【备战】高考数学专题讲座 第26讲 高频考点分析之圆锥曲线探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第26讲：高频考点分析之圆锥曲线探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲第28讲我们对高频考点进行探讨。圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。圆锥曲线具有许多重要的性质，并能直接联系实际应用，在高中数学中占据重要地位。在高考中所占分值一般为20分左右，且多与其他知识点相结合出现，综合性强，难度较大。掌握它的一些重要性质，至关重要。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下七方面探讨圆锥曲线问题的求解：1. 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质；2. 圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题；3. 点与圆锥曲线的关系问题；4. 直线与圆锥曲线的关系问题；5. 动点轨迹方程；6. 圆锥曲线中最值问题；7. 圆锥曲线中定值问题。一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质：典型例题：例1.（2012年全国课标卷理5分）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为【 】 【答案】。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】是椭圆的左、右焦点，。是底角为的等腰三角形，。为直线上一点，。又，即。故选。例2. （2012年全国课标卷理5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为【 】 【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。 与抛物线的准线交于两点， ，。 设，则，得，。故选。例3. （2012年四川省理5分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则【 】a、 b、 c、 d、【答案】b。【考点】抛物线的定义【解析】设抛物线方程为，则焦点坐标为（），准线方程为。 点在抛物线上，点到焦点的距离等于到准线的距离。 且，解得。 ，。故选b。例4. （2012年四川省理5分）方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【 】a、60条 b、62条 c、71条 d、80条【答案】b。【考点】分类讨论的思想，抛物线的定义。【解析】将方程变形得，若表示抛物线，则分=3,2，1，2，3五种情况：（1）若=3， ; （2）若=3, 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当=2,或2时，共有23条； 当=1时，共有16条。综上，共有23+23+16=62条。故选b。例5. （2012年安徽省理5分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若； 则的面积为【 】 【答案】。【考点】抛物线的性质。【解析】设，。 ，即点到准线的距离为。 ，即。 。的面积为。故选。例6. （2012年浙江省理5分）如图，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，则的离心率是【 】 a b c d【答案】b。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的简单性质。【解析】如图：设线段的垂直平分线与交于点， |ob|b，|o f1|ckpq，kmn。直线pq为：y(xc)，两条渐近线为：yx。由，得：q(，)；由，得：p(，)。直线mn为：y(x)。令y0得：xm。又|mf2|f1f2|2c，3cxm，解之得：，即e。故选b。例7. （2012年江西省文5分）椭圆的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2。若成等比数列，则此椭圆的离心率为【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】椭圆的性质，等比关系的性质。【解析】设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，成等比数列，。，即，即此椭圆的离心率为。故选b。例8. （2012年浙江省文5分） 如图，中心均为原点o的双曲线与椭圆有公共焦点，m，n是双曲线的两顶点。若m，o，n将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是【 】a.3 b.2 c. d. 【答案】b。【考点】椭圆和双曲线的方程和性质。【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由m，o，n将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，。故选b。例9. （2012年福建省文5分）已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于【 】a. b. c. d.【答案】c。【考点】双曲线的性质。【解析】因为双曲线1的右焦点坐标为(3,0)，所以c3，b25，则a2c2b2954，所以a2，所以e。故选c。例10. （2012年江西省理5分）椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是。若成等比数列，则此椭圆的离心率为 .【答案】。【考点】等比中项的性质，椭圆的离心率，建模、化归思想的应用。【解析】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，求解方程即可： 由椭圆的性质可知：，又已知，成等比数列，故，即，则。，即椭圆的离心率为。例11. （2012年天津市文5分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则 【答案】1，2。【考点】双曲线的性质。【分析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，。又双曲线的右焦点为，。