陀螺进动理论.doc

陀螺进动理论及其局限性什么是陀螺？广义上说，只要能绕某轴转动，而此轴又可绕另一汇交轴转动的刚体就可叫作陀螺。但工程上常将具有固定点的，高速自转的对称刚体称为陀螺。就像我们平时玩的玩具陀螺，由于高速自转，就有可能对对称刚体的定点运动作近似研究。设对称刚体在对称轴z（陀螺主轴）上具有固定点O，刚体有3个自由度；陀螺绕主轴的转动惯量为J。如果陀螺的自转角度大大的大于主轴在空间的转动角速度，就可用陀螺的自转动量矩近似代替陀螺对点O的全部动量矩。这里是陀螺的自转角速度，由陀螺马达维持为常量（转速通常为6000rpm到10000rpm），因此，陀螺自转动量矩H的大小为常量，方向与主轴一致这时对点O的动量矩可近似写成：H对时间的导数的物理意义是H端点的速度，因而有 即陀螺自转动量矩H端点的速度等于陀螺所受的外力矩。由该式可推出陀螺的三个力学特性：1 定轴性 如果陀螺不受任何外力矩，则其主轴在惯性空间保持方向不变2 进动性 如果陀螺受到外力矩的作用，则主轴的运动并不是在外力矩的作用平面内发生，而是在垂直于该平面发生。这种特殊运动称为陀螺的进动性，如图1所示，力F作用于陀螺主轴，对点O产生力矩为Mo，H端点有速度，于是主轴绕y轴转动，即垂直于力F与支点O形成的铅垂平面运动。进动角速度图13 陀螺效应 如果强制陀螺以角速度W进动，则陀螺必给施力者一个反力偶，其力矩为Mr ， 有： MrMo MrH这个力矩与一般刚体的反作用力矩也不相同，称为陀螺力矩；与陀螺力矩有关的现象称为陀螺效应这些结论统称为陀螺的进动理论，它是高速自转下的近似理论，只适用于三自由度陀螺。陀螺进动理论是有其局限性的，是近似的，其本质是忽略了陀螺的惯性，一般的静止物体受力时，物体有加速度，但不能立刻获得速度，必须经过一段时间后才能获得速度，这说明物体有惯性。而陀螺进动理论指出，只要有力矩M作用，陀螺主轴立即以角速度进动，这显然忽略了陀螺的惯性。这就导致了进动理论对某些必须考虑陀螺惯性的问题失效，例如：涉及稳定性的问题。图2如图2所示，以直立陀螺为例，其重心位于支点的上方，A为对n轴的转动惯量。依照进动理论，在重力矩作用下，H端点的速度恒垂直于陀螺主轴z与铅垂轴n构成的平面，因此，不管自转角速度如何，陀螺主轴均作圆锥运动而不倒，这显然与实际不符。实际上陀螺主轴在作进动的同时还叠加有高频微幅的圆锥状抖动，称为陀螺的章动。如果这个章动是随时间发散的，则陀螺在铅直位置的直立状态就不可能稳定。若要考虑陀螺的章动，就必须考虑其惯性，也就必须转向精确的动力学方程。当直立陀螺的主轴在铅直线附近作圆锥运动时，有当时，有 （1）引入变量 它的意义是陀螺角速度在主轴上的投影，且有。由于重力矩Mo恒垂直于主轴，即动量矩矢量Lo端点的速度恒垂直于主轴，因此Lz是常量，即 代入式（1）得这是一个相对变量的二次代数方程式，要想有实数解，即要想使陀螺在直立位置附近的规则进动能够实现，判别式应大于零 ：把在铅垂位置直立的陀螺看成的极限状态，则得到直立陀螺的稳定条件是所以，要想使陀螺在铅直位置稳定的旋转，