圆与方程教案与综合练习.doc

圆与方程教案与综合练习江苏 曹权考纲要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系能用直线和圆的方程解决一些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想1点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（ ） A-1a1 B0a1 Ca1 Da=12点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（ ） A在圆内 B在圆外 C在圆上 D不确定3方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（ ） A点（a,b） B点（-a,-b） C以（a,b）为圆心的圆 D以（-a,-b）为圆心的圆4已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（ ） A(x-2)2+(y+3)2=13 B(x+2)2+(y-3)2=13 C(x-2)2+(y+3)2=52 D(x+2)2+(y-3)2=525圆(x-a)2+(y-b)2r2与两坐标轴都相切的充要条件是（ ）Aa=b=r B|a|=|b|=r C|a|=|b|=|r|0 D以上皆对 6圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（ ） A(x+7)2+(y+1)2=1 B(x+7)2+(y+2)2=1 C(x+6)2+(y+1)2=1 D(x+6)2+(y+2)2=17如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ） A（-1，1） B（1，-1） C（-1，0） D（0，-1）8圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（ ） A 圆心在直线y=x上 B圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切 C 圆心在直线y=-x上 D圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切14过点P（12，0）且与y轴切于原点的圆的方程为 _15圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为 _，最短弦所在直线方程为_16过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是 _17已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 _，距离最远的点的坐标是_18已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程20已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+90表示一个圆，（1）求t的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围21已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-200(1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)证明当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C与y轴相切，求m的值参考答案：经典例题：解：设所求的圆的方程为：在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3) 当堂练习：1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2, x+y-3=0; 16. ; 17. (2-,2-), (2+,2+);18. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即,(1) 且圆半径r=|PQ|=,(2)由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)0,即：7t2-6t-10, D2+E2-4F0, 曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去m得x+2y0, 即圆心在直线x+2y0上.（3）若曲线C与y轴相切，则m2，曲线C为圆，其半径r=,又圆心为(2m, -m),则=|2m|, .加试：20已知点A(0，2)和圆C：，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求(1)这条光线从A点到切点所经过的路程.(2)求入射光线的方程21已知圆方程,且p1,pR,求证圆恒过定点; (2)求圆心的轨迹 ; (3)求圆的公切线方程20. 解：（1）反射线经过点A（0，2）关于x轴的对称点A1（0，-2），这条光线从A点到切点所经过的路程即为A1（0，-2）到这个圆的切线长. (2) 入射光线的方程为2x+y-2=0或x+2y-4=0.21. 解：（1）分离参数p得(4y-4x)p+x2+y2-8y+8=0, 由, 即圆恒过定点（2，2）.(2) 圆方程可化为(x-2p)2+y-(4-2p)2=8(p-1)2,得圆心的参数方程为, 消去参数p得: x+y-4=0 (x2). （3）设圆的公切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，则,两边比较系数得k=1, b=0，所以圆的公切线方程为y=x .18(本小题满分12分)已知平面区域被圆C及其内部所覆盖(1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CACB，求直线l的方程解析(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且OPQ是直角三角形，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆圆心是(2,1)，半径是，圆C的方程是(x2)2(y1)25.(2)设直线l的方程是：yxb.CACB，圆心C到直线l的距离是，即.解之得，b1.直线l的方程是：yx1.19(本小题满分12分)(文)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求OMN面积取最大值时，直线l的方程解析(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2a0，解得a2，此时直线l的方程为xy0；当直线l不经过坐标原点，即a2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以，直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可求得M、N(0,2a)，又因为a1，故SOMN(2a)(a1)22，当且仅当a1，即a0或a2(舍去)时等号成立此时直线l的方程为xy20.点评(1)截距相等，包括过原点的情形(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证(理)(2010苏北四市)已知圆O的方程为x2y21，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标解析(1)直线l1过点A(3,0)，设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d1，解得k.直线l1的方程为y(x3)(2)在圆O的方程x2y21中，令y0得，x1，即P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点A与x轴垂直，直线l2的方程为x3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y(x1)解方程组得，P.同理可得Q.以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)0，又s2t21，整理得(x2y26x1)y0，若圆C经过定点，则y0，从而有x26x10，解得x32，圆C总经过的定点坐标为(32，0)点评C经过定点，分离参数t与s，则该定点应与t、s无关，故y0.20(本小题满分12分)圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m4(mR)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求C与直线l相交弦长的最小值解析(1)将方程(2m1)x(m1)y7m4，变形为(2xy7)m(xy4)0.直线l恒过两直线2xy70和xy40的交点，由得交点M(3,1)又(31)2(12)2525，点M(3,1)在圆C内，直线l与圆C恒有两个交点(2)由圆的性质可知，当lCM时，弦长最短又|CM|，弦长为l224.21(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2y24.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解析(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y2k(x1)，则由2得，k10，k2，故所求的切线方程为y2或4x3y100.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，设圆心到此直线的距离为d，则22，d1，1，k，此时直线方程为3x4y50，综上所述，所求直线方程为3x4y50或x1.(3)设Q点的坐标为(x，y)，M(x0，y0)，(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)，xx0，y2y0.xy4，x224，即1，Q点的轨迹方程是1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆22(本小题满分14分)(文)已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x2y0平分圆C.(1)求圆C的方程；(2)若过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.()求实数k的取值范围；()若12，求k的值解析(1)线段AB的中点E，kAB1，故线段AB的中垂线方程为yx，即xy10.因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上又因为直线m：3x2y0平分圆C，所以直线m经过圆心由解得，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r|CB|1，所以圆C的方程为：(x2)2(y3)21.(2)直线l的方程为ykx1.圆心C到直线l的距离d，()由题意得d1，两边平方整理得：3k28k30，解之得：k0，所以k1.(理)已知定点A(0,1)、B(0，1)、C(1,0)，动点P满足k|2.(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线(2)当k2时，求|2|的最大值和最小值解析(1)设动点的坐标为P(x，y)，则(x，y1)，(x，y1)，(1x，y)k|2，x2y21k(x1)2y2，(1k)x2(1k)y22kxk10.若k1，则方程为x1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线若k1，则方程化为2y22，表示以为圆心，以为半径的圆(2)当k2时，方程化为(x2)2y21.22(x，y1)(x，y1)(3x,3y1)，|2|.又(x2)2y21，则令x2cos，ysin，于是有36x6y2636cos6sin466cos()46466，466，故|2|的最大值为3，最小值为3. ks5uks5uks5uks5uks5