又，即，。例12. （2012年重庆市文5分）设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 【答案】。【考点】直线与圆锥曲线的关系，双曲线的性质。【分析】设，是左焦点，垂直于轴，为直线，。又在双曲线上，例13. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。二、圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知为双曲线的左右焦点，点在上，则【 】a b c d【答案】c。【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由可知，。设，则。根据双曲线的定义，得。在中，应用用余弦定理得。故选c。例2. （2012年福建省理5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】a. b4 c3 d5【答案】a。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标f(3,0)， 双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合， 双曲线的焦点为f(c,0)，且。 双曲线的渐近线方程为：yx，双曲线焦点到渐近线的距离db。故选a。例3. （2012年北京市理5分）在直角坐标系xoy中.直线l过抛物线的焦点f，且与该抛物线相交于a、b两点，其中点a在x轴上方。若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为 【答案】。【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质，得抛物线的焦点f（1，0）。 直线l的倾斜角为60，直线l的斜率。 由点斜式公式得直线l的方程为。 。 点a在x轴上方，。 oaf的面积为。例4. （2012年安徽省文5分）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= 【答案】。【考点】抛物线的定义和性质。【解析】抛物线的准线。 设，。，根据抛物线的定义，点到准线的距离为。，即。又由，得，即。例5. （2012年辽宁省文5分）已知双曲线，点为其两个焦点，点p为双曲线上一点，若,则的值为 .【答案】。【考点】双曲线的定义、标准方程以及转化思想。【解析】由双曲线的方程可得，。 。 ，。 。例6. （2012年重庆市理5分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .【答案】。【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。【分析】设直线的方程为（由题意知直线的斜率存在且不为0），代入抛物线方程，整理得。设，则。又，。，解得。代入得。，。例7. （2012年安徽省文13分）如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.（）求椭圆的离心率；（）已知面积为40，求 的值【答案】解：（i），是等边三角形。 椭圆的离心率。（）设；则。在中，即，解得。，。，解得。【考点】椭圆性质和计算，余弦定理。【解析】（i）根据可知是等边三角形，从而可得，求出离心率。（）根据余弦定理，用表示出，从而表示出，利用面积为40列方程求解即可。三、点与圆锥曲线的关系问题：典型例题：例1. （2012年浙江省理4分）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数 【答案】。【考点】新定义，点到直线的距离。【解析】由c2：x 2(y4) 2 2得圆心(0，4)，则圆心到直线l：yx的距离为：。由定义，曲线c2到直线l：yx的距离为。又由曲线c1：yx 2a，令，得：，则曲线c1：yx 2a到直线l：yx的距离的点为(，)。例2. （2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里a处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置p的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，p的横坐标，代入抛物线方程得p的纵坐标。 a（0，12）， 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanoap=，得，救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 当即=1时最小，即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出a点和p点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3. （2012年福建省理13分）如图，椭圆e：1(ab0)的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e，过f1的直线交椭圆于a、b两点，且abf2的周长为8.（）求椭圆e的方程；（ii）设动直线l：ykxm与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线x4相交于点q.试探究：在坐标平面内是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（）|ab|af2|bf2|8，|af1|f1b|af2|bf2|8。又|af1|af2|bf1|bf2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。椭圆e的方程是1。（ii）由得(4k23)x28kmx4m2120。动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，此时x0，y0kx0m。p。由得q(4,4km)。假设平面内存在定点m满足条件，由图形对称性知，点m必在x轴上。设m(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。式对满足式的m，k恒成立，解得x11。存在定点m(1,0)，使得以pq为直径的圆恒过点m。【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】（）根据过f1的直线交椭圆于a、b两点，且abf2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e，b，即可求得椭圆e的方程。