24.1.2垂直于弦的直径-教学设计.doc

您的指导是我前行的明灯，您的鼓励是我前行的动力，您的帮助是我前行的源泉24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计大连市第四中学王丹24.1.2垂直于弦的直径大连市第四中学 王丹一、内容和内容解析1.内容圆的轴对称性及证明；垂径定理及其推论；垂径定理及其推论的应用.2.内容解析圆是常见的几何图形之一，也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础.圆的许多性质也被广泛应用，垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，在本章中占有重要的地位.圆的轴对称性是圆的基本性质之一，先通过观察、实验等探究得出，再进行证明，实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合.垂径定理及其推论是由圆的轴对称性得出的，它建立了直径、弧、弦之间的关系，为圆的计算和证明提供了方法和依据.尽管在课标（2011年版）中，垂径定理的探索与证明是选学内容，但垂径定理的应用是教科书的重点，尤其是例2赵州桥问题，很好地利用垂径定理解决了实际问题，突出了弦长、弦心距、半径以及弓形高之间的关系，体现了建模思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点：垂径定理及其推论的应用，建模思想.二、目标和目标解析1.目标（1）理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并学会运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图的问题.（2）通过观察、实验、探究、证明等数学活动，进一步提高学生的思维能力和逻辑推理能力；通过利用所学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识，体会建模思想.（3）通过实际问题的解决和合作交流，增强应用数学和合作互助的意识，提高学习数学的兴趣和数学交流、表达的能力.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生观察、实验、证明出圆的轴对称性，能通过圆的轴对称性得出垂径定理及其推论，并能用文字、图形、符号三种语言进行描述；能运用圆的轴对称性、垂径定理及其推论解决数学和生活中的问题.达成目标（2）的标志是：学生积极参与观察、实验、探究、证明等数学活动，经历几何图形性质探究的一般过程，能说出结论并加以证明；在应用时，能把实际问题转化为数学问题，并能利用所学知识解决.达成目标（3）的标志是：学生通过解决实际问题，增强应用数学的意识，认识到数学来源于生活应用于生活；经历独立思考、合作交流等活动解决问题，养成良好的思考习惯，学会与人合作，能在小组中倾听他人观点和发表自己的建议.三、教学问题诊断分析上节课，学生已经学习了圆的相关概念，从概念到性质是研究几何图形的基本思路，学生容易从观察、实验、探究中得出圆的轴对称性，但证明圆的轴对称性比较困难，教学时应适当启发；从圆的轴对称性到垂径定理再到推论也容易接受，但定理及推论的题设和结论比较复杂，容易混淆，这也是难点，教学时要适时强调；学习了垂径定理及其推论后如何应用，也是学生容易出现的问题，教学时要适时指导，尤其是辅助线的做法，以及如何把实际问题转化为数学问题等.本节课的教学难点是：圆的轴对称性的证明以及垂径定理的应用.四、教学过程设计1.提出问题、类比研究问题1：上节课我们学习了圆的有关概念，类比一般几何图形的研究思路，接下来我们应该研究圆的什么内容呢？师生活动：教师提出问题；学生思考、回答.设计意图：从概念到性质是研究几何图形的基本思路，由此类比以前学习的几何图形，如三角形、四边形等引导学生明确学习任务，体现了学习知识的整体性和连贯性.2.明确思路，探究证明问题2：再类比以前学过的几何图形，我们应该怎样研究圆的性质呢？师生活动：教师出示问题；学生思考、回答.设计意图：再次类比以前学过的几何图形，如等腰三角形的研究思路，明确圆的性质的研究思路，即实验-猜想-证明，引导学生把新知转化成旧知，贯彻几何图形的研究策略和方法.问题3：明确了圆的性质的研究思路，下面请同学们利用手中的圆形纸片探究圆的性质. 通过实验操作你有什么发现？你得到了什么结论？师生活动：教师提出问题和要求，并巡视学生的做法；学生独立思考，动手操作.