不妨构一个图形.doc

不妨构一个图形湖北省浠水县实验中学王东青 邮编 438200有些问题看起来很难解决，若适当构造一个图形，会使问题迎刃而解。图形在解题中尽显无穷魅力。一、构造图形，巧证恒等式例1、已知：a，b，c，d均为正数，且，。求证：ab=cd。ADBC图1【分析与解】如图1，构造直角ABC，使ACB=Rt，AC=b，BC=a，并作AB上的高线CD。，AB=C。，。又CD=dab=cd【题后反思】本例的结论与直角三角形中的a，b，c，h之间的一个关系式相同，可以联想到构造直角三角形来证明这个代数恒等式，具有一定的典型性，在构造图形解决代数问题时，应当使图形中的几何量和题中的各数量构成对应关系。我们已知道初中几个重要公式如完全平方公式，平方差公式都可以用构图法来证明。二、构造图形，巧证不等式例2、设a0，b0，c0，求证：。【分析与解】本题初看起来似乎缺少已知条件，不易证明，考虑到待证式子的结构符合勾股定理的特点，可以利用数形结合，借助直角三角形及勾股定理的有关知识解决。作RtACD，使ACD=90，AC=a，CD=c，则AD=，延长AC至B，使CB=b，连结DB，则DB=。在ADB中，由AD+DBAB得： 。延长DC至E，使CE=a，连BE，则BE=。在CBE中，由CE+CBBE得。由及得：。【题后反思】本题巧妙利用数形结合，把问题转化为几何图形中比较线段大小的问题。采用这种方法一般要利用几何知识中“勾股定理、两点之间线段最短、三角形两边之和（差）大于（小于）第三边”等公（定）理。例3、已知正实数a、b满足a+b=1，求证：【分析与证明】作边长为1的正方形ABCD，P为AB上任意一点，设PA=a，PB=b，于是a+b=1，连结PD、PC，则PD=，PC=，PD+PC=+，连结AC、BD，在DPB中，PD+BPBD，在PCA中，PC+PAAC，PD+PB+PC+PABD+AC，+b+aBD+AC，而BD=AC=，+-（a+b）=-1，即+-1【题后反思】题有数1，等，联想到正方形的边长和对角线长。三、构造图形，巧求值例4、设a、b、c、d为正实数，ab，cab，有一个三角形的三边长分别为、，求此三角形的面积。【分析与解】作RtABC，使C=90，AC=b，BC=d，分别在AC、BC上取点，使AD=a，CE=c，作矩形DFEC，则DF=CE=c，FE=DC=b-a，连结AF、BF由勾股定理可得AF=，BF=，AB=，因此ABF为满足三边长为、的三角形，且=【题后反思】可猜想分别构造以a、c为直角边长的Rt和以b、d为直角边长的Rt以及以ba、dc为直角边长的Rt，利用面积的和差求解，关键是数形结合思想的运用。四、构造图形，比较大小。例5、试比较与的大小。【分析与解】如图所示，设小正方形的边长为1，则由勾股定理可得，CD，AD=，由两点之间线段最短可得AB+BC+CDAD，【题后反思】此题构图法不是它的常用解法，但此方法直观明了，更能揭示问题的本质。例6、设0a，b，c，d1，则与2的大小关系为（ ）A、大于B、小于C、等于D、无法确定【分析与解】如图，正方形边长为1，则。故。故选B【题后反思】由题中条件是两个量积，其中一个量为型，构造边长为1正方形，利用面积之间的关系比较大小，是一个很重要的方法。五、构造图形，巧求最值。例7、m，n，p为正实数，且，求的最小值。分析与解因为，且m，n，p为正实数，所以m，n，p能构成一个直角三角形，且P为斜边。作两个全等的直角三角形ABC和直角三角形BDE，且C，B，D在同一直线上，如图所示，则ABE=90。所以AE=，又ACDE是直角梯形，则CDAE。即m+n,即。即的最小值为。【题后反思】此题是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理所用图形，利用此图中当时，即，AE=CD时，取得最小值。例8、已知正实数x，y满足x+y=12，求的最小值。【分析与解】本题是两个未知数的最值问题，况且还有无理式，很不便于求解。如果借助数形结合，构造出恰当的几何图形，就能迎刃而解。作线段AB=12，在AB上取一点P，AP=x，则BP=12-x=y，过A作ACAB，且使AC=2，过B作BDAB且使BD=3，并且C、D分别在AB的两侧，于是PC=，PD=。连接CD，在PCD中，CP+PDCD，上述不等式中的等号当P点与AB、CD的交点E重合时成立。平行线交CA的延长线于F，则CFDF，CD=。所以最小值是13。【题后反思】根据已知条件结构构造两个直角三角形，用勾股定理及两点之间线段最短来求最小值。 练习题1、 求f（x）=+的最小值。（提示:如例8构图，AC=1，PA=x,AB=4,则PB=4-x,BD=2.线段CD就是它的最小值为5.）2、已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m=b+n=c+l=k.试说明al+bm+cn. (提示：构造一个边长分别是a+m,b+n,c+l,c+l的正方形，利用面积关系易得到不等式。)3、设0x,y,z1,求证x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1. （提示：如图，构造边长为1的正PQR,分别在边上取点L,M,N,使LR=y,PN=z,MQ=x.由可得不等式。）4、甲、乙两码头相距100km,由一艘快艇与一艘客船同时从甲码头开出,