（）由 消元可得(4k23)x28kmx4m2120，由动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p(x0，y0)，可得m0，=0，进而可得4k2m230，p。由 得q(4,4km)。假设平面内存在定点m满足条件，由图形对称性知，点m必在x轴上。设m(x1,0)，则0对满足式的m、k恒成立。由，(4x1,4km)和0得(4x14)x4x130。由式对满足式的m，k恒成立，得，解得x11。故存在定点m(1,0)，使得以pq为直径的圆恒过点m。例4. （2012年福建省文12分）如图所示，等边三角形oab的边长为8，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p0)上（i）求抛物线e的方程；（ii）设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q，证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点【答案】解：（i）依题意，|ob|8，boy30。设b(x，y)，则x|ob|sin304，y|ob|cos3012。因为点b(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2。故抛物线e的方程为x24y。（ii）由（i）知yx2，yx。设p(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx。由得。所以q。假设以pq为直径的圆恒过定点m，由图形的对称性知m必在y轴上，设m(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立。由(x0，y0y1)， 由于0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以，解得y11。故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)。【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】（i）依题意，|ob|8，boy30，从而可得b(4，12)，利用点b(4，12)在x22py上，可求抛物线e的方程。（ii）由（i）知yx2，yx，设p(x0，y0)，可得l的方程为yx0xx，与y=1联立，求得q。假设以pq为直径的圆恒过定点m，由图形的对称性知m必在y轴上，设m(0，y1)，由0，得(yy12)(1y1)y00。所以解得y11。故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)。四、直线与圆锥曲线的关系问题：典型例题：例1. （2012年辽宁省文5分）已知p，q为抛物线上两点，点p，q的横坐标分别为4，2，过p、q分别作抛物线的切线，两切线交于a，则点a的纵坐标为【 】(a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 8【答案】c。【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】点p，q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得p，q的纵坐标分别为8，2。由得，。过点p，q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。过点p，q的抛物线的切线方程分别为。联立方程组解得。点a的纵坐标为4。故选c。例2. （2012年湖北省理5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为a，b，c，d。则（）双曲线的离心率e= ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 。【答案】（）；（）。【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】（）由已知，解得。（）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为，联立解得，。例3. （2012年全国大纲卷理12分）已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。（1）求；（2）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。【答案】解：（1）设，对求导得。直线的斜率，当时，不合题意，。圆心为，的斜率，由知，即，解得。（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即。若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得，解得。抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 。得，将代入得，故。到直线的距离为。【考点】抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。【解析】（1）两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。（2）求出三条切线方程，可由（1）求出。、的切线方程含有待定系数，求出它即可求得交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出到的距离。例4. （2012年全国课标卷理12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【答案】解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边。 点到准线的距离。 ，。 。 ，。 圆的方程为。 （2）由对称性设，则 三点在同一直线上，点关于点对称，得：。，即 ，直线，整理得。 直线的斜率为。 又直线与平行，直线的斜率为。 由得，。 直线与只有一个公共点，令，得。切点。直线，整理得坐标原点到距离的比值为。【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。【解析】（1）由已知，的面积为，根据抛物线和圆的性质可求得以及，从而得到圆的方程。 （2）设，根据对称性得，由在准线上得到，从而求得的坐标（用表示），从而得到直线的方程和斜率。由直线与平行和直线与只有一个公共点，应用导数可求出直线的方程。因此求出坐标原点到距离的比值。例5. （2012年上海市文16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；（5分）（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：（6分）【答案】解：（1）由双曲线得左焦点。 设，则， 由是右支上一点，知，所以，解得。 当时，。 。 （2）左顶点，渐近线方程：。 过与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得。 所求平行四边形的面积为。 （3）设直线的方程是。因直线与已知圆相切，故，即 (*)。由，得。 设，则， 。 由(*)知，。 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，直线与圆的位置关系，双曲线的性质。【解析】（1）求出双曲线的左焦点的坐标，设，利用求出，推出的坐标。（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出平行四边形的面积。（3）直线的方程是，通过直线与已知圆相切，得到1，通过求解 证明。例6. （2012年北京市理14分）已知曲线c：（1）若曲线c是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为a，b（点a位于点b的上方），直线与曲线c交于不同的两点m、n，直线y=1与直线bm交于点g。求证：a，g，n三点共线。【答案】（1）原曲线方程可化为：。 曲线c是焦点在x轴点上的椭圆， ，是。 若曲线c是焦点在x轴点上的椭圆，则m的取值范围为。（2）证明：m=4，曲线c的方程为。 将已知直线代入椭圆方程化简得：。由得，。由韦达定理得：。设。则mb的方程为，。 an的方程为。欲证a，g，n三点共线，只需证点g在直线an上。将代入，得，即，即，即，等式恒成立。由于以上各步是可逆的，从而点在直线an上。a，g，n三点共线。【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。 （2）欲证a，g，n三点共线，只需证点g在直线an上。故需求出含待定系数的直线mb和an的方程，点g的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线mb和an在时横坐标相等来证a，g，n三点共线或直线an和ag斜率相等。还可用向量求解。例7. （2012年北京市文14分）已知椭圆c：（ab0）的一个顶点为a （2，0），离心率为， 直线y=k(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n（1）求椭圆c的方程（2）当amn的面积为时，求k的值 【答案】解：（1）椭圆c的一个顶点为a （2，0），离心率为， 。，。 椭圆c的方程为。 （2）将y=k(x1)代入，并整理得，。 设， 。 在y=k(x1)中令y=0，得x=1。 。 平方，并整理得，解得。【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用。【解析】（1）由已知a （2，0），离心率为，根据公式 和求出，即可求得椭圆c的方程。 （2）将y=k(x1)代入，应用韦达定理求得。根据三角形面积公式和已知的amn的面积为，列式求解。例8. （2012年四川省理12分）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（）设m的坐标为（x，y），显然有x0且。当mba=90时，点m的坐标为（2，, 3）。当mba90时，x2。由得 tanmba=，即化简得：。而点（2，,3）在上。时，。综上可知，轨迹c的方程为（）。(ii)由方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，解得，m1且m2。设q、r的坐标分别为，由有。由m1且m2得 且。 的取值范围是。 【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法，倍角公式的应用。【解析】（）设m的坐标为（x，y），当mba=90时，可直接得到点m的坐标为（2，, 3）；当mba90时，由应用倍角公式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得，利用有两根且均在（1，+）内可知，m1，m2。设q，r的坐标，求出xr，xq，利用 ，即可确定 的取值范围。例9. （2012年天津市理14分）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点.（）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若，证明直线的斜率满足.【答案】解：（）设，；椭圆的左、右顶点分别为，,。直线与的斜率之积为，。代入并整理得。0，。椭圆的离心率为。（）证明：依题意，直线的方程为，设，。|，。代入得，3。直线的斜率满足。【考点】圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质。【分析】（）设，则，利用直线与的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率。（）依题意，直线的方程为，设，则，代入可得，利用，可求得 ，从而可求直线的斜率的范围。例10. （2012年天津市文14分）已知椭圆，点p在椭圆上。（i）求椭圆的离心率。（ii）设a为椭圆的右顶点，o为坐标原点，若q在椭圆上且满足|aq|=|ao|求直线的斜率的值。【答案】解：（i）点p在椭圆上，。（ii）设直线oq的斜率为，则其方程为。设点q的坐标为，由条件得，消元并整理可得 。|aq|=|ao|，a（，0），。 。0，。代入，整理得。， ，整理得，解得。直线的斜率的值为。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质。【分析】（i）根据点p在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率。（ii）设直线oq的斜率为，则其方程为，设点q的坐标为，与椭圆方程联立，求得，根据|aq|=|ao|，a（，0），可求，两式联立由此可求直线oq的斜率的值。