线性代数1.6.doc

1.6 行列式按行(列)展开 在n 阶行列式D=det(aij)中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去后, 剩下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij; 记Aij=(-1)i+ jMij,Aij叫做元素aij的代数余子式. 例如行列式 , 中元素a23的余子式为 , 元素a23的代数余子式为 (-1)2+3M23=-M 23. 引理 在n阶行列式D中, 如果第i行元素除aij外都为零, 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积, 即D=aijAij. 简要证明: . 定理3 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ +ainAin (i=1, 2, , n),或 D=a1jA1j+a2jA2j+ +anj Anj (j=1, 2, , n). 简要证明 因为 , 根据引理, 即得 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ +ainAin (i=1, 2, , n). 类似地, 可证 D=a1jA1j+a2jA2j+ +anj Anj (j=1, 2, , n). 这个定理叫做行列式按行(列)展开法则. 例1 计算行列式 . 解 将D按第三列展开,应有 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43,其中a13=3, a23=1, a33=-1, a43=0, , , , ,所以 D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)=-24. 例2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2) (an-an-1) . 例2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)D n-1 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)(a3-a2) (an-a2) (an-an-1) . 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 ai1Aj1+ai2Aj2+ +ainAjn =0 (ij), 或 a1iA1j+a2iA2j+ +aniAnj=0 (ij). 证明 因为 , 所以 aj1Aj1+aj2Aj2+ +ajnAjn=(aj1+ai1)Aj1+(aj2+ai2)Aj2+ +(ajn+ain)Ajn , 移项化简得 ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn=0. 综合结果: , 或. 相关结果: , . , . 例3 设 , D的(i, j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij, 求 A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41. 解 (下一步: r4+r3, r3-r1) (下一步: 按第三列展开) (下一步: c2+c1) (下一步: 按第三行展开) . M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41 (下一步: r4+r3) (下一步: 按第三行展开) (下一步: r1-2r3) . 补充题 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 . 解 按第一行展开: D=1(-1)1+1+0(-1)1+2+(-2)(-1)1+3 =1(-8)+0+(-2)5=-18. 按第二列展开: D=0(-1)1+2+1(-1)2+2+3(-1)3+2 =0+1(