高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质课件 理.ppt

第三节三角函数的图象与性质 知识梳理 1 三个基本三角函数的图象和性质 x 2k k z x 2k k z k 2 k 2 k z k 2 k 2 k z 2 2 k 0 k z x k k z k z 2 周期函数 1 周期函数 对于函数f x 如果存在一个 使得当x取 内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 非零常数t 定义域 非零常数t 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就叫做f x 的最小正周期 最小的正数 最小正数 特别提醒 1 函数的对称性和周期之间的几个关系 1 正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的2倍是一个周期 2 正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期 3 正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期 4 正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期 2 正切函数的单调性y tanx不能认为其在定义域上为增函数 应在每个区间 k z 内为增函数 小题快练 链接教材练一练1 必修4p40练习t3 2 改编 函数f x 4 2cosx的最小值是 取得最小值时 x的取值集合为 解析 f x min 4 2 2 此时 x 2k k z x 6k k z 所以x的取值集合为 x x 6k k z 答案 2 x x 6k k z 2 必修4p47习题1 4b组t2改编 函数y 的单调递减区间为 解析 因为y tanx的单调递增区间为 k z y tanx的单调递减区间为 k z 所以 k z 解得 k z 所以的单调递减区间为 k z 答案 k z 感悟考题试一试3 2014 陕西高考 函数f x 的最小正周期是 a b c 2 d 4 解析 选b 由题意得 t 4 2016 宜昌模拟 函数y 的图象 a 关于x轴对称b 关于y轴对称c 关于原点对称d 关于直线x 对称 解析 选b 因为y cosx 又因为cos x cosx 为偶函数 所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称 5 2016 长沙模拟 函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最小值是 解析 设sinx cosx t 因为x 0 所以所以t 1 sinxcosx 所以当t 1时 ymin 1 答案 1 考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或不等式 典例1 1 2016 武汉模拟 定义在区间上的函数y 6cosx的图象与y 5tanx的图象的交点为p 过点p作pp1 x轴于点p1 直线pp1与y sinx的图象交于点p2 则线段p1p2的长为 2 满足cosx 且x 0 2 的x的集合为 3 函数f x log2 2sinx 1 的定义域是 解题导引 1 根据图象的意义及同角关系 列出关于sinx的方程 求解 2 根据余弦函数的图象可得不等式的解集为x k z 结合函数的定义域即可得到答案 3 根据表达式有意义 列出不等式组求解 规范解答 1 由题意得线段p1p2的长即为sinx的值 且其中的x满足6cosx 5tanx 即6cosx 5 所以6cos2x 5sinx 即6sin2x 5sinx 6 0 解得sinx 或sinx 舍 所以线段p1p2的长为 答案 2 因为cosx 所以又因为x 0 2 所以x的集合为答案 3 由题意 得由 得 8 x 8 由 得sinx 由正弦曲线得所以不等式组的解集为答案 母题变式 1 若本例题 3 中函数改为f x 求其定义域 解析 因为函数f x 所以cosx 1 所以x 2k k z 所以函数的定义域为 x x 2k k z 2 在本例题 3 中函数改为求其定义域 解析 由由余弦曲线得所以函数的定义域为 规律方法 1 三角函数方程 不等式的求解策略 1 由同角关系 诱导公式转化为关于sinx或cosx的方程 不等式 2 用换元法求出sinx或cosx的值或范围 3 根据正弦曲线 余弦曲线求出相对应的x的值或范围 4 解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围 再加上周期 2 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 易错提醒 1 对表达式进行化简变形时 尽量等价变形 注意不要产生增解 也不要丢掉方程的解 2 注意sinx或cosx的值域是 1 1 换元后新变量的范围为 1 1 3 解不等式时要注意周期 不可以忽略 变式训练 2016 衡水模拟 设条件p 条件q cos 0 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 由 