的电场强度大小为 21 EEE 其中 x 0 0 2 0 1 4 kx 2 kxdx E b x 22 00 2 xb 4 k 2 kxdx E bx2 4 k E 22 0 3 令0 bx2 4 k E 22 0 由此解得 b71 0b 2 2 x 电场强度为零 方法二 无限大 带电平面产生的电场为常数 厚度为b的 无限大 带电平板 电荷体密度 kx 在xb的区域产生的电场大小相等 选取圆柱面为高斯面 如图所示 根据高斯定理 0 b 0 S kxdxS SdE S 2 kb SE2 0 2 板外任一点的场强 0 2 4 kb E 将闭合圆柱面的一个底面位于带电板内的任一点p 假设p的电场沿X轴正方向 如图所示 根据高斯定理 0 b x S kxdxS SdE xb k 2 S SE S 4 kb 22 00 2 xb 2 k E 4 kb 22 00 2 2 计算题 2 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 62 3 18 2010 3 计算题 板内任意一点 p 的电场强度大小 bx2 4 k E 22 0 3 一个电荷面密度为 的 无限大 平面 在距离平面a处的电场强度大小的一半是由平面上的一 个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的 求该圆的半径 电荷面密度为 的 无限大 平面 在距离平面 a处的 电场强度大小为 0 2 E 面密度为 半径为R的圆板在a处产生的电 场强度大小为 aR a 1 2 E 2 1 220 根据题意 E 2 1 E 2 1 aR a 1 2 1 22 得到 a3R 4 一个 无限长 圆柱面 其电荷面密度为 cos 0 求园柱轴线上一点的电场强度 选取如图所示的坐标 在角度 处取一个长度为 l 宽度为Rd 的 无限长 带电细棒线 带的 电量为 cosRdldq 0 该 无限长 带电细棒的线电荷密度 cosRd 0 无限长 带电细棒在O点产生的电场强度为 R R2 Ed 0 jsini cos 2 dcos R 2 dcos Ed 0 0 0 0 4 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 63 3 18 2010 6 计算题 5 计算题 dcos jsini cos 2 EdE 2 0 0 0 园柱轴线上一点的电场强度 i 2 E 0 0 5 两根相同的长为l带电细棒 线电荷密度为 其放置如图所示 假设棒上的电荷不能自由移动 求两棒之间的静电作用力 取如图所示的坐标 左面的棒在x轴上x 点产生的 电场强度的大小为 2 L 2 L 2 0 x x 4 dx E 2 L x 1 2 L x 1 4 E 0 右面棒上x 处的电荷元 dx 受到的力为 dxEdF 方向沿X轴的正方向 所以 两棒之间的作用力 dx 2 L x 1 2 L x 1 4 F 0 22 L L2 2 L L 3 4 ln 4 F 0 2 6 一个球形电容器 在外球壳半径b和内外导体间的电势差U维持恒定不变的条件下 内球的半 径a为多大时才能使内球表面的电场强度为最小 设内球和外球均匀分布电荷 Q和 Q 根据电势差 的定义 2 0 b a b a r4 Qdr l dEU b 1 a 1 4 Q U 0 内球的表面带的电量为 b 1 a 1 U4 Q 0 内球表面处的电场强度大小 ab a Ub a4 Q E 2 0 令0 da dE b 2 1 a b U4 Emin 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 64 3 18 2010 8 计算题 7 现有一根单芯电缆 电缆芯的半径r1 15 mm 铝包皮的内半径为r2 50 mm 其间充以相对常 数3 2 r 的各向同性介质 求当电缆和铝包皮的电压为U12 600 V时 长为l 1 km的电缆 中储存的静电能是多少 设单位长度带电量为 介质中的电场强度为 r2 E 0r 根据电势差定义 1 2 0r0r r r 12 r r ln 2r2 dr U 2 1 1 2 120r r r ln U2 所以 1 2 12 r r lnr U E 静电能密度 2 1 2 12 0r r r lnr U 2 1 w wdVW V 2 1 r r 2 1 2 12 0r rldr2 r r lnr U 2 1 W 1 2 2 12 0r r r ln lU W