设计意图：自主探究的前提是思路清晰，在已有研究思路的基础上，学生可以有的放矢地探究；利用手中的圆形纸片比较直观地发现圆的轴对称性及对称轴，不仅提高了学生的动手能力和参与热情，而且为后续学习打好了基础.问题4：我们如何证明这个结论呢？首先，这是一个命题，要证明需要结合图形把它的题设和结论写成已知和求证.我们已知什么？求证什么？怎样证明轴对称图形呢？我们不妨回忆一下轴对称图形的定义和性质. 结合轴对称图形的定义和性质，同学们再考虑一下怎样证明？动笔试一试.同学们可以以小组为单位交流一下.师生活动：教师启发、提问，巡视小组合作情况，适时加以指导；学生思考、回答，小组合作交流证明方法.设计意图：学生证明图形的轴对称性比较困难，教学时一方面写出已知、求证，另一方面从回顾轴对称图形的定义和性质中寻找解决问题的方法和策略；学生独立思考后进行小组合作交流，相互说出各自的想法，资源共享，取长补短，既增强了学生的合作意识又锻炼了学生的交流、表达能力.问题5：哪个小组讲一讲你们的证明方法？师生活动：教师提出要求，倾听学生讲解、板书，并适时追问；学生代表讲解，其它学生补充或质疑.设计意图：学生讲解可以提高学生的语言表达能力，同时教师对证明方法的追问进一步培养了学生的逻辑思维能力.问题6：请同学们继续观察这个图，图中有哪些圆的要素？由圆的轴对称性可以得到它们之间有什么关系？这些结论成立的前提是什么？这样的直径就是我们这节课学习的24.1.2垂直于弦的直径，你能用语言概括一下这个结论吗？这个结论是由圆的轴对称性得出的，我们称之为垂径定理.几何语言怎样书写？师生活动：教师提出问题；学生思考、回答.设计意图：通过分析图中圆的各个要素，由圆的轴对称性得到垂径定理，从而引出本节课的课题垂直于弦的直径，符合学生的认知规律；概括垂径定理时，重视文字、图形、符号三种语言，有利于学生更好地理解垂径定理，也为垂径定理的应用作铺垫.问题7：在这个定理中，有这样几个关键词：垂直于弦、直径、平分弦、平分两条弧，我们是从两个条件得出两个结论，如果我们把、两个条件互换，即平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，同学们说成立吗？为什么？由此，我们得到了垂径定理的推论，几何语言怎么书写？师生活动：教师提出问题；学生思考、回答.设计意图：分析垂径定理的题设和结论，一方面强化垂径定理的用法，另一方面提出条件、结论互换的假设，引起学生的争辩，进而得出垂径定理的推论以及注意事项，即被平分的弦不是直径，有利于学生更好地理解垂径定理及其推论.3.及时巩固，提炼模型问题8：练习1如图，在O中，弦AB的长为 8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径 这道题，已知弦长和圆心到弦的距离，我们可以利用垂径定理和勾股定理求出半径，其中做垂是解决这类问题常见的辅助线之一.师生活动：教师出示练习；学生思考、解答.设计意图：一方面及时巩固垂径定理的应用，另一方面强化弦长、弦心距、半径之间的关系，为后续解决赵州桥问题建立了模型，埋下了伏笔.4.例题讲解，拓展训练问题9：例2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.这是一个实际问题，要想解决我们需要把实际问题转化为数学问题，题中要求主桥拱的半径，主桥拱在哪里？我们把这条圆弧设为AB，半径在哪里？题目中的已知条件有哪些？你能找到它们在图中的位置吗？有了这些条件，我们怎样解决赵州桥的问题？总结一下，解决这个问题，需要把实际问题转化为数学问题，画出图形，建立一个数学模型，在图中找出已知和未知，做垂的辅助线一方面利用垂径定理确定弧的中点和弦的一半，另一方面构造了直角三角形利用勾股定理解得答案.师生活动：教师出示问题，板书规范过程；学生思考，解答.设计意图：通过例题的学习，学生一方面把实际问题转化为数学问题，体现了建模思想；另一方面强化了对垂径定理的理解，也巩固了弦长、弦心距、半径以及弓形高之间的关系的模型，提高了学生分析问题、解决问题的能力；教师及时总结，既加强了所学知识的巩固，有突出了解决问题的方法和策略；明确辅助线的做法和作用，更有效地提高了学生的逻辑思维能力.问题10（备用）：练习2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E.求证四边形ADOE是正方形师生活动：教师提出问题；学生独立思考、解决.设计意图：垂径定理既能解决圆的有关计算问题，还能解决圆的有关证明的问题，再次巩固垂径定理的应用.5.小结反思问题11：通过这节课的学习，你有