【备战】高考数学 6年高考母题精解精析 专题10 圆锥曲线05 文.doc

1 备战备战 20132013 高考数学 文 高考数学 文 6 6 年高考母题精解精析专题年高考母题精解精析专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 0505 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p 的值为 c a b 1 c 2 d 4 1 2 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 因为抛物线y2 2px p 0 的准线与 2 p x 圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与该fbfb 双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a b c d 23 31 2 51 2 解析 选 d 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 f cbb 一条渐近线斜率为 直线的斜率为 b a fb b c 1 bb ac 2 bac 解得 22 0caac 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线的焦点为 准线为 为抛物线上一点 2 8yx flp 为垂足 如果直线斜率为 那么pal aaf3 pf a b 8 c d 164 38 3 解析 选 b 利用抛物线定义 易证为正三角形 则paf 4 8 sin30 pf 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 12 已知椭圆 c a b 0 的离心率为 过右焦点 22 22 1 xy ab 3 2 2 f 且斜率为 k k 0 的直线于 c 相交于 a b 两点 若 则 k 3affb a 1 b c d 223 解析解析 b b 设 设 1122 a x yb xy 3affb 12 3yy 3 2 e 直线 直线 abab 方程为方程为 代入消去 代入消去 2 3at ct bt 222 440 xyt 3xsyt x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 解得 解得 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 20102010 浙江文数 浙江文数 10 设 o 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的焦 1 f 2 f 22 22 xy 1 ab 点 若在双曲线上存在点 p 满足 p 60 op 则该双曲线的渐近线方程为 1 f 2 f7a a x y 0 b x y 033 c x 0 d y 02y2x 解析 选 d 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几 何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离 心率是 a 5 4 b 5 3 c 5 2 d 5 1 20102010 福建文数 福建文数 11 若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点 点 p 为椭圆 22 1 43 xy 上的任意一点 则的最大值为op fp a a 2 b 3 c 6 d 8 3 答案 c 解析 由题意 f 1 0 设点 p 则有 解得 00 xy 22 00 1 43 xy 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 所以 00 1 fpxy 00 opxy 2 000 1 op fpx xy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 00 1 op fpx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 因为 所以当时 取得最大值 选 c 0 2x 0 22x 0 2x op fp 2 2 236 4 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数的 单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 为双曲线 c 的左 右焦点 点 p 在 c 上 1 f 2 f 22 1xy 则 1 fp 2 f 0 60 12 pfpf a a 2 b 4 c 6 d 8 8 b 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos p 1 f 2 f 222 1212 12 2 pfpfff pfpf 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 pf pf pfpfpf pfff pf pfpf pf 4 12 pfpf a 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 f pf sbpf pfpf pf 4 12 pfpf a 4 20102010 四川文数 四川文数 10 椭圆的右焦点为f 其右准线与轴的 22 22 10 xy a ab b x 交点为 在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f 则椭圆离心率的取值范围是a a 0 b 0 c 1 d 1 2 2 1 2 21 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点p 使得线段ap的垂直平分线过点 f 即f点到p点与a点的距离相等 而 fa 22 ab c cc pf a c a c 于是 a c a c 2 b c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 故e 1 1 2 答案 d 20102010 四川文数 四川文数 3 抛物线的焦点到准线的距离是 2 8yx a 1 b 2 c 4 d 8 解析 由y2 2px 8x知p 4 又交点到准线的距离就是p 答案 c 5 20102010 湖北文数 湖北文数 9 若直线与曲线有公共点 则 b 的取值范围是yxb 2 34yxx a b 3 1 2 2 12 2 12 c 1 d 3 12 2 1 2 2 20102010 上海文数 上海文数 8 动点到点的距离与它到直线的距离相等 则的轨p 2 0 f20 x p 迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为y2 8xp 2 0 f 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 15 已知抛物线 c y2 2px p 0 的准线 l 过 m 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 a 与 c 的一个交点为 b 若 则 p 解析解析 2 2 本题考查了抛物线的几何性质 本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 abab 代入 代入得得 又 又 33yx 2 2ypx 2 3 62 30 xp x 解得 解得 解得 解得 舍去 舍去 ammb 1 2 2 xp 2 4120pp 2 6pp 20102010 安徽文数 安徽文数 12 抛物线的焦点坐标是 2 8yx 答案 2 0 解析 抛物线 所以 所以焦点 2 8yx 4p 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 