（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题五立体几何5.2空间中的平行与垂直课件.pptx

5 2空间中的平行与垂直 2 突破点一 突破点二 突破点三 线线 线面平行或垂直的判定与性质 例1 如图 在三棱锥P ABC中 AB BC 2 PA PB PC AC 4 O为AC的中点 1 证明 PO 平面ABC 2 若点M在棱BC上 且二面角M PA C为30 求PC与平面PAM所成角的正弦值 3 突破点一 突破点二 突破点三 分析推理 1 首先根据三棱锥的结构特征 利用等腰三角形底边中线也就是底边上的高得到OP OB都与AC垂直 然后求出OP和OB的长度 然后利用勾股定理验证OP OB 即可证得结论 2 根据 1 问 先建立空间直角坐标系 利用向量法转化已知二面角 确定点M的位置 再利用向量法求直线和平面所成角 4 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 因为AP CP AC 4 O为AC的中点 由OP2 OB2 PB2知PO OB 由OP OB OP AC知PO 平面ABC 5 突破点一 突破点二 突破点三 6 突破点一 突破点二 突破点三 7 突破点一 突破点二 突破点三 已知平面 过点O 若平面 截三棱锥所得四边形OEFQ 如图 是平行四边形 试证明 平面 与PC AB都平行 证明 因为四边形OEFQ是平行四边形 所以OE QF 因为OE 平面PAB QF 平面PAB 所以OE 平面PAB 又OE 平面ABC 平面ABC 平面PAB AB 所以OE AB 又因为OE AB 所以AB 同理可证PC 8 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法1 解决此类问题要注意线线平行 垂直 线面平行 垂直 与面面平行 垂直 的相互转化 在解决线线平行 线面平行问题时 若题目中已出现了中点 可考虑在图形中再取中点 构成中位线进行证明 2 要证明线面平行 先在平面内找一条直线与已知直线平行 或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面 找出交线 证明两线平行 3 要证明线线平行 可考虑公理4或转化为证明线面平行 4 要证明线面垂直可转化为证明线线垂直 应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化 9 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固1如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M为线段AD上一点 AM 2MD N为PC的中点 1 证明 MN 平面PAB 2 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 10 突破点一 突破点二 突破点三 又AD BC 故TN AM 四边形AMNT为平行四边形 于是MN AT 因为AT 平面PAB MN 平面PAB 所以MN 平面PAB 11 突破点一 突破点二 突破点三 2 解 取BC的中点E 连接AE 由AB AC得AE BC 从而AE AD 设n x y z 为平面PMN的法向量 12 突破点一 突破点二 突破点三 13 突破点一 突破点二 突破点三 面面平行或垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PA PD AB DC APD 90 求二面角A PB C的余弦值 分析推理 1 首先将已知两个直角转化为线线垂直 然后利用AB CD转化为AB与平面PAD内的两条相交直线垂直 即可根据线面垂直的判定定理得到所证 2 根据 1 的结论以及该问的条件找出线面垂直关系 建立适当的空间直角坐标系 将所求转化为两个平面的法向量的夹角求解 14 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 由已知 BAP CDP 90 得AB AP CD PD 由于AB CD 故AB PD 从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 解 在平面PAD内作PF AD 垂足为F 由 1 可知 AB 平面PAD 故AB PF 可得PF 平面ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系F xyz 15 突破点一 突破点二 突破点三 设m x y z 是平面PAB的法向量 16 突破点一 突破点二 突破点三 17 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法1 判定面面平行的四个方法 1 利用定义 即判断两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 面面垂直的证明方法 1 用面面垂直的判定定理 即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 2 用面面垂直的定义 即证明两个平面所成的二面角是直二面角 3 从解题方法上说 由于线线平行 垂直 线面平行 垂直 面面平行 垂直 之间可以相互转化 因此整个解题过程始终沿着线线平行 垂直 线面平行 垂直 面面平行 垂直 的转化途径进行 18 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固2 2019广东揭阳一模 如图 在四边形ABED中 AB DE AB BE 点C在AB上 且AB CD AC BC CD 2 现将 ACD沿CD折起 使点A到达点P的位置 且PE与平面PBC所成的角为45 1 求证 平面PBC 平面DEBC 2 求二面角D PE B的余弦值 19 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 AB CD AB BE CD EB AC CD PC CD EB PC 且PC BC C EB 平面PBC 又EB 平面DEBC 平面PBC 平面DEBC 2 解 由 1 知EB 平面PBC EB PB 由PE与平面PBC所成的角为45 得 EPB 45 PBE为等腰直角三角形 PB EB AB DE 结合CD EB得BE CD 2 PB 2 故 PBC为等边三角形 