所以p是q的充分必要条件 加固训练 1 2016 长春模拟 已知集合e cos sin 0 2 f tan sin 那么e f为区间 解析 选a 由sin cos tan 的图象 得集合 2 若sin2x cos2x 则x的取值范围是 解析 选d 由题意可知cos2x 0 所以所以 3 在 abc中 则a的大小为 解析 由已知得a为锐角 两边平方 2sin2a 3cosa 设t cosa 则2t2 3t 2 0 解得t 或t 2 舍 所以cosa a 60 答案 60 4 函数y lgcosx的定义域为 解析 由得所以函数的定义域为答案 考向二三角函数的值域和最值 典例2 1 函数y 2sinx 1 x 的值域是 a 3 1 b 2 1 c 3 1 d 2 1 2 2016 成都模拟 函数y cos2x 2sinx的最大值与最小值分别为 a 3 1b 3 2c 2 1d 2 2 解题导引 1 弄清角x的取值范围 结合正弦曲线求解 2 换元转化为求二次函数的最值 规范解答 1 选d 由正弦曲线知y sinx在上 1 sinx 所以函数y 2sinx 1 x 的值域是 2 1 2 选d y cos2x 2sinx 1 sin2x 2sinx sin2x 2sinx 1 令t sinx 则t 1 1 y t2 2t 1 t 1 2 2 所以ymax 2 ymin 2 规律方法 三角函数最值或值域的三种求法 1 直接法 利用sinx cosx的值域 2 化一法 化为y asin x k的形式 确定 x 的范围 根据正弦函数单调性写出函数的值域 3 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 转化为二次函数 求在给定区间上的值域 最值 问题 变式训练 函数y 2sin 0 x 9 的最大值与最小值之和为 a 2 b 0c 1d 1 解析 选a 因为0 x 9 所以所以所以所以ymax ymin 加固训练 1 2016 南昌模拟 函数y sin2x sinx 1的值域为 解析 选c 换元 设t sinx 则y t2 t 1 1 t 1 所以值域为 2 函数y 的值域为 解析 由y 得cosx 因为 1 cosx 1 所以 1 1 解得 y 6 因此 原函数的值域为答案 一题多解 本题还可如下求解 因为 1 cosx 1 所以1 2 cosx 3 即原函数的值域为答案 考向三三角函数的性质 考情快递 考题例析 命题方向1 三角函数的奇偶性 对称性和周期性问题 典例3 1 2016 洛阳模拟 若函数y sin 0 2 是偶函数 则 2 2016 潍坊模拟 下列函数中 最小正周期为 且图象关于直线x 对称的是 解题导引 1 利用偶函数的定义求解 2 将x 代入各个关系式 看看能否取到最值即可 规范解答 1 选c 观察选项 当 时 等式恒成立 2 选b 因为y f x 的最小正周期为 可排除d 其图象关于直线x 对称 所以a中 故a不满足 对于b 满足题意 对于c 故c不满足 命题方向2 三角函数的单调性问题 典例4 1 2016 济南模拟 若函数f x sin x 0 在区间上单调递增 在区间上单调递减 则 等于 2 2016 银川模拟 函数f x 的单调减区间为 解题导引 1 根据正弦函数的单调性解不等式求解 2 先用诱导公式化简函数表达式 再根据正弦函数的减区间解不等式求解 规范解答 1 选b 因为f x sin x 0 过原点 所以当y sin x是增函数 当y sin x是减函数 由f x sin x 0 在上单调递增 在上单调递减知 2 由已知函数为欲求函数的单调减区间 只需求的单调增区间 由得故所给函数的单调减区间为答案 技法感悟 1 三角函数的奇偶性 对称性和周期问题的解题思路 1 奇偶性的判断方法 由正 余弦函数的奇偶性可判断出y asin x和y acos x分别为奇函数和偶函数 2 周期的计算方法 利用函数y asin x y acos x 0 的周期为 函数y atan x 0 的周期为求解 3 解决对称性问题的关键 熟练掌握三角函数的对称轴 对称中心 2 三角函数的单调性问题的解题方法 1 求三角函数单调区间的两种方法 代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u 或t 利用基本三角函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的正 余弦曲线 结合图象求它的单调区间 易错提醒 求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正 同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 2 已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间 由已知区间是所求某区间的子集 列不等式 组 求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围 由该范围是某相应正 余弦函数的某个单调区间的子集 列不等式 组 求解 周期法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式 组 求解 题组通关 1 2016