或求出后 误认为焦点pp 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 0 p 6 2010 重庆文数 13 已知过抛物线的焦点的直线 2 4yx f 交 该抛物线于 两点 则 ab2af bf 解析 由抛物线的定义可知 1 2afaakf 故2abx 轴af bf 20102010 北京文数 北京文数 13 已知双曲线的离心率为 22 22 1 xy ab 2 焦点与椭圆的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程 22 1 259 xy 为 答案 4 0 30 xy 20102010 天津文数 天津文数 13 已知双曲线的一条渐近线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 3yx 它的一个焦点与抛物线的焦点相同 则双曲线的方程为 2 16yx 答案 22 1 412 xy 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 222 cab 联立 解得 所以双曲线的方程为 22 4 12ab 22 1 412 xy 温馨提示 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解 注意双曲线中 c 最大 20102010 福建文数 福建文数 13 若双曲线 1 b 0 的渐近线方程式为 y 则 等于 2 x 4 2 2 y b 1 x 2 答案 1 解析 由题意知 解得 b 1 1 22 b 7 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的fcbbf 延长线交于点 且 则的离心率为 cdbf2fd uu ruur c 16 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几 3 3 何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的 特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 22 bfbca 作轴于点 d1 则由 得 1 ddy bf2fd uu ruur 所以 1 2 3 ofbf ddbd 1 33 22 ddofc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 d c x 22 33 22 acc fdea ca 又由 得 2 bffd 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 设 f 分 bd 所成的比为 2 22 22 1 xy ab 22 d xy 代入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 20102010 湖北文数 湖北文数 15 已知椭圆的两焦点为 点满足 2 2 1 2 x cy 12 f f 00 p xy 8 则 的取值范围为 直线与椭圆 c 的公共 2 2 0 0 01 2 x y 1 pf 2 pf 0 0 1 2 x x y y 点个数 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 p 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 p 在原点处时 12max 2 pfpf 当 p 在椭圆顶点处时 取到 12max pfpf 为 21 21 2 2 故范围为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直线 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 20102010 上海文数 上海文数 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 满分满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆的方程为 和为的三个顶点 22 22 1 0 xy ab ab 0 ab 0 bb 0 q a 1 若点满足 求点的坐标 m 1 2 amaqab m 2 设直线交椭圆于 两点 交直线于点 若 11 lyk xp cd 22 lyk x e 证明 为的中点 2 12 2 b kk a ecd 3 设点在椭圆内且不在轴上 如何构作过中点的直线 使得 与椭圆的p xpqfll 两个交点 满足 令 点的坐标是 1 p 2 p 12 pppppq 12 pppppq 10a 5b p 8 1 若椭圆上的点 满足 求点 的坐标 1 p 2 p 12 pppppq 1 p 2 p 解析 1 22 ab m 2 由方程组 消y得方程 1 22 22 1 yk xp xy ab 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆于 两点 cd 9 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设c x1 y1 d x2 y2 cd中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 消y得方程 k2 k1 x p 1 2 yk xp yk x 又因为 所以 2 2 2 1 b k a k 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故e为cd的中点 3 因为点p在椭圆 内且不在x轴上 所以点f在椭圆 内 可以求得直线of的斜率 k2 由知f为p1p2的中点 根据 2 可得直线l的斜率 从而得直 12 pppppq 2 1 2 2 b k a k 线l的方程 直线of的斜率 直线l的斜率 1 1 2 f 2 1 2 k 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 消y x2 2x 48 0 解得p1 6 4 p2 8 3 22 1 1 2 1 10025 yx xy 20102010 湖南文数 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8km 的 a b 两点各建一个考察基 地 视冰川面为平面形 以过 a b 两点的直线为 x 轴 线段 ab 的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系 图 4 考察范围到 a b 两点的距离之和不超过 10km 的区域 i 求考察区域边界曲线的方程 ii 如图 4 所示 设线段 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化 12 pp 时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每 年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 a 恰好在冰川边界线上 10 20102010 陕西文数 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 c 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 p 与椭 圆相交于 a b 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 11 若不存在 请说明理由 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 分别为椭圆的左 右焦点 过的直线 与椭圆 1 