数学文化作业.doc

数学文化作业 组长：李佳 201211218 组员：王运红 201211205 狄顺燕 201211234梁亚倩 201211235文学与国际汉学院 对外汉语1201班第四组1、尽可能多的列举关于勾股定理的中国古典题目（1）今有勾三尺，股四尺，问为弦几何？ 五尺（2）今有弦五尺，勾三尺，问为股几何？ 四尺（3）今有股四尺，弦五尺，问为勾几何？ 三尺（4）今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？ 二尺四寸（5）今有木长二丈，圆之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？ 二丈九尺（6）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，面与岸齐，问水深，葭长各几何？ 水深一丈二尺，葭长一丈三尺（7）今有立木，求索其末，委地三尺，引索欲行，去本八尺而索书，问索长几何？2、写出数学上最美的五个定理瑞士数学家莱昂哈德-欧拉被视为“最美丽的数学定理之一： e(i)p+1=0证明： 由ex、sinx、cosx的麦克劳林级数，得ex=1+x+x2/2!+x3/3!+ sinx=x-x3/3!+x5/5!+x7/7!cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!由此得e(ix)=1+ix-x2/2!-ix3/3!+x4/4!+ix5/5!-x6/6!-ix7/7!=cosx+ix-ix3/3!+ix5/5!-ix7/7!=cosx+isinx代入x=可得e(i)=-1，进而得到e(i)+1=0多面体欧拉公式 ：VFE2简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E设多面体顶点数V，面数F，棱数E剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和一方面，在原图中利用各面求内角总和设有F个面，各面的边数为n1，n2，nF，各面内角总和为： (n12)1800(n22)1800 (nF2) 1800 (n1n2nF2F) 1800 (2E2F) 1800 （EF）3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n2)1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，Vn个顶点在中间中间Vn个顶点处的内角和为(Vn)3600，边上的n个顶点处的内角和(n2)1800所以，多面体各面的内角总和：（Vn）3600（n2）1800（n2）1800 （V2）3600 （2）由（1）（2）得：（EF）3600 （V2）3600 所以 VFE2勾股定理的证明【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. . .牛顿-莱布尼茨公式设f（x）是a，b上连续函数，F（x）是f（x）的原函数，那么有从c到a到bf（x）dx=F(b)-F（a）证明：1、定义函数(x)= x(上限)a（下限）f(t)dt，则(x)=f(x)。证明：让函数(x)获得增量x，则对应的函数增量=(x+x)-(x)=x+x(上限)a（下限）f(t)dt-x(上限)a（下限）f(t)dt显然，x+x(上限)a（下限）f(t)dt-x(上限)a（下限）f(t)dt=x+x(上限)x（下限）f(t)dt而=x+x(上限)x（下限）f(t)dt=f()x(在x与x+x之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)当x趋向于0也就是趋向于0时，趋向于x，f()趋向于f(x)，故有lim x0 /x=f(x)可见这也是导数的定义,所以最后得出(x)=f(x)。2、b(上限)a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。证明：我们已证得(x)=f(x)，故(x）+C=F（x）但(a)=0（积分区间变为a,a，故面积为0），所以F（a）=C于是有(x）+F（a）=F（x），当x=b时，(b)=F（b)-F(a),而(b)=b(上限)a（下限）f(t)dt，所以b(上限)a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 费小马定理加入P是质数，且（a，p）=1，那么a（p-1）=1（mad，p），加入p是质数，且ab互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1证明：构造素数p的完全剩余系P=1,2,3,4(p-1)，因为(a,p)=1，由引理3可得A=a,2a,3a,4a,(p-1)a也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4*(p-1)，显然WW(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*(p-1)a,因为a,2a,3a,4a,(p-1)a是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*(p-1)a1*2*3*(p-1)(mod p)即W*a(p-1)W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a(p-1)1(modp）3、尽可能列举关于中国古典题目及解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 答 曰 上禾一秉实二十五分斗之九。中禾一秉实二十五分斗之七。下禾一秉实二十五分斗之四。其倍数为广袤和,而令勾股，自乘为实，四实以减之，开其余，所得为差，一减差减和，其半余为广，减元于弦，即所求也解：设矩形长宽分别为x，yx =a x+y=2c 则求x，y即等价二元二次方程z*z-2*c*z+*=0因为（x+y）-4x*y=（x-y）（x-y）=2c-4*a 又因为x+y=2*c所以 y=2c-（2c）-4a,x=2*c-y今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？X=（mod3）X=（mod5）X=（mod7）解：同余式方程：即x=2*70+3*21+2*15-2*105=234、爱丽丝漫游奇境记的作者卡诺尔有一个著名的几何谬论：将边长为8的正方形分割四块，重新拼边长为5和13的矩形，由此得到64=65，解释这一谬论 解：对于正方形而言，其面积为8*8=64对于矩形而言，面积为5*13=65如图所示ADFAEF同理ADFCEHADFAFGRtADF=RtAFG= *8*3=12SAFG+SHEC=24又四边形BHEG,GHCF均为直角梯形S四边形EBCF=5*8=40同理S四边形AHEB+S梯形FDCG=40SABCD=SABCD=645、爱丽丝漫游奇境记的作者卡诺尔有一个著名的几何谬论：任何三角形都是等腰三角形。这个看似奇葩的结论在一番“证明”下绝对让人大开眼界。 角A平分线与BC垂直平分线交于O点，过O做两边的垂线OM,ON.AMO全等于ANO(角角边)-OM=ON,AM=ANOB=OC,OM=ON,两个直角相等-BMO全等于ONC(边边角在直角三角形是成立的)-BM=NC-AM+MB=AN+NC故AB=AC有没有点儿震惊的感觉？接下来就要找到底是哪里出了问题，网上一般人都说边边角不能证明，O点不在三角形内。边边角在直角的情况下是成立的，在此不予赘述。O点的确不可能在三角形内，但这不是原因。首先，证明角A平分线与BC中垂线交点O必在三角形外，这其实并不简单。分两种情况：AB=AC AB不等于AC第一种情况不做证明，很容易说明O在BC边上。下面说明第二种情况：用反证法，假设O在三角形内，根据已知条件，按照最开始的证明过程（O点在三角形内的前提下一切证明都是正确的）就得到了AB=AC的结论，这与AB不等于AC的假设是矛盾的，所以O点必然在三角形外。但是O点在三角形外就能说明最初证明的错误了么？不能。看下图：AMO全等于ANO(角角边)-OM=ON,AM=ANOB=OC,OM=ON,两个直角相等-BMO全等于ONC(边边角在直角三角形是成立的)-BM=NC-AB=AM+MB=AN+NC=AC故AB=AC可见O点在外面并不影响上述证明。那么问题究竟出在哪里？我不禁想起了福尔摩斯的名言“把所有不可能的都排除了最后剩下一个必然是真相，不管它看起来多么难以相信”纵观证明过程的每一句，貌似找不出漏洞。但是最大的问题就是我们直观上看上去最不容易认为是错的那句：AN+NC=AC！在O点在三角形内时，AN+NC=AC 是成立的，也因此我们能通过反证法说明O在三角形外。但是O点在三角形外时就不能确定N一定在AC之间了。可