高考数学一轮复习 不等式选讲 1 绝对值不等式课件 理 选修45.ppt

选修4 5不等式选讲第一节绝对值不等式 知识梳理 1 绝对值三角不等式定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当 时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 时 等号成立 ab 0 a b b c 0 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x x r且x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 方法二 利用 零点分区法 求解 体现了分类讨论的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 特别提醒 1 应用 零点分区法 的注意点令每个绝对值符号里的代数式等于零 求出相应的根 要把这些根按由小到大进行排序 在各个区间上解不等式时 端点值要不重不漏 2 从解集理解不等式恒成立问题不等式的解集为r说明不等式恒成立 不等式的解集为 说明其对立面恒成立 考向一绝对值不等式的解法 典例1 2015 全国卷 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 解题导引 1 当a 1时 把原不等式去掉绝对值 转化为与之等价的三个不等式组 分别求得每个不等式组的解集 再取并集 即得所求 2 化简函数f x 的解析式 求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标 从而求得f x 的图象与x轴围成的三角形面积 再根据f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 从而求得a的取值范围 规范解答 1 当a 1时 不等式f x 1 即 x 1 2 x 1 1 即 或 或 解 求得无解 解 求得 x 1 解 求得1 x 2 综上可得 原不等式的解集为 2 函数f x x 1 2 x a 由此求得f x 的图象与x轴的交点a b 2a 1 0 故f x 的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点c a a 1 由 abc的面积大于6 可得 a 1 6 求得a 2 故要求的a的范围为 2 规律方法 形如 x a x b c 或 c 型的不等式主要有三种解法 1 零点分区法 利用绝对值号内式子对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此处设a b 三个部分 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解 然后取各个不等式解集的并集 2 几何法 利用 x a x b c c 0 的几何意义 数轴上到点x1 a和x2 b的距离之和大于c的全体 x a x b x a x b a b 3 图象法 作出函数y1 x a x b 和y2 c的图象 结合图象求解 易错提醒 易出现解集不全的错误 对于含绝对值的不等式 不论是分段去绝对值号还是利用几何意义 都要不重不漏 变式训练 2016 郑州模拟 已知函数f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若关于x的不等式f x a 1 的解集非空 求实数a的取值范围 解析 1 原不等式等价于或或解之得 x 2或 x 或 1 x 即不等式的解集为 x 1 x 2 2 因为f x 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 4 所以 a 1 4 解此不等式得a5 加固训练 1 2016 阳泉模拟 解不等式 2x 1 x 4 0 解析 令f x 2x 1 x 4 当x 4时 f x 2x 1 x 4 x 5 0得x 5 所以x 4时 不等式成立 当 x0 得x 1 所以 1 x 4时 不等式成立 当x0 得x 5 所以 x 5时 不等式成立 综上 原不等式的解集为 x x 1或x 5 2 已知集合a x r x 3 x 4 11 b 求集合a b 解析 若x 3 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 5 x 3 若 3 x 4 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 3 x 4 若x 4 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 4 x 6 所以a 5 6 又因为t 0 所以4t 4 当且仅当4t 即t 时 等号成立 所以b 4 所以a b 4 6 考向二绝对值三角不等式的应用 典例2 设不等式 x 2 a a n 的解集为a 且 a a 1 求a的值 2 求函数f x x a x 2 的最小值 解题导引 1 由 a a知满足不等式 不满足不等式 2 利用绝对值三角不等式求解 规范解答 1 因为 a 且 a 所以 a 且 a 解得 a 又因为a n 所以a 1 2 因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 x 1 x 2 0即 1 x 2时取到等号 所以f x 的最小值为3 母题变式 1 若本例第 2 问中函数改为f x x 1 x 4 求其最小值 解析 f x x 1 x 4 x 1 x 4 3 所以 其最小值为3 2 本例条件不变 求函数f x x a x 2 的最大值 解析 因为 x a x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 x 1 x 2 0 即 1 x 2时取到等号 所以f x 的最大值为3 规律方法 对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点 1 等号成立的条件在解题时经常用到 特别是用此定理求函数的最大 小 值时 2 该定理可以推广为 a b c a b c 也可强化为 a b a b a b 它们经常用于含绝对值的不等式的推证 3 当ab 0时 a b a b 当ab 0时 a b a b 当b a b 0时 a b a b 当b a b 0时 a b a b 变式训练 2016 大同模拟 已知a和b是任意非零实数 1 求的最小值 2 若不等式 2a b 2a b a 2 x 2 x 恒成立 求实数x的取值范围 解析 1 因为所以的最小值为4 2 因为 2a b 2a b 2a b 2a b 4 a 不等式 2a b 2a b a 2 x 2 x 恒成立 所以4 a a 2 x 2 x 即 2 x 2 x 4 而 2 x 2 x 表示数轴上的x对应点到 2 2对应点的距离之和 它的最小值为4 故 2 x 2 x 4 所以 2 x 2 即实数x的取值范围为 2 x 2 加固训练 1 2016 西工大附中模拟 已知函数f x x 2 x 5 1 证明 3 f x 3 2 求不等式 f x x2 8x 14的解集 解析 1 f x x 2 x 5 x 2 x 5 3 所以 3 f x 3 2 当x 2时 f x 3 而x2 8x 14 x 4 2 2 2 所以f x x2 8x 14无解 当2 x 5时 f x 2x 7 原不等式等价于 3 x 5 当x 5时 f x 3 原不等式等价于 5 x 4 综上 不等式的解集为 3 4 2 设函数f x 1 当a 5时 求函数f x 的定义域 2 若函数f x 的定义域为r 试求a的取值范围 解析 1 当a 5时 f x 由 x 1 x 2 5 0 得或或解得x 1或x 4 即函数f x 的定义域为 x x 1或x 4 2 由题可知 x 1 x 2 a 0恒成立 即a x 1 x 2 恒成立 而 x 1 x 2 x 1 x 2 1 所以a 1 即a的取值范围为 1 考向三与绝对值不等式有关的参数范围问题 典例3 2014 全国卷 设函数f x x a a 0 1 证明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范围 解题导引 1 利用绝对值不等式和基本不等式的性质证明 2 通过讨论脱去绝对值号 解不等式求得a的取值范围 规范解答 1 由a 0 有f x x a a 2 所以f x 2 2 f 3 3 a 当a 3时 f 3 a 由f 3 5 得3 a 当0 a 3时 f 3 6 a 由f 3 5 得 a 3 综上 a的取值范围是 规律方法 1 解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 1 将参数分类讨论 将其转化为分段函数解决 2 借助于绝对值的几何意义 先求出相应式的最值或值域 然后再根据题目要求 求解参数的取值范围 2 不等式恒成立问题的常见类型及其解法 1 分离参数法运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法不少含参不等式恒成立问题 若直接从主元入手非常困难或不可能解决时 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时 若能数形结合 揭示问题所蕴含的几何背景 发挥形象思维与抽象思维各自的优势 可直观解决问题 提醒 不等式的解集为r是指不等式恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题 如f x m的解集为 则f x m恒成立 变式训练 2015 重庆高考改编题 若函数f x x 1 2 x a 的最小值为5 求实数a的值 解析 由题意知a 1 因为此时函数的最小值为0 当a 1时 f x x 1 2 x a 此时函数的最小值为f a a 1 5 解得a 6 当a 1时 f x x 1 2 x a 此时函数的最小值为f a a 1 5 解得a 4 综上可知a 4或a 6 加