f 2 f 22 22 1 xy c ab 0 ab 2 flc 相交于 两点 直线 的倾斜角为 到直线 的距离为 a bl60 1 fl2 3 求椭圆的焦距 c 如果 求椭圆的方程 22 2aff b c 解 设焦距为 由已知可得到直线l的距离2c 1 f32 3 2 cc 故 所以椭圆的焦距为 4 c 12 设直线 的方程为 112212 0 0 a x yb xyyy 由题意知l3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 aff byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆的方程为c 22 1 95 xy 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 c 相交于 b d 两点 且 bd 的中 22 22 1 0 0 xy ab ab 点为 m 1 3 求 c 的离心率 设 c 的右顶点为 a 右焦点为 f df bf 17 证明 过 a b d 三点的圆与 x 轴相切 解析解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 1 由直线过点 由直线过点 1 1 3 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 bdbd 两点的中点为两点的中点为 1 1 3 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a ba b 的关系式即求得离心率 的关系式即求得离心率 2 2 利用离心率将条件 利用离心率将条件 fa fb 17 fa fb 17 用含 用含 a a 的代数式表示 即的代数式表示 即 13 可求得可求得 a a 则 则 a a 点坐标可得 点坐标可得 1 1 0 0 由于 由于 a a 在在 x x 轴上所以 只要证明轴上所以 只要证明 2am bd2am bd 即证得 即证得 20102010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆e经过点 2 3a 对称轴为坐标轴 焦点 12 f f在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆e的方程 求 12 f af 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能力 解题指导 1 设椭圆方程为 把点代入椭圆方程 把离心率 22 22 1 xy ab 2 3a 用表示 再根据 求出 得椭圆方程 2 可以设直线l上任 1 2 e a c 222 abc 22 a b 一点坐标为 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 x y 346 2 5 xy x 解 设椭圆 e 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc ace cc xy fafx xyafxeaf 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知f所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 f的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy afx xyxxy af 数 设p x y 为f的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 f的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 根据题目满足的条件求 22 22 1 xy ab 出 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线的几 22 a b 何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 14 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点为中心 为右焦点的双曲线的离心率 o 5 0 fc 5 2 e 求双曲线的标准方程及其渐近线方程 c 如题 21 图 已知过点的直线 与过点 11 m x y 1 l 11 44x xy y 其中 的直线 的交点在双曲线上 直线与 22 n xy 21 xx 2 l 22 44x xy y ecmn 双曲线的两条渐近线分别交于 两点 求的值 ghog oh a 15 20102010 浙江文数 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 p 0 2 2cyps 16 的焦点 f 在直线上 2 0 2 m l xmy i 若 m 2 求抛物线 c 的方程 ii 设直线 与抛物线 c 交于 a b a 的重心分别为 g hl 2 a f 1 bb f 求证 对任意非零实数 m 抛物线 c 的准线与 x 轴的焦点在以线段 gh 为直径的圆外 17 20102010 北京文数 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 c 的左 右焦点坐标分别是 离心率是 直线 y t 椭 2 0 2 0 6 3 圆 c 交与不同的两点 m n 以线段为直径作圆 p 圆心为 p 求椭圆 c 的方程 若圆 p 与 x 轴相切 求圆心 p 的坐标 设 q x y 是圆 p 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 且 所以 6 3 c a 2c 22 3 1abac 所以椭圆 c 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 得 2 2 1 3 yt x y 2 3 1 xt 所以圆 p 的半径为 2 3 1 t 解得 所以点 p 的坐标是 0 3 2 t 3 2 18 由 知 圆 p 的方程 因为点在圆 p 上 所以 222 3 1 xytt q x y 222 3 1 3 1 yttxtt 设 则cos 0 t 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 即 且 取最大值 2 3 1 2 t 0 x y 20102010 天津文数 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 a b 0 的离心率 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 22 22 1 xy ab 3 2 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 a b 已知点 a 的坐标为 a 0 i 若 求直线 l 的倾斜角 4 2 ab 5 ii 若点 q在线段 ab 的垂直平分线上 且 求的值 y0 0 qa qb 4 ay0 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 得 再由 解得 a 2b 3 2 c a 22 34ac 222 cab 由题意可知 即 ab 2 1 224 2 ab 解方程组得 a 2 b 1 2 2 ab ab 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y i 解 由 可知点 a 的坐标是 2 0 设点 b 的坐标为 直线 11 x y l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 19 于是 a b 两点的坐标满足方程组消去 y 并整理 得 2 2 2 1