例11. （2012年安徽省理13分） 如图，分别是椭圆 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；（i）若点的坐标为；求椭圆的方程；（ii）证明：直线与椭圆只有一个交点。【答案】解：（i）由，得点，代入得：。 ， ，。 又 ， ，由解得：。椭圆的方程为。（ii）设，则，解得。 。 又，且点在椭圆的上半部分，。 过点与椭圆相切的直线斜率， 过点与椭圆相切的直线与直线重合。 直线与椭圆只有一个交点。【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系。【解析】（i）根据椭圆的性质，点在上和得到三个关于的方程，求解即得。 （ii）求出直线的斜率和过点与椭圆相切的直线斜率，证明二者相等即可。例12. （2012年浙江省理15分）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分（）求椭圆的方程；（）求面积取最大值时直线的方程【答案】解：()由左焦点(c，0)到点p(2，1)的距离为得：，即。由椭圆：的离心率为得：。所求椭圆c的方程为：。 ()易得直线op的方程：yx。设a(xa，ya)，b(xb，yb)，的中点r(x0，y0)，其中y0x0。a，b在椭圆上，。设直线ab的方程为l：y(m0)，代入椭圆：。显然，m且m0，即m0或0m。又有：m，|ab|。点p(2，1)到直线l的距离为：，sabpd|ab|m2|。设，且当时，；当时，当时，sabp最大。（不在m0或0m内）。 此时直线l的方程y，即。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程和性质，导数的应用。【解析】（）由题意，根据离心率为 ，其左焦点到点p（2，1）的距离为 ，建立方程，即可求得椭圆c的方程。（）设a(xa，ya)，b(xb，yb)，的中点r(x0，y0)，由a，b在椭圆上，求得。设直线ab的方程为l：y(m0)， 用m表示出|ab|和点p(2，1)到直线l的距离，从而表示出面积，应用导数知识求出面积最大时m的值即可。例13. （2012年湖南省文13分）在直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆e的一个焦点为圆的圆心.（）求椭圆e的方程；（）设p是椭圆e上一点，过p作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆c相切时，求p的坐标.【答案】解：（）由，得，故圆的圆心为点。设椭圆的方程为其焦距为。由题设知，。椭圆的方程为：。（）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且。由与圆相切，得，即。同理可得。是方程的两个实根，于是且由得，解得或。由得；由得它们都满足式。点的坐标为，或，或，或。【考点】曲线与方程、直线与曲线的位置关系。【解析】（）据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆e的方程。 （）设出点p坐标，利用过p点的两条直线斜率之积为，得出关于点p坐标的一个方程，利用点p在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点p坐标。例14. （2012年重庆市理12分） 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在x轴上，上顶点为，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.（）求该椭圆的离心率和标准方程；（5分）（）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程（7分）【答案】解：（）设所求椭圆的标准方程为。 是直角三角形且，。，即。，即。在中，。由题设条件得，。椭圆的标准方程为。（）由（）知。根据题意，直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，得。设 则 是方程的两根，。又，。由，知，即，解得。满足条件的直线方程为。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程和性质，直角三角形和等腰三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，韦达定理的应用。【分析】（）设椭圆的方程为，利用是的直角三角形，从而，利用，可求 。又，可求椭圆标准方程。（）由（）知，由题意，直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得，利用韦达定理及，利用可求的值，从而可求直线的方程。例15. （2012年陕西省理12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆和上，求直线的方程.【答案】解：（1）椭圆以的长轴为短轴，可设椭圆的方程为。椭圆的离心率为，椭圆与有相同的离心率，则。椭圆的方程为。（2）两点的坐标分别记为，由及（1）知，三点共线且点，不在轴上，可以设直线的方程为。将代入中，得，。将代入中，则，。由，得，即，解得。直线的方程为或。【考点】椭圆的标准方程和性质，向量相等的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【解析】（1）根据椭圆以的长轴为短轴，可设椭圆的方程为；由椭圆与有相同的离心率，可求得，从而得到椭圆的方程。 （2）由及（1）知，三点共线且点，不在轴上，可以设直线的方程为。将分别代入两椭圆方程，求出和。由，得，从而求出，得到直线的方程。五、动点轨迹方程：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为【 】a b c d【答案】c。【考点】椭圆的方程以及性质的运用。【解析】通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程：，。该椭圆的一条准线方程为，该椭圆的焦点在轴上且，。故选c。例2. （2012年山东省理5分）已知椭圆c：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】a b c d 【答案】d。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解析】双曲线的渐近线方程为，代入可得。又根据椭圆对称性质，知所构成的四边形是正方形，即。又由椭圆的离心率为可得。联立，解得。椭圆方程为。故选d。