取BC的中点O 连接PO PO BC PO 平面EBCD 20 突破点一 突破点二 突破点三 以O为坐标原点 过点O与BE平行的直线为x轴 CB所在的直线为y轴 OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图 设平面PDE的一个法向量为m x y z 平面PEB的一个法向量为n a b c 21 突破点一 突破点二 突破点三 22 突破点一 突破点二 突破点三 平行 垂直关系及体积中的探索性问题 例3 在如图所示的几何体中 四边形CDEF为正方形 四边形ABCD为等腰梯形 AB CD AC AB 2BC 2 AC FB 1 求证 AC 平面FBC 2 求四面体F BCD的体积 3 线段AC上是否存在点M 使EA 平面FDM 证明你的结论 23 突破点一 突破点二 突破点三 分析推理 1 只需在平面ABCD中根据线段长度验证AC与BC垂直 结合已知即可证得结论 2 由已知可得FC与平面ABCD垂直 求出 BCD的面积 代入锥体体积公式求解即可 3 根据线面平行的性质定理 只需利用中位线构造线AE与线 EC中点与AC中点连线 的平行即可 24 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 在 ABC中 因为AC AB 2 BC 1 所以AC BC 又因为AC FB BC FB B 所以AC 平面FBC 2 解 因为AC 平面FBC 所以AC FC 因为CD FC AC CD C 所以FC 平面ABCD 在等腰梯形ABCD中 可得CB DC 1 所以FC 1 25 突破点一 突破点二 突破点三 3 解 线段AC上存在点M 且M为AC中点时 有EA 平面FDM 证明如下 连接CE 与DF交于点N 取AC的中点M 连接MN 如图 因为四边形CDEF为正方形 所以N为CE的中点 所以EA MN 因为MN 平面FDM EA 平面FDM 所以EA 平面FDM 所以线段AC上存在点M 使得EA 平面FDM成立 26 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法1 对命题条件的探索的三种途径 1 先猜想后证明 即先观察与尝试给出条件再证明 2 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 3 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 2 对命题结论的探索方法 从条件出发 探索出要求的结论是什么 对于探索结论是否存在 求解时常先假设结论存在 再寻找与条件相容或者矛盾的结论 27 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 平面AMD 平面BMC 2 当三棱锥M ABC体积最大时 求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值 即时巩固3如图 边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 28 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 由题设知 平面CMD 平面ABCD 交线为CD 因为BC CD BC 平面ABCD 所以BC 平面CMD 故BC DM 又BC CM C 所以DM 平面BMC 而DM 平面AMD 故平面AMD 平面BMC 29 突破点一 突破点二 突破点三 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 30 核心归纳 预测演练 31 核心归纳 预测演练 1 2019山东泰安高三期末 若m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列为真命题的是 A 若m 则m B 若m n 则m nC 若m m 则 D 若 则 C 解析 对于选项A 当且仅当m 平面 的交线时 命题才成立 即原命题不成立 对于选项B 若m n 则直线m n可能异面 可能平行还可能相交 所以原命题为假命题 对于选项C 由m m 可得平面 内一定存在直线与直线m平行 进而得出该直线垂直于平面 所以原命题为真命题 对于选项D 若 则平面 与平面 相交或垂直 所以原命题为假命题 故应选C 32 核心归纳 预测演练 2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 C 33 核心归纳 预测演练 解析 以DA DC DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图 34 核心归纳 预测演练 3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的一动点 当点M满足时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为正确的条件即可 DM PC 或BM PC 解析 连接AC 由PA BD AC BD可得BD 平面PAC 所以BD PC 所以当DM PC 或BM PC 时 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 所以平面MBD 平面PCD 35 核心归纳 预测演练 4 如图 在四边形ABCD中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 将 ADB沿BD折起 使平面ABD 平面BCD 构成三棱锥A BCD 则在三棱锥A BCD中 下列正确的命题序号是 平面ABD 平面ABC 平面ADC 平面BDC 平面ABC 平面BDC 平面ADC 平面ABC 36 核心归纳 预测演练 解析 因为在四边形ABCD中 AD BC AD AB BCD 45 BAD 90 所以BD CD 又平面ABD 平面BCD 且平面ABD 平面BCD BD CD 平面BCD 所以CD 平面ABD 又AB 平面ABD 则CD AB 又AD AB AD CD D 所以AB 平面ADC 又AB 平面ABC 所以平面ABC 平面ADC 37 核心归纳 预测演练 5 如图 已知PA 平面ABCD 四边形ABCD为等腰梯形 AD BC BC 2AB 2AD 2PA 4 1 求证 平面PAC 平面PAB 2 已知E为PC中点 求A