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数列 复习 笔记

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数列要点索引 A . 等差数列： （1）通项公式：an=a1+(n-1)d ; an=am+(n-m)d （2）前n项的和：，Sn-Sn-1=an (n≥2） （3）中项公式：2B=A+C或B=（A+C）/2 （4）性质：①中项 2an=an-m+an+m ，公差d=. ②对于m,n,p,q∈N* . 若m+n=p+q，则am+an=ap+aq ,am+n=ap+q .（反之，不一定成立） ③若am , am+k , am+2k , . . . 成等差数列，则其公差d’=kd . ④若a1+a2+...+am , am+1+am+2+...+a2m , a2m+1+a2m+2+...+a3m , ... 为等差数列，则其公差d’=m2d . ⑤若an=m,am=n,则am+n=0 ；若Sn=m,Sm=n,则Sm+n= -(m+n) ；若Sn=Sm,则Sm+n=0. ⑥若｛an｝为等差数列，则数列｛λan+b｝（λ，b为常数）仍为等差数列，且公差为λd. 若｛an｝，｛bn｝均为等差数列，则｛anbn｝也为等差数列 . ⑦若项数为2n（n∈N*），则 , 若项数为2n+1（n∈N*），则, ⑧若Sn是等差数列前n项的和，则Sn，S2n -Sn，...，Skn-S（k-1）n，...，... 成等差数列 . ⑨ an为关于n的一次式，即an=pn+q. ⑩ Sn为关于n的二次式，即Sn=pn2+qn，其中p=，q= B . 等比数列： （1）通项公式：an=a1qn-1 ; an=amqn-m ; an+m=anqm=amqn （2）前n项的和：Sn= ，Sn=na1 (q=1)，Sn-Sn-1=an (n≥2） （3）中项公式：B2=AC或B=（A+C）0.5 （4）性质：①中项 an2=an-man+m ，公比q=. ②对于m,n,p,q∈N* . 若m+n=p+q，则aman=apaq ,am+n=ap+q .（反之，不一定成立） ③若am , am+k , am+2k , . . . 成等比数列，则其公比q’=qk . ④若a1a2...am , am+1am+2...a2m , a2m+1a2m+2...a3m , ...为等比数列，则其公比q’= ⑤有Sm+n=Sn+qnSm；Sn=abn+c （a+c=0） ⑥若｛an｝，｛bn｝均为等比数列，则数列｛λan｝（λ≠0），｛anbn｝，都也为等差数列 . ⑦若项数为2n（n∈N*），则. C . 数列求和问题： （1）倒序相加法 【适用】 ①用于等差数列求和公式的推导 ②求 （2）错位相减法 【适用】 ①用于等比数列求和公式的推导 ②对于数列｛anbn｝，其中｛an｝是等差数列｛bn｝是等比数列，则求和方式为“乘公比（或除以公比）， 再错位相减”. （3）裂项拆项法 1.常用裂项技巧 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 2.要掌握下列数列求和 ① ② ③ ④ ⑤ （4）差分法* （用于求，用(k+1)m+1展开差分） 如求Sn=12+22+...+n2 用（n+1）3展开为n3+3n2+3n+1，从n=1到n=n将n个式子相减。 【常用基本公式】 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ D . 递推公式求通项的几种形式（重点） ❶形如 【直接使用相关数列公式求通项】 ❷形如的形式 【可使用累加法求通项】 ❸形如的形式 【可使用累乘法求通项】 ❹形如的形式 【可先化为即构造｛an+α｝为等比数列，之后根据公式即可求得】 ❺形如的形式 【可先化为，进而用第❹种形式求解，此时】 ❻*形如的形式 【可先化为，再由确定α和β，即构造｛an+1 -αan｝为 以β为公比的等比数列，进而用第❺，❹种形式依次求解】 ❼*求倒 摘自2013届武威三中高三（5）班Vica数学笔记（2012年10月），特别鸣谢王积兵老师授课，特将此笔记部分整理并赠予同学们，希望能在学业上有所帮助，金榜题名！————Vica 2013年7月

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