例3. （2012年山东省文5分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为【 】 a b c d 【答案】d。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】抛物线的焦点坐标为，双曲线：的渐近线为，不妨取，即。 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，即。 。 又双曲线的离心率为，即。 抛物线的方程为。故选d。例4. （2012年湖南省理5分）已知双曲线c ：的焦距为10 ，点p （2,1）在c 的渐近线上，则c的方程为【 】a b. c. d. 【答案】a。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线c ：的半焦距为，则。c 的渐近线为，点p （2,1）在c 的渐近线上，即。又，c的方程为。故选a。例5. （2012年陕西省理5分）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，抛物线过点（2，2，）.代入得，即。抛物线方程为。当时，水位下降1米后，水面宽米。例6. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（）设m的坐标为（x，y），当x=1时，直线ma的斜率不存在；当x=1时，直线mb的斜率不存在；，ma的斜率为，mb的斜率为。由题意，有=4，化简可得，。轨迹的方程为（）。（）由消去y，可得 () 对于方程()，其判别式，而当1或1为方程（*）的根时，m的值为1或1，结合题设可知，且m1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。，。 。此时，且。 且。且。综上所述，的取值范围为 。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】（）设m的坐标为（x，y），由当x=1时，直线ma的斜率不存在；当x=1时，直线mb的斜率不存在，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得 ()，利用()有两根且，且m1。设q，r的坐标，求出xr，xq，利用 ，即可确定 的取值范围。例7. （2012年广东省文14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程【答案】解：（1）椭圆的左焦点为，。将点代入椭圆，得，即。 。椭圆的方程为。（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得。直线与椭圆相切，整理得 联立，消去并整理得。直线与抛物线相切，整理得 联立，解得或 直线的方程为或。【考点】椭圆的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根的判别式的应用，待定系数法。【解析】（1）由椭圆的左焦点为可得；由点在上，根据曲线上点的坐标满足方程的关系，将代入椭圆的方程可得。从而可求得。得到椭圆的方程。 （2）应用待定系数法，设直线的方程为。将直线的方程与与椭圆和抛物线的方程分别联立，消去，分别得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆和抛物线相切， 可由得关于和的方程组，解之即可求得直线的方程。例8. （2012年江西省文13分）已知三点o（0，0），a（2，1），b（2，1），曲线c上任意一点满足（1）求曲线c的方程；（2）点是曲线c上动点，曲线c在点q处的切线为l，点p的坐标是（0，1），l与分别交于点d，e，求与的面积之比。【答案】解：（1）由，得|，。由已知得，化简得曲线c的方程：。（2）直线的方程分别为 ，曲线c在点处的切线方程为，且与y轴的交点f（0，）。由求得，由求得。，。又，即与的面积之比等于2。【考点】圆锥曲线的轨迹问题，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（1）用坐标表示 和，从而可得| ，利用向量的数量积，结合满足，可得曲线c的方程。 （2）根据直线的方程以及曲线c在点处的切线方程，求出f点的坐标，d、e两点的横坐标，可得和面积的值，从而求得与的面积之比。例9. （2012年湖北省理13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（ii）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点n，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 点在单位圆上运动，. 将式代入式即得所求曲线的方程为。 ，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，。（）如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得。依题意可知此方程的两根为，。于是由韦达定理可得，即。点h在直线qn上，。，。 ，即。又，。存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。【考点】求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系。【解析】（）由和点在圆上列式即可求得曲线的方程，并可判断曲线的类型，求得焦点坐标。（ii）设，则，表示出直线的方程代入椭圆的方程并整理，应用韦达定理得到，利用q、n、h三点共线得到，利用pqph得到，从而求得结论。另解：如图2、3，设，则，两点在椭圆上， 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，。由可得. 。又，三点共线，即。由可得。，即。又，。存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有。六、圆锥曲线中最值问题：典型例题：例1. （2012年四川省理4分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 。【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论如图，设椭圆的右焦点为e。由椭圆的定义得：的周长：。，当ab过点e时取等号。即直线过椭圆的右焦点e时的周长最大，此时的高为：ef=2，直线。把代入椭圆得。当的周长最大时，的面积是。例2. （20