高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文.ppt

第5讲直线 平面垂直的判定与性质 1 直线与平面垂直 续表 2 平面与平面垂直 3 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 那么直线与平面所 成的角等于0 2 如果直线和平面垂直 那么直线与平面所成的角等于 90 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 4 二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 d c a 平行c 异面 b 相交d 以上都有可能 2 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面 内 无数条直线都垂直 是 直线l与平面 垂直 的 a 充要条件c 必要非充分条件 b 充分非必要条件d 既非充分又非必要条件 3 如图8 5 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列结论中正 确的个数是 d 图8 5 1 bd1 ac bd1 a1c1 bd1 b1c a 0个c 2个 b 1个d 3个 4 2013年新课标 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 解析 根据所给的已知条件作图 如图d45 由图可知 与 相交 且交线平行于l 故选d 图d45 答案 d 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 例1 2014年山东 如图8 5 2 在四棱锥p abcd中 ape f分别为线段ad pc的中点 1 求证 ap 平面bef 2 求证 be 平面pac 图8 5 2 证明 1 如图d46 图d46 设ac be o 连接of ec 由于e为ad的中点 aebc 四边形abce为平行四边形 又ae ab 则 abce为菱形 o为ac的中点 又f是pc的中点 在 pac中 pa of 平面bef of 平面bef 且pa ap 平面bef 2 由题意知 ed bc ed bc 四边形bcde为平行四边形 因此be cd 又ap 平面pcd ap cd 因此ap be 四边形abce为菱形 be ac 又ap ac a ap ac 平面pac be 平面pac 规律方法 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题 出现中点时 平行要联想到三角形中位线 垂直要联想到三角形的高 出现圆周上的点时 联想到直径所对的圆周角为直角 互动探究 c 1 如图8 5 3 pa o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上的一点 e f分别是a在pb pc上的射影 则下列 结论中正确命题的个数是 af pb ef pc af bc ae 平面pbc a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 正确 又af 平面pbc 假设ae 平面pbc af ae 显然不成立 故 错误 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 例2 2015年山东 如图8 5 4 三棱台def abc中 ab 2de g h分别为ac bc的中点 1 求证 bd 平面fgh 2 若cf bc ab bc 求证 平面bcd 平面egh 图8 5 4 1 证法一 如图d47 连接dg cd 设cd gf m 连接mh 在三棱台def abc中 ab 2de g为ac的中点 可得df gc df gc 图d47 所以四边形dfcg是平行四边形 则m为cd的中点 又h为bc的中点 所以hm bd 又hm 平面fgh bd平面fgh 所以bd 平面fgh 证法二 在三棱台def abc中 由bc 2ef h为bc 的中点 可得bh ef bh ef 所以四边形hbef为平行四边形 可得be hf 在 abc中 g h分别为ac bc的中点 所以gh ab 又gh hf h 所以平面fgh 平面abed 因为bd 平面abed 所以bd 平面fgh 2 解 如图d48 连接he 因为g h分别为ac bc的 中点 所以gh ab 由ab bc 得gh bc 图d48 又h为bc的中点 所以ef hc ef hc 因此四边形efch是平行四边形 所以cf he 又cf bc 所以he bc 又he gh 平面egh he gh h 所以bc 平面egh 又bc 平面bcd 所以平面bcd 平面egh 规律方法 证明两个平面互相垂直 就是证明一个平面经过另一个平面的一条垂线 从而将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题 2 如图8 5 5 在立体图形d abc中 若ab cb ad cd e是ac的中点 则下列结论正确的是 图8 5 5a 平面abc 平面abdb 平面abd 平面bdcc 平面abc 平面bde 且平面adc 平面bded 平面abc 平面adc 且平面adc 平面bde 互动探究 解析 要判断两个平面的垂直关系 就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直 因为ab cb 且e是ac的中点 所以be ac 同理有de ac 于是ac 平面bde 因为ac在平面abc内 所以平面abc 平面bde 又由于ac 平面acd 所以平面acd 平面bde 故选c 答案 c 考点3 线面所成的角 例3 如图8 5 6 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 图8 5 6 解 如图8 5 6 连接bc1 交b1c于点o 连接a1o 设正方体的棱长为a bc1 平面a1b1cd a1o为a1b在平面a1b1cd内的射影 ba1o为a1b与平面a1b1cd所成的角 规律方法 求直线和平面所成的角时 应注意的问题是 先判断直线和平面的位置关系 当直线和平面斜交时 常有以下步骤 作 作出或找到斜线与平面所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法求角 结论 点明斜线和平面所成角的值 又 ba1o为锐角 ba1o 30 故a1b与平面a1b1cd所成的角为30 3 2013年大纲 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于 互动探究 解析 如图d49 连接ac交bd于点o 连接c1o 过点c作ch c1o于点h 图d49 答案 a 难点突破 立体几何中的探究性问题二 例题 已知四棱锥p abcd的直观图及三视图如图8 5 7 图8 5 7 1 求四棱锥p abcd的体积 2 若点e是侧棱pc的中点 求证 pa 平面bde 3 若点e是侧棱pc上的动点 是否无论点e在什么位置 都有bd ae 并证明你的结论 思维点拨 1 由直观图三视图确定棱锥的底面和高 再求 体积 2 欲证pa 平面bde 需找一个经过pa与平面bde相交的平面 结合e为pc的中点 ac与bd的交点为ac的中点 故取平面pac 3 无论点e在pc上的什么位置 都有bd ae 的含 义是bd 平面pac 1 解 由四棱锥p abcd的直观图和三视图知 该四棱锥的底面是边长为1的正方形 侧棱pc 底面abcd 且pc 2 2 证明 如图8 5 8 连接ac 交bd于点f 则f为ac的中点 又 e为pc的中点 pa ef 又pa 平面bde ef 平面bde pa 平面bde 图8 5 8 3 解 无论点e在什么位置 都有bd ae 证明如下 四边形abcd是正方形 bd ac pc 底面abcd 且bd 平面abcd bd pc 又ac pc c bd 平面pac 无论点e在pc上什么位置 都有ae 平面pac 无论点e在pc上什么位置 都有bd ae 1 证明线面垂直的方法 用线面垂直的定义 若一直线垂直于平面内任一直线 这条直线垂直于该平面 用线面垂直的判定定理 若一直线垂直于平面内两条相 交直线 这条直线垂直于该平面 用线面垂直的性质定理 若两平行直线之一垂直于平面 则另一条直线也垂直于该平面 用面面垂直的性质定理 若两个平面垂直 在一个平面 内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个 那么也垂 直于另一个平面 如果两个相交平面都和第三个平面垂直 那么相交平面 的交线也垂直于第三个平面 2 判定面面垂直的方法 定义法 首先找二面角的平面角 然后证明其为直角 利用面面垂直的判定定理 一个平面经过另一个平面的 一条垂线 3 垂直于同一个平面的两条直线平行 是判定两条直线平行的又一重要方法 是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段 4 几个常用的结论 1 过