J109 1W 2 8 三块面积均为S 且靠得很近的导体平板A B C分别带电Q1 Q2 Q3 求 1 三个导体表面的电荷面密度 654321 2 图中a b c三点的电场强度 1 三块导体静电平衡时各自的电荷守恒 3 QSS 2 QSS 1 QSS 365 243 121 假设各面带正电 电场向右为正对于三块导体板中的任意一点满足 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 65 3 18 2010 9 计算题 6 0 222222 E 5 0 222222 E 4 0 222222 E 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 P 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 P 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 P 3 2 1 由 4 5 6 式得到 5432 和 61 将上述值带入 1 2 3 式得到 8 QQSS 7 QSS 3221 121 S2 QQQ 321 61 S2 QQQ 321 32 S2 QQQ 321 54 2 a b c三点的电场强度分别为 0 5 i 0 c 0 2 i 0 b 0 1 i 0 a 2 1 E 2 1 E 2 1 E S2 QQQ E S2 QQQ E S2 QQQ E 0 321 c 0 321 b 0 321 a 9 在一个不带电的金属球旁 有一个点电荷 q 距离金属 球的球心为r 金属球的半径为R 求 1 金属球上的感应 电荷在球心处产生的电场强度和此时球心处的电势 2 金 属球上的感应电荷在金属内任意一点P处电场强度和电势 3 如将金属球接地 球上的净电荷为多少 1 由于静电感应 在导体球面的两侧分别出现正负电荷 q 如图所示 球心的电场强度为点电荷 q和球面 感应电荷共同产生 根据导体静电平衡的性质 球心的 电场强度为零 即 0EEE qqO r r q 4 1 EE 2 0 q q r 沿球心到点电荷 q的方向 r r q 4 1 E 2 0 q 球心电势 qqO UUU 球面上的感应电荷在球心产生的电势为零 r q 4 1 UU 0 qO 2 根据静电平衡条件 导体内部处处电场强度为零 所以P点的电场强度为零 即 0EEE qqP 感应电荷在P点产生的场强 r r q 4 1 E 2 0 q P 点的电势 OqqP UUUU qOq UUU r q 4 1 r q 4 1 U 00 q 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 66 3 18 2010 3 将金属球接地 0UU OP 假设球表面有剩余电 荷q 根据静电平衡条件 有 0UUU qqO 0 R q 4 1 r q 4 1 00 q r R q 10 如图所示 在半导体P N结附近总是堆积着正负电荷 N区内是正电荷 P区内是负电荷 两区内的电量相等 把P N结看作一对带正负电荷的 无穷大 平板 它们相互接触 x轴的原点取在P N结的 交接面上 方向垂直于板面 N区的范围是0 xxN P区的范围是 P xx0 设两区 内电荷分布都是均匀的 eN x P eN x N Ae De 区 区 这种分布称为实变型模型 其中ND和NA都是 常 数 且 有 APDN NxNx 两 区 内 的 电 荷 数 量 相 等 试 证 电 场 强 度 的 大 小 为 0 0 xxeNxEP xxeNxEN PA ND 区 区 并画出 x e 和 xE随x的变化曲线 将P N结看作是若干个 无穷大 均匀带电薄面构成 薄面带电 Sdxdq 面电荷密度 dx S dq 该带电薄面在空间一点的场强 0 2 dx dE P xx0 区域任一点的电场强度为 0 x 0 D x x 0 A x 0 0 A N P 2 edxN 2 edxN 2 edxN E 0 ND 0 PA 0 A 2 exN 2 exNexN E 将 APDN NxNx 代入 得到 xx eN E P 0 A 0 xxN 区域任一点的电场强度为 P N x 0 0 A 0 x 0 D x x 0 D 2 edxN 2 edxN 2 edxN E 10 计算题 大学物理习题集 上册 习题参考解答 共 104 页 Page 67 3 18 2010 0 PA 0 ND 0 D 2 exN 2